專題20 全等與相似模型之手拉手模型解讀與提分精練（全國）

專題20全等與相似模型之手拉手模型全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.手拉手模型（全等模型） 2模型2.手拉手模型（相似模型） 12 26大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！模型1.手拉手模型（全等模型）將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。等線段，共頂點，旋轉前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進行解決。SAS型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。4）雙正方形形型條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。結論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，過點C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）∴CQ=CP，根據角平分線的判定可得：CN平分∠BND。例1．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點M，P，交于點Q，連接，，下面結論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．(1)求證：，；(2)將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．例3．（2023·山東·九年級專題練習）已知，為等邊三角形，點在邊上．【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結．可得（不需證明）．【遷移運用】如圖2，點是邊上一點，以為一邊作等邊三角．求證：．【類比探究】如圖3，點是邊的延長線上一點，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數量關系，請寫出你的結論并說明理由．例4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，將繞點A順時針旋轉得到，并使C點的對應點D點落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點F，若，求的度數；(3)如圖3，連接，若，則的長為．例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內），連結EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關系，并說明理由．例6．（2024·黑龍江·九年級期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并加以證明．模型2.手拉手模型（相似模型）“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。手拉手模型有以下特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉并縮放后2個三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.證明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，；結論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.證明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點；結論：△BME∽△CMF；.證明：∵M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點，∴，∠BMC=∠EMF=90°，∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.證明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ACE=∠ABD=90°例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉變換是研究數學相關問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的旋轉變換進行研究．(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點D、點E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉a（0°≤a≤360°）．請直接寫出旋轉后BD與CE的數量關系；(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點E、點D．將△ADE繞點A逆時針旋轉至圖中所示的位置時，（1）中結論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點B逆時針旋轉到△FBE，點A落在點F的位置，若等邊三角形的邊長為4，當AB⊥BE時，求出DF2的值．例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實踐問題背景：借助三角形的中位線可構造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉，對應頂點連線的長度存在特殊的數量關系，數學小組對此進行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點D，E，作．如圖2所示，將繞點A逆時針旋轉，連接，．(1)探究發(fā)現：旋轉過程中，線段和的長度存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質應用：如圖3，當所在直線首次經過點B時，求的長．例3．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．

(1)發(fā)現問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數量關系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數量關系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內存在點滿足，，則______．例5．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐問題背景：在數學活動課上，老師帶領同學們進行三角形旋轉的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點，將繞點O順時針旋轉．猜想證明：(1)如圖①，在旋轉的過程中，當點E恰好在的延長線上時，交于點H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉的過程中，當點E恰好落在邊上時，連接，試猜想線段與線段的數量關系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設所在直線與所在直線交于點M，在旋轉的過程中，當點B，F，E在同一直線上時，在M，O兩點中的其中一點恰好是另一點與點C構成的線段的中點，請直接寫出此時的長．例6．（2024·山東濟南·模擬預測）(1)問題發(fā)現：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數量關系為；(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點A逆時針旋轉，其它條件不變．在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖2進行說理．(3)解決問題：當矩形的邊時，點E為直線上異于D，C的一點，以為邊作正方形，點H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長．例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點，E為延長線上一點，且，，則．1．（23-24九年級·遼寧盤錦·開學考試）如圖，在中，，過點C作于點D，過點B作于點M，連接，過點D作，交于點N．與相交于點E，若點E是的中點，則下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，點D是邊上的一個動點，連接，過點C作，使，連接，點F是的中點，連接并延長，交邊所在直線于點G，若，則的長為．4.（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角中，，，過點作，，連接，過點作，垂足為，連接，則長為．5．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，是等邊三角形，，點E是的平分線上的一動點，連接，將點E繞點C順時針旋轉得到點F，連接，．若是直角三角形，則線段的長為

6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點B順時針旋轉得到矩形，點A、C、D的對應點分別為、、．如圖，當過點C時，若，，則的長為．7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點A逆時針旋轉到的位置，使點落在上，與交于點E若，則（從“”中選擇一個符合要求的填空）；．

8．（2024·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應點為B′，則sin∠CB′D=．9．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數學活動課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點B、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結論________________；（寫出一對即可）上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對題目時我們也會“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點E順時針旋轉得到線段．當時，連接，試判斷線段和線段的數量關系，并說明理由；①小明同學從結論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段和線段的數量關系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學從條件入手給出另一種解題思路：可以根據條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構造與全等的三角形來解決問題．請你選擇一名同學的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．【拓展延伸】（3）如下圖，中，當時，點D、E為、上的點，，，若，，求線段的長．10．（23-24九年級下·四川達州·開學考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．(1)如圖，求證；(2)如圖，點在內，，，三點在同一直線上，過點作的高，證明：；(3)如圖，點在內，平分，的延長線與交于點，點恰好為中點，若，求線段的長．11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）問題發(fā)現：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數是；②線段AC，CD，CE之間的數量關系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數及線段AD，BD，CD之間得數量關系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）問題發(fā)現：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數是；②線段AC，CD，CE之間的數量關系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數及線段AD，BD，CD之間得數量關系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度．13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學受到第一問的啟發(fā)構造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．14．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐：如圖，在中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接，以為直角邊在的右側構造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關系是______，數量關系是______；類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關系和數量關系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關于對稱，連接，，，如圖3．已知，設，四邊形的面積為y．①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；②當時，請直接寫出的長度．15．（2024·廣東深圳·模擬預測）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉一個角度，再將旋轉后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，稱這