北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊第一次月考試卷(含答案)

北師大版九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期第一次月考試卷一、選擇題（本大題6小題，每小題3分，共18分）1.用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方結(jié)果正確的是（）A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=52.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、53.一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩根分別是x1、x2，則x1+x2的值是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣24.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是（）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．每條對角線平分一組對角5.下列說法正確的是（）A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．有一個角是直角的菱形是正方形C．對角線相等的四邊形是矩形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形6.如圖，在?ABCD中，對角線AC⊥AB，O為AC的中點，經(jīng)過點O的直線交AD于E，交BC于F，連結(jié)AF、CE，現(xiàn)在添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形AFCE是菱形，下列條件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E為AD中點．正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）7.已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．8.菱形的對角線長分別為6和8，則此菱形的面積為．9.方程是一元二次方程，則m=．10.矩形ABCD的兩條對角線相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，則BD=cm．11.寫出以4，﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是．12.如圖，以邊長為1的正方形ABCD的邊AB為對角線作第二個正方形AEBO1，再以BE為對角線作第三個正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個正方形的面積Sn=．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.①解方程：（x﹣1）2=4．②解方程：x2+2x﹣3=0．14.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根．15.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是菱形．16.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF=90°．求證：BE=CF．17.如圖，菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，BE=CE，AD=4cm．（1）求菱形ABCD的各角的度數(shù)；（2）求AE的長．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）18.如圖，在△ABC中，DE分別是AB，AC的中點，BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連CF（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面積．19.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，且x12+x22=8，求m的值．20.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．21.如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．（部分參考數(shù)據(jù)：322=1024，522=2704，482=2304）五、（本大題10分）22.閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x﹣1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，得（）2+﹣1=0．化簡，得y2+2y﹣4=0，故所求方程為y2+2y﹣4=0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．六、（本大題12分）23.如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別在邊BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的長；（2）若點G在DC上，且∠AGC=120°，求證：AG=EG+FG．?dāng)?shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題6小題，每小題3分，共18分）1．【分析】在本題中，把常數(shù)項﹣1移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)4的一半的平方．【解答】解：把方程x2+4x﹣1=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2+4x=1方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2+4x+4=1+4配方得（x+2）2=5．故選：A．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．2.【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）的a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【解答】解：方程2x2﹣6x﹣5=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為2、﹣6、﹣5；故選C．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．3.【分析】根據(jù)韋達定理可得．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0的兩根分別是x1、x2，∴x1+x2=2，故選：B．【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握韋達定理是解題的關(guān)鍵．4.【分析】正方形具有矩形和菱形的性質(zhì)，故根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)即可解題．【解答】解：（1）平行四邊形的對角線互相平分，所以菱形和正方形對角線均互相平分，故本選項錯誤；（2）菱形和正方形的對角線均互相垂直，故本選項錯誤；（3）正方形對角線相等，而菱形對角線不相等，故本選項正確；（4）對角線即角平分線是菱形的性質(zhì)，正方形具有全部菱形的性質(zhì)，所以本選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了正方形和菱形的性質(zhì)，熟悉掌握菱形、正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5.【分析】根據(jù)菱形、正方形、矩形、平行四邊形的判定定理，即可解答．【解答】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故錯誤；B、有一個角是直角的菱形是正方形，正確；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故錯誤；故選：B．【點評】本題考查了多邊形，解決本題的關(guān)鍵是熟記菱形、正方形、矩形、平行四邊形的判定定理．6.【分析】由在?ABCD中，O為AC的中點，易證得四邊形AFCE是平行四邊形；然后由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形與對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∵O為AC的中點，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形；①∵OE=OA，∴AC=EF，∴四邊形AFCE是矩形；故錯誤；②∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形；故正確；③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，∴∠BAF=∠CAF=45°，無法判定四邊形AFCE是菱形；故錯誤；④∵AC⊥AB，AB∥CD，∴AC⊥CD，∵E為AD中點，∴AE=CE=AD，∴四邊形AFCE是菱形；故正確．故選B．【點評】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意首先證得四邊形AFCE是平行四邊形是關(guān)鍵．二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）7.【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，解得：m=1．故答案為：1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．8.【分析】由菱形的對角線長分別為6和8，根據(jù)菱形的面積等于對角線積的一半，可求得菱形的面積．【解答】解：如圖，AC=6，BD=8，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5，∴面積是：AC?BD=×6×8=24．故答案為：24．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9.