專題35 最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題35最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.費(fèi)馬點(diǎn)模型 1模型2.加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型 12 20模型1.費(fèi)馬點(diǎn)模型結(jié)論：如圖1，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。圖1圖2圖3注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120°）證明：如圖2，以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小．此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。【最值原理】兩點(diǎn)之間，線段最短。例1．（23-24九年級上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是．【答案】【分析】將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點(diǎn)C作，交的延長線于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，易得是等邊三角形，可得，進(jìn)而得到，當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共線時(shí)，有最小值，再求出和的長度，由勾股定理可求解．【詳解】解：將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點(diǎn)C作，交的延長線于N，∴，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共線時(shí)，有最小值．∵，，∴，∴，∴．在中，，即點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形是本題的關(guān)鍵．例2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，是邊上一動點(diǎn)，將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，矩形內(nèi)有一動點(diǎn)連接則的最小值為．【答案】【分析】將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，從而將轉(zhuǎn)化到，當(dāng)點(diǎn)E、、P、、在同一條直線上時(shí)，=取得最小值．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則有：、是等邊三角形，=由折疊的性質(zhì)可知，的運(yùn)動軌跡是以E為圓心，EB長為半徑的圓（如圖所示），故當(dāng)E、、P、、在同一直線上時(shí)取最小值；是的中點(diǎn)，、是等邊三角形，DC=4，，，的最小值為：==；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中求最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化到同一直線中求解．例3．（23-24九年級下·河南周口·階段練習(xí)）【問題背景】在已知所在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個(gè)問題是有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師費(fèi)馬在1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．解決方法如下：如圖2，把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)P，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，），連接，則，．∵_(dá)_____，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當(dāng)點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”時(shí)，______；（3）如圖3，△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【實(shí)際應(yīng)用】圖4所示是一個(gè)三角形公園，其中頂點(diǎn)A，B，C為公園的出入口，，，AC＝4km，工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個(gè)出入口的距離最小，則的最小值是______．【答案】問題背景：（1）見解析；（2）；（3），理由見解析；實(shí)際應(yīng)用；【分析】問題背景：（1）先證明為等邊三角形，得到，則，由此可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，則，，即可利用周角的定義得到；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角，得到，為直角三角形，進(jìn)而得到，證明，得到，即可得出結(jié)論；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由問題背景（1）可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，最小值為，過點(diǎn)作交延長線于D，證明是等腰直角三角形，得到，則，利用勾股定理得到，則得最小值為．【詳解】解：問題背景：（1）如圖2，把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)P，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，），連接，則，．∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（2）如圖2所示，設(shè)交于O，由（1）可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，又∵，∴∵為等邊三角形，∴，∴，，∴，∴，故答案為：；

（3），理由如下：∵，，∴，如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則：，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴；實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由問題背景（1）可得當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，最小值為，過點(diǎn)作交延長線于D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴得最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·重慶·九年級專題練習(xí)）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；（2）證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例5．（2024·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．【答案】15+10【分析】將△AEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FM、FF'，如圖2，此時(shí)EH、EF、FM共線，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△AEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF=FF'，F(xiàn)C=F'M，∴當(dāng)H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時(shí)，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案為：（15+10）．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和最短路徑問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，確定最小值時(shí)點(diǎn)E和F的位置是本題的關(guān)鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結(jié)論．模型2.加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型結(jié)論：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。例1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時(shí)，的長度最大，并畫出圖形，在中求出的長，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過P作于S，過點(diǎn)L作垂直的延長線于點(diǎn)Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時(shí)，的長度最大，如圖所示：

