專題07 圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型解讀與提分精練（北師大版）

專題07圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。內(nèi)切圓、外接圓模型常以選填題的形式考查，而內(nèi)切圓與外接圓模型結(jié)合多以綜合題的形式呈現(xiàn)，出題靈活多變，是中考的常考題型。本專題就圓的內(nèi)切圓和外接圓模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.內(nèi)切圓模型 2模型2.多邊形的外接圓模型 5 9大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.內(nèi)切圓模型內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。圖1圖2圖31）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。證明：∵O為三角形ABC的內(nèi)心，∴OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∵O為內(nèi)心，切點(diǎn)為D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，∴點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；∵OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-=180°-=90°+，∴即r=2）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；證明：①②證明同模型1）的證明，∵⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四邊形OECF為正方形，∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。證明：∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。例1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在中，，半徑為的是的內(nèi)切圓，連接，分別交于D，E兩點(diǎn)，則的長為．（結(jié)果用含的式子表示）例2．（2023春·廣東九年級(jí)期中）如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°例3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心．點(diǎn)到邊的距離為；例4．（2023·河南安陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若三角形的面積是24cm2，周長是24cm，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑cm．例5．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，其中，若與相切與G點(diǎn)，與相交于M，N點(diǎn)，則的周長等于．

例6．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

例7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且平分，平分，過點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)、，若與相似，則線段的長為（

）A．5 B． C．5或 D．6模型2.多邊形的外接圓模型外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。圖1圖2圖31）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。證明：∵O為三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC2）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，連結(jié)CD．∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已證），∠BMP=∠AMC（對頂角）?！唷鰾MP≌△AMC，∴，同理：?！?，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∴。3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。證明：連結(jié)OA、OC，設(shè)∠AOC=，∵\(yùn)t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圓周角等于所對的\t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圓心角的一半，∴∠ADC=，同理：∠ABC=，∴；同理：；∵，∴。例1．（2023·湖北武漢·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.例2．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，已知點(diǎn)O是的外心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則．例3．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．若．則外心與外心的距離是（

）A．5 B． C． D．例4．（2024·四川綿陽·?？家荒＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O為Rt△ABC的外心，I為Rt△ABC的內(nèi)心，延長AI交⊙O于點(diǎn)D．連接OI，則cos∠OID的值為．例5．（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．例6．（2023江蘇九年級(jí)上期末）如圖，已知的半徑為1，A、P、B、C是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)的形狀為______；(2)試求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)的最小值．例7．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）內(nèi)接于，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，連接，已知，(1)連接，，則______（用含有的代數(shù)式表示）(2)求證：；(3)連接，若，求的最小值(4)若，為等腰三角形，直接寫出的值．1．（2024·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°2．（2024·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)切圓的圓心，連接并延長交的外接圓于點(diǎn)D，連接，若，則的長為（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3.55．（2023·山東棗莊·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，中，內(nèi)切圓O和邊、、分別相切于點(diǎn)D、E、F，則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．點(diǎn)O是的外心B．C．D．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，5．（2024·四川廣元·三模）如圖，是一塊草坪，其中，陰影部分是的內(nèi)切圓，一只自由飛翔的小鳥隨機(jī)落在這塊草坪上，則小鳥落在陰影部分的概率為．

6．（2023·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是．7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點(diǎn)．將該正方形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，則的半徑為．

8．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為的內(nèi)心．（1）若，則；（2）若，則．9．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，中，，，，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則．10．（23-24九年級(jí)·江蘇南京·自主招生）已知內(nèi)接于，為內(nèi)心，交于．證明：．11．（2023·北京·?？既＃╅喿x以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OIR2Rr.下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結(jié)論）：延長AI交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），∴△MDI∽△ANI.∴，∴IAIDIMIN①如圖②，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°.∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA．∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴，∴②，由（2）知：，∴又∵，∴2Rr(Rd)(Rd)，∴Rd2Rr∴dR2Rr任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IMRd，IN（用含R，d的代數(shù)式表示）；（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（請利用圖1證明）（3）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為6cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．12．（24-25九年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，的半徑為1，A，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)判斷的形狀：；(2)試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)記的面積分別為，若，求的長．13．（2023·廣東深圳·三模）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻在上的移動(dòng)，并始終保持．(1)請判斷的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請你回答這個(gè)結(jié)論：是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿?dòng)時(shí)，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時(shí)隨著螞蟻的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）．14．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D，連接．(1)在圖1中：①證明：；②判斷外心的位置，并證明；(2)如圖2，若為的外接圓直徑，取中點(diǎn)O，且于點(diǎn)I，切圓O于點(diǎn)D，求的值．15．（2024·吉林長春·一模）如圖，為等邊三角形的外接圓，半徑為4，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），連接．(1)求的長；(2)求證：是的平分線；(3)當(dāng)時(shí)，求的長；(4)若點(diǎn)M、N分別在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化，則所有t值中的最大值為______．16．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．

(1)在圖①中作的外接圓；在圖②中作的內(nèi)切圓．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若O、I兩點(diǎn)在同一中，當(dāng)，時(shí)，______，______．（如需畫草圖，請使用圖③）17．（2023·江西新余·九年級(jí)校考階段練習(xí)）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖，與的三邊，，分別相切于點(diǎn)，，則叫做的外切三角形，以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖，與四邊形的邊，，，分別相切于點(diǎn)，，，，則四邊形叫做的外切四邊形．(1)如圖，試探究圓外切四邊形的兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：______（橫線上填“”，“”或“”）；(2)利用圖證明你的猜想；(3)若圓外切四邊形的周長為．相鄰的三條邊的比為．求此四邊形各邊的長．18．（2024·山東九年級(jí)期中）如圖，是