專題07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型 2模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型 7 15模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對頂角相等構(gòu)造等腰。1）角平分線加平行線必出等腰三角形．

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯誤；∵，∴，故C正確，故選：D．例2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，和的平分線相交于點，過點作的平行線交于點，交于點，若的周長為14，則的周長是（

）A．14 B．19 C．21 D．23【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義．由角平分線的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，因此，推出，同理：，于是得到，由的周長，即可求出的周長．【詳解】解：平分，，∵，，，，同理：，，的周長，的周長．故選：C．例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點，CF平分∠BCD交AD于F點，則EF的長為cm．【答案】1【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE=AB，DF=DC，進(jìn)而推出EF=AE+DF-AD．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可證：DF＝DC＝AB＝3cm，則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案為：1．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等邊．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．【答案】5【詳解】由角度分析易知，即，∵∴∵∴【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．例6．（2023九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖1，在中，和的平分線交于點O，過點O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；(2)當(dāng)時，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點O，過點O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)8(2)，見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證，即可得出答案；（2）與（1）同理由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證．【詳解】（1）解：∵，∴，∵和的平分線交于點O，∴，∴，∴，∴，故答案為：8；（2），理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴．模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型角平分線第二定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講，但它在實戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時候能起到事半功倍的良好效果。1）內(nèi)角平分線定理條件：如圖，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：證明：作，作DHAB垂足分別為F，H.∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DH，則==（2）作BECA垂足為E，則==∴=2）外角平分線定理圖2圖3條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D。結(jié)論：．證明：如圖2，過C作．交BA的延長線于E，∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形。結(jié)論：=c：a：b。證明：過點作于點，作于點，作于點．

由題意知：，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長分別為a，b，c，．例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交于點和點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質(zhì)得出，利用等角對等邊得出，進(jìn)而得出，然后利用面積公式即可求解．【詳解】解：∵，∴，由作圖知：平分，∴，∴，，∴，∴，∴，又的面積為8，∴的面積是，故選B．例2．（2023·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的三邊、、長分別是10、15、20．其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形，等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過O點作，，，垂足分別為，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，再利用三角形的面積公式計算可求解．【詳解】解：過O點作，，，垂足分別為，，，的三條角平分線交于點O，，，，，．故選C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，利用角平分線的性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級上·吉林·期末）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，∵是的角平分線，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【類比探究】如圖②，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．求證：．【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]，，；[類比探究]證明見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，等高三角形面積的關(guān)系．熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．[探究發(fā)現(xiàn)]根據(jù)過程填寫即可；[類比探究]證明過程同[探究發(fā)現(xiàn)]．【詳解】[探究發(fā)現(xiàn)]證明：∵是的角平分線，且，，∴．∴．又∵，∴．故答案為：，，；[類比探究]證明：如圖②，過點D作于N，過點D作于M，過點A作于點P．∵平分，∴．∴，又∵．∴．例4．（23-24九年級上·湖南婁底·期末）一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個論證．如圖1，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作，交的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點．連接，將沿所在直線折疊，點C恰好落在邊上的E點處．①若，，求的長；②若，，求的長（用含k與的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過點C作，交的延長線于點E，先證明，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定證得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）①先由折疊性質(zhì)得到，，，由（1）知，，則，利用勾股定理求得，進(jìn)而可求解；②由折疊性質(zhì)得，，,由（1）得，利用正切定義得，則，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：過點C作，交的延長線于點E，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴，∴；（2）解：①∵將沿所在直線折疊，點C恰好落在邊上的E點處．∴，，，由（1）知，，又，，∴，即，在中，，，，∴，∴，則，∴；②由折疊性質(zhì)，得，，,由（1）得，∵，∴，則，由得：，∴，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、折疊性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，涉及知識點較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．例5．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【問題初探】在數(shù)學(xué)活動課上，張老師給出如下問題：“如圖1，在中，是的角平分線，求證：”，有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過點C作的平行線交的延長線于點E，運用等腰三角形和相似等知識解決問題．②如圖3，小強(qiáng)同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路：在上截取，連接，過點C作的平行線交的延長線于點G，也是利用相似等知識解決問題．（1）請你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過程．【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問題進(jìn)行了改編，提出下面問題，請你解答．（2）如圖4，若的外角平分線交的延長線于點D，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，，，平分，求的長．【答案】（1）小麗同學(xué)的解題思路；證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．（1）小麗同學(xué)，由平行線分線段成比例得到，再證即可；小強(qiáng)同學(xué)，證明，則，得到，，則，，即可得到結(jié)論；（2）過點D作交于點M，則，，，由比例的性質(zhì)得到，證明，即可得到結(jié)論；（3）延長交的延長線于點F，求出，，，進(jìn)一步得到，．過點E作于點G，證明是等腰直角三角形，，則，，求得，即可得到答案；【詳解】解：（1）證明：小麗同學(xué)，∵，∴，；∵平分，∴，∴，∴，∴．小強(qiáng)同學(xué)，在上截取，連接，過點C作的平行線交的延長線于點G，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴．（2）證明：如圖4，過點D作交于點M，∴，，，∴，則；∵平分，∴，∴，∴；（3）解：如圖5，延長交的延長線于點F，∵，∴，即，解得，∴，∵，∴，∵平分，∴，．∴過點E作于點G，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，解得，∴．1．（2024·湖南懷化·一模）如圖，以直角的一個銳角的頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直角邊于點D，交斜邊于點E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線交邊于點G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識，解答時過點G作于點H，得到，再由勾股定理求出，再推出，則問題可解【詳解】解：如圖，過點G作于點H，