此時(shí)，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長最小，由題意，，，，，過點(diǎn)L作垂直的延長線于點(diǎn)Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.例2．（2024·重慶·二模）已知中，點(diǎn)和點(diǎn)是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接，和，．(1)如圖1，若，，，求的長度；(2)如圖2，連接和，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接和，若，求證：；(3)若，，當(dāng)取得最小值，且取得最大值時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，再證明，得出，進(jìn)而即可得證；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，進(jìn)而確定的位置，根據(jù)點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)取得最大值時(shí)，在的延長線上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，進(jìn)而解直角三角形，求得的長，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵中，∴，，∵，，∴，．又∵，∴∴∴；（2）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，又∵是，，∴，∵∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，在中，∴∴∴即又∵即，∴∴∵∴∴（3）解：∵中，，∴是等邊三角形，如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，，則是等邊三角形，是等邊三角形，∵取的中點(diǎn)，則，∵是的中點(diǎn)，，，∴∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小此時(shí)如圖所示，∴∵，∴，∴是直角三角形，∴是直角三角形，∴∵∴∴設(shè)，則，，在中，∵是等邊三角形，∴，在中，∴∴解得：∴，取的中點(diǎn)，連接，∵∴點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，在的延長線上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）在等邊中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則，，連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，且，求的面積；(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，在內(nèi)部有一個(gè)動點(diǎn)P，連接、、，直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)M，求得，，，利用計(jì)算即可．（2）在上取點(diǎn)M使，連接．則由可證明，從而有，；再由證明，得，則由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，證明，得到，根據(jù)勾股定理，得，從而得到，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到，得到當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R，則四邊形是矩形，利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解答即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)M，∵等邊，∴，，∵點(diǎn)D為中點(diǎn),∴，，∵，，，∴，由勾股定理得，解得；∵，，∴，∴．（2）解：．理由如下：在上取點(diǎn)M使，連接．∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，∴．（3）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，使得，根據(jù)題意，得，，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，∵，∴當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，∵，∴，∴，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R，則四邊形是矩形，∴，∵等邊，∴，，∴，∴，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的知識是解題的關(guān)鍵．本題有一定的難度，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．1．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為______．【答案】【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，然后即可得為等邊三角形，同理為等邊三角形，接著證明當(dāng)、、三條線段在同一直線上，的值最小，即的值最小，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，即最小值為：，問題隨之得解．【詳解】如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：，，，為等邊三角形，同理為等邊三角形，，，，當(dāng)線段、、三條線段在同一直線上，且該直線與垂直時(shí)，的值最小，即的值最小，如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，最小值為：，在矩形中，于點(diǎn)E，即可知四邊形是矩形，，即，為等邊三角形，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長為______．【答案】【分析】首先通過SAS判定，得出，因?yàn)?,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過點(diǎn)E作交CB的延長線于F，由題意求出，設(shè)正方形的邊長為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．【詳解】∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過點(diǎn)E作交CB的延長線于F，可得．設(shè)正方形的邊長為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3.（24-25九年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為．【答案】7+2【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴即PB2＝12∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì)．4．（2023·四川成都·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一動點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)處，若點(diǎn)P是矩形內(nèi)一動點(diǎn)，連接，則的最小值為．?【答案】/【分析】本題考查了圖形的折疊與旋轉(zhuǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用，勾股定理等知識點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，由等腰三角形得出，再由折疊得出點(diǎn)的軌跡在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓周上，所以的最小值為，即的最小值為，經(jīng)計(jì)算得出答案即可，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)及圖形的折疊對稱的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，則三點(diǎn)共線，，∴，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，由折疊成，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，∴，∵兩點(diǎn)間線段最短，∴，即，∴，∴，則的最小值為，故答案為：．5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分別以、為邊在下方構(gòu)造等邊三角形、，分別取、中點(diǎn)，連接，先證得，可得，由中位線可得，由等邊三角形性質(zhì)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)即可求得的最小值，最終求出的最小值．【詳解】分別以、為邊在下方構(gòu)造等邊三角形、，分別取、中點(diǎn)，連接，如圖所示，∵取、中點(diǎn)，∴，∵等邊三角形，∴，∵等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用手拉手模型構(gòu)造輔助線．6．（23-24九年級上·重慶渝中·自主招生）如圖，E是邊長為8的正方形的邊上的動點(diǎn)，于點(diǎn)F，G在上，且，P是平面內(nèi)一動點(diǎn)，H是上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】連接，以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，則以O(shè)為圓心，以為半徑的圓中的一個(gè)銳角圓周角為，過點(diǎn)O作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作交的延長線于點(diǎn)P，，利用旋轉(zhuǎn)解答即可．【詳解】解：連接，根據(jù)題意，得，∵，，∴∴，以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，則以O(shè)為圓心，以為半徑的圓中的一個(gè)銳角圓周角為，根據(jù)，得對角互補(bǔ)，∴G的運(yùn)動軌跡為以O(shè)為圓心，以為半徑的圓的紅色圓弧，過點(diǎn)O作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作交的延長線于點(diǎn)P，則四邊形是正方形，且，∴，，取，連接，∵，，∴，且，∴，∴，∴，將四邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則，如圖作，∴，∴，∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形不等式的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如可看做是圖一中的長，可看做是的長．材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題．費(fèi)馬點(diǎn)即在中有一點(diǎn)使得的值最?。▽W(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：將繞點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)得到，并連接易得是等邊三角形、，則，則，所以的值最小為．請結(jié)合以上兩材料求出的最小值

