2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.4全稱量詞與存在量詞1.4.11.4.2全稱量詞存在量詞作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE第一章1.41.4.11.4.2A級基礎鞏固一、選擇題1．下列命題中，全稱命題的個數(shù)為(C)①平行四邊形的對角線相互平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個菱形，它的四條邊不相等．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②是全稱命題，③是特稱命題．2．下列特稱命題中真命題的個數(shù)是(D)①?x∈R，x≤0；②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；③?x∈{x|x是整數(shù)}，x2是整數(shù)．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①②③都是真命題．3．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是(A)A．存在一個α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B．存在實數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)C．對一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ[解析]選項A，B為特稱命題，故解除C、D．因eq\f(π,2)>1，則不存在實數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)，故解除B，故選A．4．下列命題：①至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立；②對隨意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③對隨意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全稱命題的有(B)A．1個 B．2個C．3個 D．0個[解析]②③含有全稱量詞，所以是全稱命題．5．下列命題中為特稱命題的是(C)A．全部的整數(shù)都是有理數(shù)B．三角形的內(nèi)角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D為全稱命題，C中含有存在量詞“有些”，故為特稱命題．6．已知命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋ax0＋a<0，若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]假設p為真，Δ＝a2－4a>0即a>4或a<0∵p為假，∴0≤a≤4∴實數(shù)a的取值范圍[0,4]．二、填空題7．命題“有些負數(shù)滿意不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”寫成特稱命題為__?x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.[解析]依據(jù)特稱命題的定義改寫．8．四個命題：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個數(shù)為__0__.[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴當x>2或x<1時，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題．當且僅當x＝±eq\r(2)時，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題，對?x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．三、解答題9．用符號表示下列全稱命題：(1)對隨意a>1，都有函數(shù)f(x)＝ax在R上是增函數(shù)；(2)對全部實數(shù)m，都有eq\f(2,－m2－1)<0；(3)對每一個實數(shù)x，都有cosx<1.[解析](1)?a>1，函數(shù)f(x)＝ax在R上是增函數(shù)．(2)?m∈R，eq\f(2,－m2－1)<0.(3)?x∈R，cosx<1.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列命題為特稱命題的是(D)A．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在大于等于3的實數(shù)[解析]選項A，B，C是全稱命題，選項D含有存在量詞．故選D．2．下列命題是真命題的是(D)A．?x∈R，(x－eq\r(2))2>0B．?x∈Q，x2>0C．?x0∈Z,3x0＝812D．?x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0[解析]A中當x＝eq\r(2)時不成立，B中由于0∈Q，故B不正確，C中滿意3x0＝812的x0不是整數(shù)，故只有D正確．3．(多選題)已知命題p：?x∈R，mx2＋1≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q為真命題，則實數(shù)m的取值可以是(BC)A．－2 B．－1C．－eq\f(1,2) D．1[解析]p真：m<0.q真：Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2.∵p∧q為真命題，∴p、q均為真命題，∴－2<m<0，故選BC．4．(多選題)已知命題p：?x0∈N，xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)；命題q：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函數(shù)f(x)＝loga(x－1)的圖象過點(2,0)，則下列說法錯誤的是(BCD)A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真[解析]由xeq\o\al(3,0)<xeq\o\al(2,0)，得xeq\o\al(2,0)(x0－1)<0，解得x0<0或0<x0<1，在這個范圍內(nèi)沒有自然數(shù)，∴命題p為假命題；∵對隨意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命題q為真命題．故選BCD．二、填空題5．下列特稱命題是真命題的序號是__①③④__.①有些不相像的三角形面積相等；②存在一實數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；③存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身．[解析]①為真命題，只要找出等底等高的兩個三角形，面積就相等，但不肯定相像；②中對隨意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以不存在實數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故②為假命題；③中當實數(shù)a大于0時，結論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故選①③④.6．給出下列語句：①全部的偶數(shù)都是素數(shù)；②有些二次函數(shù)的圖象不過坐標原點；③|x－1|<2；④對隨意的實數(shù)x>5，都有x>3.其中是全稱命題的是__①④__.(填序號)[解析]①④是全稱命題，②是特稱命題，③不是命題．三、解答題7．推斷下列命題的真假：(1)任給x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)；(2)存在α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；(4)任給a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一個解．[解析](1)∵x∈Q，∴eq\f(1,3)x2與eq\f(1,2)x均為有理數(shù)，從而eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)，∴(1)真；(2)當α＝0，β＝eq\f(π,3)時，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，∴(2)真；(3)當x＝4，y＝1時，3x－2y＝10，∴(3)真；(4)當a＝0，b＝1時，0x＋1＝0無解，∴(4)假．8．已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真