由尺規(guī)作圖可知，為平分線，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．2．（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，中，與的平分線交于點F，過點F作交于點D，交于點E，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③的周長等于與的和；④；⑤若，則．其中正確的有（

）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)．由角平分線的定義可得，，結(jié)合平行線的性質(zhì)可知，，進(jìn)而可得，，由等邊對等角可得，，再根據(jù)等量代換逐項判斷即可．利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：①∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴和都是等腰三角形，∴①選項正確，符合題意；②∵，，，∴，∴②選項正確，符合題意；③∵的周長為，∵，∴的周長為，∴③選項正確，符合題意；④根據(jù)題意的角度數(shù)不確定，故不能得出，∴④選項不正確，不符合題意；⑤∵若，∴，∵，，∴，∴，∴⑤選項正確，符合題意；故正確的有：①②③⑤．故選：A．3．（2023春·山東淄博·九年級校考期中）如圖，中，，點I為各內(nèi)角平分線的交點，過I點作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】連接、、，過I作于M，于N，利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線段的長度，即可得解．【詳解】解：連接、、，過I作于M，于N，∵點I為各內(nèi)角平分線的交點，，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長度．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線段的長度是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點于，，下列四個結(jié)論：①；②；③若的周長為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可驗證結(jié)論①；如圖所示，在上截取，可證，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可驗證結(jié)論②；如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計算方法可驗證結(jié)論③；結(jié)合結(jié)論②，③，圖形結(jié)合，等面積法等知識可驗證結(jié)論④．【詳解】解：結(jié)論①，∵，，∴，∵是的角平分線，∴，，∴，在中，，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，由結(jié)論①正確可知，，∵，∴，∵，∴，如圖所示，在上截取，

∵是的角平分線，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴，，∴在中，，∴，∴，∴，故結(jié)論②正確；結(jié)論③若的周長為，則，如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，

∵是的角平分線，，，∴平分，，且，∵，∴，故結(jié)論③錯誤；結(jié)論④若，則，如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，∵，，且，∴，如圖所示，過點作于點，

∴，，∴，且，∴，同理，，如圖所示，由結(jié)論②正確可知，，，且∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的有①②④，個，故選：．【點睛】本題主要考查三角形的綜合知識，掌握角的和差計算方法，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線交的性質(zhì)，線段之間比例的計算方法等知識的綜合是解題的關(guān)鍵．5．（2024·江蘇宿遷·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，平分，交于點E，交于點F．若，則的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出，即可得出，再利用勾股定理得出的長，即可得出答案．【詳解】解：過點F作于點G，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴設(shè)，則，則，解得：，即的長為．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是推出．6．（23-24山西八年級期中）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到AD//BC，即∠AEB=∠CBE，再根據(jù)BE是∠ABC的角平分線，即可得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，即AB=AE，從而可以求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故選B.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)判定△ABE是等腰三角形．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，是的中位線，的角平分線交于點F，，，則的長為（

）

A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．先求出和，再證明，即可求出．【詳解】解：∵是的中位線，∴，，，∴，∵是的角平分線交，∴，∴，∴，∴，故選：C．8．（24-25九年級上·廣東·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交于點．若，，則．【答案】【分析】此題考查了平行線分線段成比例，等角等對邊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．過點作交的延長線于點，證明出，然后由得到，然后等量代換得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】如圖，過點作交的延長線于點，則，平分，．故答案為：．9.（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點O，AD交BC于點D，BE交AC于點E，過點O作OF⊥AB于F，若OF=c，則△ABC的面積為．【答案】(a+b)c【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OE⊥AC，AC=2CE=2b，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OF=OG=c，再利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴OE⊥AC，AC=2CE=2b，連接OC，過點O作OG⊥BC于點G，．∵∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點O，且OF⊥AB，∴OE=OF=OG=c，∴△ABC的面積為AB×OF+BC×OG+AC×OE=ac+ac+×2bc=ac+bc=(a+b)c．故答案為：(a+b)c．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點為的邊上一點，點分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)可知，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，∵，，∴，∵，∴，∴是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為．

【點睛】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握角平分線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2024·天津·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，延長至E，使，若，的面積為9，則的面積是．【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，由三角形的面積關(guān)系可求解．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于，于，∵的面積為9，∴，∵是的平分線，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點E是上一點，平分，平分，延長交的延長線于點F．①；②E為的中點；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長為18，其中正確的結(jié)論有．