【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造直角三角形，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)為，進(jìn)而得到，，，將繞點(diǎn)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并做，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的性質(zhì)，求出的長，根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式可看做下圖中的，其中為，則，，將繞點(diǎn)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并做，，，，，，為等邊三角形，，，，又，∵，∴，∴的最小值為；的最小值為．

8．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┚C合與實(shí)踐：【問題情境】學(xué)完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個(gè)問題并證明了：如圖1，等邊與等邊共一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，無論怎么擺放可通過恒有．于是提出了如下問題．

【問題證明】（1）如圖2，M是等腰內(nèi)一點(diǎn)，N是等邊內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．求證：是等邊三角形．【遷移應(yīng)用】（2）在（1）的基礎(chǔ)上，知點(diǎn)M是等腰內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到三角形3個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，即最小時(shí)，我們把M點(diǎn)稱為等腰的“紫荊點(diǎn)”．若M是等腰的紫荊點(diǎn)，求．完成以下推導(dǎo)過程：（①填理由；②填線段；③與④填關(guān)系式）解：如圖3，令，分別是等腰，等邊內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∴∵是等邊三角形∴，由①可知：∴的最小值的最小值=②∴如圖4，當(dāng)D、N、M、C在一條直線上時(shí)．M是等腰的紫荊點(diǎn)∴③；④∴

【拓展提升】（3）甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)等腰“紫荊點(diǎn)”的作法：如圖5，已知，在AB的左側(cè)作等邊．連接，與的角平分線交于點(diǎn)M，點(diǎn)M就是“紫荊點(diǎn)”，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)是否正確？請說明理由．【答案】（1）見詳解（2）①兩點(diǎn)之間，線段最短，②③④（3）正確，理由見詳解【分析】（1）因?yàn)?，所以，，因?yàn)槭堑冗吶切?，則，故，即可證明是等邊三角形；（2）依題意，由的最小值的最小值，知道①填寫的內(nèi)容是兩點(diǎn)之間，線段最短，即②填寫的是；根據(jù)，又因?yàn)橐约班徰a(bǔ)角性質(zhì)，故，因?yàn)槿切瓮饨切再|(zhì)，知，結(jié)合推導(dǎo)前后內(nèi)容，即可作答；（3）連接，在上取點(diǎn)N，使，根據(jù)是等腰的角平分線，得，結(jié)合，所以，證明，得，，證明是等邊三角形，，，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵是等邊三角形，則，∴∵，∴是等邊三角形；（2）解：如圖3，令，分別是等腰，等邊內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∴∵是等邊三角形∴，由兩點(diǎn)之間，線段最短可知：∴的最小值的最小值∴如圖4，當(dāng)D、N、M、C在一條直線上時(shí)．M是等腰的紫荊點(diǎn)∴；∴