【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，二次項系數(shù)不為0，未知數(shù)的次數(shù)為2，可得m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方，∴，解得：m=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握一元二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．10.【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，推出OA=OB，求出∠AOB=60°，得出△AOB是等邊三角形，推出OB=AO=AB=3cm，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=AO=AB=3cm，∴BD=2OB=6cm，故答案為：6．【點評】本題考查了矩形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的對角線互相平分且相等．11.【分析】先簡單4與﹣5的和與積，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出滿足條件的方程．【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20，∴以4，﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程為x2+x﹣20=0．故答案為x2+x﹣20=0．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．12.【分析】由正方形ABCD的邊長為1，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可求得AO1，EO2的值，則可求得S2，S3，S4的值，即可求得規(guī)律所作的第n個正方形的面積Sn=．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，則：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n個正方形的面積Sn=．故答案為：．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：所作的第n個正方形的面積Sn=．（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.【分析】利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可．【解答】解：兩邊直接開平方得：x﹣1=±2，∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=3，x2=﹣1．【點評】此題主要考查了直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點．②解方程：x2+2x﹣3=0．【分析】觀察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．【解答】解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．【點評】解方程有多種方法，要根據(jù)實際情況進行選擇．14.【分析】首先根據(jù)原方程根的情況，利用根的判別式求出m的值，即可確定原一元二次方程，進而可求出方程的根．【解答】解：由題意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．當(dāng)m=5時，原方程化為x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根為x1=x2=2．【點評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．15.【分析】首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論．【解答】證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．【點評】此題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．16.【分析】根據(jù)∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根據(jù)ASA即可證出△FBC≌△EAB．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），在△ABE和△BCF中∴，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE=CF．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，利用正方形性質(zhì)得出∠BAE=∠CBF是解題關(guān)鍵．17.【分析】（1）連接AC，由菱形ABCD，得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AB=AC，即可證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B=60°，繼而求得∠BAD的度數(shù)．（2）因為BE=CE，AD=BC=4cm，所以BE=2cm，利用勾股定理即可求出AE的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°．∴∠BCD=∠BAD=120°；（2）∵AB=AD=4cm，BE=CE，∴BE=2cm，∴AE===2cm．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的運用．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）18.【分析】（1）從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以是菱形；（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC為60°，即可得△BEC是等邊三角形，求得BE=BC=CE=6，再過點E作EG⊥BC于點G，求的高EG的長，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，又∵BE=EF，∴四邊形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等邊三角形，∴BE=BC=CE=6，過點E作EG⊥BC于點G，∴EG=BE?sin60°=6×=3，∴S菱形BCFE=BC?EG=6×3=18．【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點．注意證得△BEC是等邊三角形是關(guān)鍵．19.【分析】（1）根據(jù)方程根的個數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)方程的解析式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，再結(jié)合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1?x2，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，經(jīng)驗值m=﹣1符合題意，此題得解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜．∴m的取值范圍為m＜．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，∴x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，∴x12+x22=﹣2x1?x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．當(dāng)m=﹣1時，△=4﹣8m=12＞0．∴m的值為﹣1．【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）結(jié)合題意得出4﹣8m＞0；（2）結(jié)合題意得出4﹣4m=8．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式是關(guān)鍵．20【分析】（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．【解答】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．【點評】本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運用．21.【分析】本題可設(shè)道路寬為x米，利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，如此一來，所有草坪面積之和就變?yōu)榱耍?2﹣x）（20﹣x）米2，進而即可列出方程，求出答案．【解答】解法（1）：解：利用平移，原圖可轉(zhuǎn)化為右圖，設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意得：（20﹣x）（32﹣x）=540整理得：x2﹣52x+100=0解得：x1=50（舍去），x2=2答：道路寬為2米．解法（2）：解：利用平移，原圖可轉(zhuǎn)化為右圖，設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意得：20×32﹣（20+32）x+x2=540整理得：x2﹣52x+100=0解得：x1=2，x2=50（舍去）答：道路寬應(yīng)是2米．【點評】這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進而即可列出方程，求出答案．另外還要注意解的合理性，從而確定取舍．五、（本大題10分）22.【分析】（1）設(shè)所求方程的根為y，則y=﹣x，所以x=﹣y，代入原方程即可得；（2）設(shè)所求方程的根為y，則y=（x≠0），于是x=（y≠0），代入方程ax2+bx+c=0整理即可得．【解答】解：（1）設(shè)所求方程的根為y，則y=﹣x，所以x=﹣y，把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1