【答案】①②③④【分析】①根據(jù)平分，平分，，推出，進(jìn)而得，證明；②通過，推出為的中點；③由，推出，得出的長；④由①②③可得的面積等于四邊形的面積為27，再根據(jù)及面積公式求出的長．【詳解】解：，，，，平分，平分，，，，，，，①正確；，，，，，，，為的中點；②正確；，，，③正確；四邊形的面積為27，由①②③可得的面積為27，，，，，，的長為18，④正確．故答案為：①②③④【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)，熟練掌握兩個知識點的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，的三邊長分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個三角形，則等于．

【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點O到三角形三邊的距離相等，即三個三角形的邊上的高相等，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點O作于D，于E，于F，

∵O是三條角平分線的交點，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級下·江蘇南京·自主招生）（1）若為的角平分線，求證：；（2）已知，，，，求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作，作于，則與的面積比既等于，也等于，從而得出結(jié)論；（2）作，，先證明四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，求得，再作，，證明，得到，設(shè)，求得，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：（1）如圖，作于，作于，

平分，，，，；（2）作，，垂足分別為，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，則，，∵，∴，，，∵，∴，∴，作，，垂足分別為，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，設(shè)，則，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．15．（22-23八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點E，F(xiàn)分別是邊，上的動點（不與點A，B，C重合），連結(jié)，．(1)若分別記，的面積為，求的值．(2)設(shè)，，①若，求的值．②若，，請判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)①②是直角三角形，見解析【分析】（1）過D作于G，于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；②由（1）知，，，，根據(jù)三角形的面積公式列方程得到，求得，根據(jù)，得到，，求得，推出是等腰直角三角形，得到，求出，推出點H與點F重合，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：（1）過D作于G，于H，如圖所示：，∵是的角平分線，∴，∴；（2）（2）①∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；②是直角三角形，理由：由（1）知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點H與點F重合，∴，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，角平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2024·吉林長春·三模）如圖①，AD是的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過討論得到如下種證明思路：思路：過點向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；思路：過點作AB的平行線，與AD的延長線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點作的平行線，與的延長線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．(1)請參考以上種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；(2)在圖①中，AD是的角平分線．若，，，則BD的長度為_______；(3)如圖②，在中，，的角平分線BD、CE相交于點，若，則的值為_______．【答案】(1)選擇思路1，見解析(2)(3)【分析】（1）選擇思路：過點向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；選擇思路：過點作AB的平行線，與AD的延長線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點作的平行線，與的延長線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．（2）由（1）得，代入求解即可；（3）在上取一點，使得，由得，再證明，得，從而即可得解．【詳解】（1）解：選擇思路：過點作，于、，令的邊上的高為，∵AD平分，∴，∴，∵的邊上的高為，∴，∴；選擇思路：過點作交AD延長線于點，∴，，∴，∴，∵AD平分，∴，∴，∴；選擇思路：過點作交延長線于點，∴，，，∵AD平分，∴，∴，∴；（2）解：由（）得，∵，，，∴，∴，故答案為：；（3）解：在上取一點，使得，∵，∴，∴，∵，∴，∵的角平分線BD、CE相交于點，∴，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的定義以及平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（22-23九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過觀察、測量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過點D分別作于點E，于點F，利用與的面積比證明結(jié)論．方法2：過點B作交AD延長線于點E，利用與相似證明結(jié)論．請你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點E在邊AB上，，CE交AD于點F，則______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法1：如圖2-1所示，過點D分別作于點E，于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)的邊邊上的高為h，則，，據(jù)此證明即可；方法2：如圖2-2所示，過點B作交AD延長線于點E，證明，得到，再證明，得到，即可證明；（2）由（1）的結(jié)論可知，如圖所示，過點D作交于H，由平行線分線段成比例定理得到，，則，求出，進(jìn)而求出，即可得到答案．【詳解】（1）解：方法1：如圖2-1所示，過點D分別作于點E，于點F，∵平分，∴，設(shè)的邊邊上的高為h，∵，，∴，∴方法2：如圖2-2所示，過點B作交AD延長線于點E，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴由（1）的結(jié)論可知，如圖所示，過點D作交于H，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖1，在中，的平分線交于點，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗證這個結(jié)論．證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動點，連結(jié)，點關(guān)于的對稱點為點，連結(jié)交于點．(1)請你完成發(fā)現(xiàn)中的證明過程；(2)如圖2當(dāng)，，求的值；(3)如圖3當(dāng)，與的邊垂直時，求的值．【答案】(1)見解析(2)2(3)或或1【分析】（1）延長至，使得，連接，可推出，從而，從而推出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）可推出平分，從而得出；（3）分為三種情形：當(dāng)時，由（1）知：，當(dāng)時，作于，不妨設(shè)，則，，，從而得出，當(dāng)時，可得出．【詳解】（1）證明：如圖1