（3）正確，證明如下：如圖：連接，在上取點(diǎn)N，使，連接，∵是等腰三角形∴∵是等腰的角平分線，∴∵，∴∴，∵是等邊三角形，是等腰三角形∴∴∵∴∴，，∴，∴是等邊三角形，則，即，結(jié)合“紫荊點(diǎn)”的定義，則甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)是正確的．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、以及等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（2024·陜西西安·二模）問題提出(1)如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，則______．問題解決(2)如圖2，五邊形ABCDE是某公園局部平面圖，，，，，，．現(xiàn)需要在該五邊形內(nèi)部修建一條人工小溪，并建造一座觀賞橋梁PQ和三條觀光路AP，CQ，DQ，且，．已知觀賞橋梁修建費(fèi)用每米2a元和觀光路修建費(fèi)用每米a元．是否存在點(diǎn)P，使得修建橋梁和觀光路總費(fèi)用最低？若存在，請用含有a的代數(shù)式表示出總費(fèi)用最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)150°；(2)最小的總費(fèi)用為元【分析】（1）、將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，則可得為等邊三角形，由勾股定理逆定理可得：，即可求解；（2）、連接BE，BP，EP，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接由（1）方法可得最小，即需最小，所以當(dāng)A，P，，四點(diǎn)共線時(shí)，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖3，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，則，，為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）如圖4，連接BE，BP，EP，修橋梁費(fèi)用為100a，修觀光路費(fèi)用為．∵，，∴四邊形BCQP是平行四邊形，四邊形PQDE是平行四邊形，∴，，∴要使最小，則需最小．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．∴是等邊三角形，∴，，∴，當(dāng)A，P，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴的最小值為，如圖5，延長，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，∵，，∴．∵，∴，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理，得，∴最小的總費(fèi)用為元．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)，等邊三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，利用三角形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出輔助三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）（1）如圖①，在中，，，P為內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值．為了求的最小值，小明是這樣做的：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則，連接．此時(shí)小明發(fā)現(xiàn)，且，則為等邊三角形，于是．試著根據(jù)小明的思路，求出的最小值．（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地，其中米，米，點(diǎn)E在邊上且米，F(xiàn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為．牧場主欲在四邊形的四條邊上裝上柵欄飼養(yǎng)土雞，并將B點(diǎn)、C點(diǎn)分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形內(nèi)一點(diǎn)P處打一口井，并修建地下管道，，．請問：是否存在一點(diǎn)P，使的值最??？如果存在，請求出的最小值及此時(shí)的長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，的最小值為300，的長為米【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)．（1）連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，再由勾股定理得即可解答．（2）連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為弧，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，，，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，當(dāng)E，，P，，C五點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，證得為等邊三角形，再由特殊角的三角函數(shù)得到，米，則，再根據(jù)勾股定理得的值，設(shè)交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，易證，即可解答．【詳解】解：（1）如圖①，連接．根據(jù)小明的思路可知，，，則．∵，，在中，，當(dāng)C，P，，E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，的最小值為．（2）存在．∵點(diǎn)A，關(guān)于對稱，米，點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，50米為半徑的圓弧上．如圖②，連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為?。桑?）同理可得，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，，，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，為等邊三角形，，∵，米．當(dāng)E，，P，，C五點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)為與弧的交點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M．∵，為等邊三角形，米．∵，，，（米），在中，（米）．易得米，米，則（米），（米），在中，（米），（米），的最小值為300．設(shè)交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q．，，，即，米，米，米，，，，，米，易知當(dāng)取得最小值時(shí)，，在中，（米）．答：的最小值為300，此時(shí)的長為米．11．（23-24八年級下·陜西·階段練習(xí)）課本再現(xiàn)：（1）把兩個(gè)全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則的度數(shù)為________；

圖1圖2

圖3遷移應(yīng)用：（2）如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點(diǎn)G，求證：；

拓展延伸：（3）如圖3，在菱形中，，E是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點(diǎn)G．

