2025版高中數(shù)學課時作業(yè)5柱體錐體臺體的表面積與體積二新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)5柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)基礎(chǔ)鞏固1．正方體全面積增大為原來的2倍，則它的體積增大為原來的()A．2倍 B．4倍C.eq\r(2)倍 D．2eq\r(2)倍解析：S全＝6a2，S′全＝6a′2＝2S全，∴a′＝eq\r(2)a.V＝a3，V′＝a′3＝2eq\r(2)a3＝2eq\r(2)V.答案：D2．(2024年安徽高二模擬考試)已知一個簡潔幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積為()圖1A．3π＋6 B．6π＋6C．3π＋12 D.12解析：由三視圖知，該幾何體有四分之一圓錐與三棱錐構(gòu)成，故體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×32×4＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×4＝3π＋6，故選A.答案：A3．(2024年晉冀魯豫高三月考)若某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為()圖2A.eq\f(4,3) B.eq\f(2,3) C．2 D．4圖3解析：據(jù)三視圖分析知，該幾何體是如圖3所示的棱長為2的正方體被平面解得的三棱錐C－ADE，且D是正方體所在棱的中點，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(4,3).答案：A4．(2024年重慶高二月考)中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖4所示(單位：寸)：若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x的值為________．圖4解析：由圖可得π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×x＋3×1×(5.4－x)＝12.6?x＝1.6.答案：1.65.某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為________．圖5解析：由幾何體的三視圖得到該幾何體是由底面直徑為2，高為2的圓柱和底面直徑為2高為1的半圓錐兩部分組成，∴該幾何體的體積為V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×1×eq\f(1,2)＝eq\f(13π,6).答案：eq\f(13π,6)實力提升1．(2024年安徽高三檢測)一個三棱錐的三視圖如圖6所示，其中正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是直角三角形，則該三棱錐最長的棱長為()圖6A．7B．2eq\r(2)C．3D.eq\r(5)解析：由三視圖可得三棱錐為如圖7所示的三棱錐B1-ABD，其中底面三角形ABD是直角三角形，兩直角邊分別為AB＝1，AD＝eq\r(3)，BB1⊥底面ABD，且BB1＝2.圖7結(jié)合圖形可得最長的棱為DB1＝eq\r(12＋（\r(3)）2＋22)＝2eq\r(2).故選B.答案：B2．(2024年山東高三模擬)如圖8,一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖8所示，則這個四棱錐的體積為()圖8A．1 B．2 C．3 D．4解析：由三視圖可知高為h＝eq\r(（\r(13)）2－22)＝3，∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×3＝2，應(yīng)選B.答案：B3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為()圖9A．1∶1 B.1∶eq\r(2) C.1∶eq\r(3) D.1∶2解析：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則正方體ABCD-A1B1C1D1的表面積為S2＝6a2，且三棱錐D1-AB1C為各棱長均為eq\r(2)a的正四面體，其中一個面的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×eq\r(2)a＝eq\f(\r(3),2)a2，所以三棱錐D1-AB1C的表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),2)a2＝2eq\r(3)a2，所以三棱錐D1-AB1C的體積與正方體ABCD-A1B1C1D1的表面積之比為S1∶S2＝1∶eq\r(3).故選C.答案：C4．如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是線段A1C1上的動點，則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()圖10A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：設(shè)正方體棱長為1，則三棱錐P-BCD的正視圖是底面邊長為1，高為1的三角形，面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)；三棱錐P-BCD的俯視圖取最大面積時，P在A1處，俯視圖面積的最大值為1×1＝1，故三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為2，故選D.答案：D5．如圖11，三棱錐A-BCD中，E是AC中點，F(xiàn)在AD上，且2AF＝FD，若三棱錐A-BEF的體積是2，則四棱錐B-ECDF的體積為________．圖11解析：因為eq\f(S△AEF,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AE·AF·sinA,\f(1,2)AC·AD·sinA)＝eq\f(1,6)，V正＝6VA-AEF＝12，則VB-ECDF＝10.答案：106．如圖12，圓錐形封閉容器，高為h，圓錐內(nèi)水面高為h1，且h1＝eq\f(1,3)h，若將圓錐倒置后，圓錐內(nèi)水面高為h2，求h2.圖12解：因為eq\f(V圓錐SO,V圓錐SO′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,3)h,h)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，所以eq\f(V水,V圓錐S′O1)＝eq\f(19,27).倒置后的體積關(guān)系為eq\f(V水,V圓錐S′O1)＝eq\f(h23,h3)＝eq\f(19,27)，所以h2＝eq\r(3,\f(19h3,27))＝eq\f(\r(3,19),3)h.7．如圖13，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．圖13(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：圖14(1)交線圍成的正方形EHGF如圖14.(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.長方體被平面α分為兩個高為10的直棱柱，其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).拓展要求1．(2024年安徽蚌埠高三其次次質(zhì)量檢查)如圖15，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為()圖15A．15 B．16 C.eq\f(50,3) D.eq\f(53,3)解析：本題主要考查空間幾何體的三視圖與體積，考查空間想象實力．由三視圖可知，該幾何體是四棱錐P-ABCD，如圖16所示，則該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×4＋eq\f(1,2)×2×2)×5＝eq\f(50,3).圖16答案：C2．已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積．解：如圖17所示，在三棱臺ABC-A′B′C′中，O′，O分別為上、下底面的中心，D，D′分別是BC，B′C′的中點，連接OO′，A′D′，AD，DD′，則DD′是等腰梯形BCC′B′的高，記為h0，所以S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)h0＝75h0.圖17上、下底面面積之和為S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S側(cè)＝S上＋S下，得75h0＝325eq\r(3)，所以h0＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．又O′D′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm),OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×30＝5eq\r(3)(cm)，記棱臺的高為h，則h＝O′O＝eq\r(h02－（OD－O′D′）2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))\s\u