專題03 圓中的重要模型之圓弧的中點(diǎn)模型解讀與提分精練（北師大版）

專題03圓中的重要模型之圓弧的中點(diǎn)模型當(dāng)圓中出現(xiàn)弧的中點(diǎn)時，我們要注意考慮幾個方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，弧，圓心角，圓周角的關(guān)系等等。其關(guān)系復(fù)雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎(chǔ)之上，還要注意各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導(dǎo)模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復(fù)雜的綜合題型以及壓軸題型。當(dāng)圓中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)或弧的中點(diǎn)時，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進(jìn)行思路的突破，這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型 2模型2.與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型） 6模型3.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型 13模型4.與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型 17 25大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！模型1.與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，結(jié)論：OP⊥AB；2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，過點(diǎn)P作MN∥AB，結(jié)論：MN是圓O的切線；3）條件：如圖3，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接BP、AP，若∠BPN=∠A，結(jié)論：MN是圓O切線。證明：1）根據(jù)垂徑定理易得：OP⊥AB；2）由1）知：OP⊥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圓O的切線。3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠ABP=∠BAP，∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圓O的切線。例1．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8例2．（2023·湖南長沙·?？寄M預(yù)測）如圖，是⊙的弦，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則⊙的半徑為．例3．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在半徑為的中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，且，①求扇形的面積為；②若，則的長是．

例4．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，關(guān)于對稱的經(jīng)過所在圓的圓心，已知，點(diǎn)為上的點(diǎn)，則（1）；（2）點(diǎn)到的最大距離是；（3）若點(diǎn)、分別是的中點(diǎn)，則的長為．模型2.與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子模型）1）條件：如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB．2）條件：如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，結(jié)論：∠PCA=∠PCB=45°．3）條件：如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，結(jié)論：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。證明：1）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PCA=∠PCB，2）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PCA=∠PCB，∵AB是直徑，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，3）∵P是中點(diǎn)，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。例1．（2023·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求線段的長；(3)延長至，連接，使的面積等于，求的度數(shù)．

例3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，為延長線上一點(diǎn)，切于，是的中點(diǎn)，交于，(1)求證：；(2)若，，求的長．

例4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形中，連接，作的外接圓交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，．(1)若，求證：是的切線；(2)若，求的半徑；(3)若，為的中點(diǎn)，則的長為______．

模型3.垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型條件：如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，連結(jié)PB交AC于點(diǎn)F。結(jié)論：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．證明：1）∵P是中點(diǎn)，∴，∵AB是直徑，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，∵AB是直徑，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，例1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023春·浙江臺州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過D作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，，．當(dāng)點(diǎn)P為下面半圓弧的中點(diǎn)時，連接交于H，則的長為（）

A． B． C． D．12例3．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，的半徑是3，求的長．例4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，是的一條弦，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)已知，求的值．

模型4.與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖21）同側(cè)型:條件：如圖1，A為弧BC中點(diǎn)，∠ABC=∠ACB=θ，D為圓上ABC底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD+CD=2AD×cosθ；2）異側(cè)型:條件：如圖2，A為弧BC中點(diǎn)，∠ABC=∠ACB=θ，D為圓上ABC底邊上方一點(diǎn)，結(jié)論：BD-CD=2AD×cosθ；托勒密定理（補(bǔ)充知識）：圓內(nèi)接四邊形的對角線乘積等于對邊乘積的和。即：AD×BC=BD×AC+DC×AB。證明：1）同側(cè)型：設(shè)AB=AC=m，則BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：AD×BC=BD×AC+DC×AB；即：m×BD+m×CD=2mcosθ×AD；故：BD+CD=2AD×cosθ。特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時（即θ=60°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時（即θ=45°）；結(jié)論：BD+CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時（即θ=30°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）異側(cè)型：設(shè)AB=AC=m，則BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：BD×AC=AD×BC+DC×AB；即：BD×m=AD×2mcosθ+CD×m；故：BD-CD=2AD×cosθ。特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時（即θ=60°）；結(jié)論：BD-CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時（即θ=45°）；結(jié)論：BD-CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時（即θ=30°）；結(jié)論：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年級期中）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長度．例2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為的直徑，過點(diǎn)C作射線，，點(diǎn)B為弧的中點(diǎn)，連接，，．點(diǎn)P為弧上的一個動點(diǎn)（不與B，C重合），連接，，，．(1)若，判斷射線與的位置關(guān)系；(2)求證：．

例3．（2023·九年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB?CD＝AC?BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）∴AD?BC＝AC?ED∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED）∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．（請寫出）（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求AC的長．1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，，，是上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)是弧的三等分點(diǎn)，且弧大于弧，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且若，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的頂點(diǎn)上，的半徑為1，E是劣弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶·三模）如圖，是半徑為6的的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，圖中陰影部分的面積為．

6．（2024·廣東東莞·九年級?？计谀┤鐖D，A，B，C，D是圓上的四個點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，如果，那么．

7．（2023·安徽安慶·?？级＃┮阎?，如圖，點(diǎn)是優(yōu)弧的中點(diǎn)，，，則的半徑是．

8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接中，，為的中點(diǎn)，于，求證：．

9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．（1）若，則的長是（結(jié)果保留）；（2）若，則．

10．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，連接，．過圓心作的平行線，分別交的延長線、及于點(diǎn)．(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)求證：；(3)若是的中點(diǎn)，的半徑為6，求陰影部分的面積．

11．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．

12．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，連接．若．(1)求證：是的切線；(2)連接．若，，求的長．

13．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)P是弦上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)E，射線交于點(diǎn)F，交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，F(xiàn)是的中點(diǎn)，求的長．

14．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，為的外接圓，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，作的角平分線交于點(diǎn)E．(1)尺規(guī)作圖：作出線段；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，求證：；(3)若，求的周長．15．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，F(xiàn)為過點(diǎn)B的切線上的一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，．(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連接，交于點(diǎn)N，求證：．(3)在（2）的條件下，，，求的半徑．16．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線與的外接圓和分別相交于點(diǎn)，，連接并延長，分別交，于，．(1)求證：；(2)當(dāng)為中點(diǎn)，時，求的長；(3)若，求證：．

17．（2024·