①線段與的數(shù)量關(guān)系是________②連接，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接．若，則的最小值為________．【答案】（1）90；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）先證明，可得，從而得到，由此可得答案；（2）過點(diǎn)F作交延長線于點(diǎn)H，結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，可得，從而得到，進(jìn)而得到是等腰直角三角形，即可證明結(jié)論；（3）①過點(diǎn)F作，與的延長線交于點(diǎn)H，可證得，從而得到，，，進(jìn)而得到，，繼而得到；②把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線交的延長線于點(diǎn)H，得為等邊三角形，求出,當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的長，可得的最小值為的長，根據(jù)勾股定理可求解【詳解】解：（1）∵矩形和矩形是全等矩形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：90；（2）如圖，過點(diǎn)F作交延長線于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；（3）①過點(diǎn)F作，與的延長線交于點(diǎn)H，∵四邊形是菱形，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，故答案為：；②如圖，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線交的延長線于點(diǎn)H，則，∴是等邊三角形，∴∴，當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為線段的長，∵四邊形是菱形，且，∴，，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形、矩形、菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵12．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)D．點(diǎn)G是射線AD上一點(diǎn)，過G作分別交AB、AC于點(diǎn)E、F：

(1)如圖①所示，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求證：；(2)如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)G在線段AD外，且點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，請直接寫出的最小值．參考公式：【答案】(1)證明見詳解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）過點(diǎn)作上交延長線于點(diǎn)，由等腰直角三角形可得，，由““可證，可得，可得結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長，由角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由題：在中，，，于點(diǎn)，,則也是上的中點(diǎn)，即是的垂直平分線，，，，，，，．（2），理由如下：如圖1，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，，

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，，，，，，是等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長，，，，，，，的最小值為：．【點(diǎn)睛】考查綜合運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識作輔助線證明的能力，用旋轉(zhuǎn)的知識解決幾何最值問題，對于與等腰直角三角形有關(guān)的證明題往往要進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)，把要證明的要素集中到一個(gè)熟悉的圖形中進(jìn)行，最值問題常常要通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)把要求的線段之和或差轉(zhuǎn)化為俱有固定端點(diǎn)的折線，然后據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解決．13．（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問題．后來人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問題解決：（1）費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2【分析】（1）連接AE，由兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；（2）在Rt△ABC中先求出AC，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等，再根據(jù)圓的特點(diǎn)、菱形與勾股定理即可求出GE，故可求解．【詳解】（1）連接AE，如圖，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值為線段AE的長故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；AE；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=如圖2，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，可得△CPD為等邊三角形，∠BCE=60°∴PD=PC由旋轉(zhuǎn)可得DE=PB，CE=BC=4∴PA+PB+PC=PA+DE+PD由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°∴在Rt△ACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值為2；（3）存在在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，如圖3，在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，連接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均為等邊三角形∴PD=PF由旋轉(zhuǎn)可得PA=GF∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等∵∠BEC=90°∴點(diǎn)E在以BC為直徑的O上，如圖3則OB=OC==2如圖3，連接OG交O于點(diǎn)H，連接CG交AD于點(diǎn)K，連接AC，則當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值為線段GH的長∵菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4∴△ABC、△ACD均為等邊三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°∴四邊形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30°∴CG、AD互相垂直平分∴DK=AD=2∴根據(jù)勾股定理得CK=∴CG=2CK=∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG中，OG=∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值為2-2．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形與圓綜合的最短距離，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理及兩點(diǎn)之間的距離特點(diǎn)．14.（23-24九年級上·湖北襄陽·自主招生）（1）如圖在內(nèi)部有一點(diǎn)，是正三角形，連接、、，將線段繞順時(shí)針反向旋轉(zhuǎn)至，①求證：；②調(diào)整P點(diǎn)的位置，使最小，求此時(shí)和的大小.（2）如圖在直角三角形中，，，在其內(nèi)部任取一點(diǎn)，求的最小值.

【答案】（1）①證明見解析部分②，（2）【分析】（1）①證明，可得結(jié)論；②利用兩點(diǎn)之間線段最短以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）如圖（2）中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求出的值，可得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：，，是等邊三角形，，，，，，，，，；②解：，當(dāng)，，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，，；（2）解：如圖（2）中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

，，是等邊三角形，，，，當(dāng)，，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為線段的長，，，，，，，，，，，．的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）