專題08 三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型解讀與提分精練（全國）

專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題，相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.弦圖模型 2模型2.勾股樹模型 10 18模型1.弦圖模型“弦圖”就是我國三國時期的數(shù)學家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等直角三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當弦恰恰是圍城正方形的邊長時就叫外弦圖模型。數(shù)學具有高度的抽象性，考試中有時候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學習中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈活變形，從而增強數(shù)學的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。圖1圖2圖3圖4（1）內(nèi)弦圖模型：條件：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；證明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．（2）外弦圖模型：條件：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，EFGH是正方形，結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；證明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF

＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．又∵EF

＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：條件：如圖3、4，四邊形ABCD、EFGH、PQMN、均為正方形；結(jié)論：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.證明：由（1）（2）中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用S△表示他們的面積。∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式（知二求二）結(jié)合考查。（4）半弦圖模型圖5圖6圖7條件：如圖5，EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。證明：∵EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。條件：如圖6，EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。證明：同圖5證明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。條件：如圖7，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，結(jié)論：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。證明：∵△ABE和△BCD是Rt△，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°?！唷螦＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。上面三類半弦圖模型的共同特點是兩個直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼就要想到用弦圖的相關(guān)知識解決問題。例1．（23-24八年級下·北京門頭溝·期末）我國漢代數(shù)學家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該圖為“趙爽弦圖”．如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為49，小正方形面積為4，用，表示直角三角形的兩直角邊，下列四個推斷：①；②；③；④．其中所有正確推斷的序號是（

）．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④例2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．44例3．（2023·山東棗莊·二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為．若正方形的邊長為2，則．例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形與四邊形均為正方形，點是的中點，陰影部分的面積為27，則的長為．例5．（23-24八年級下·福建龍巖·階段練習）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）

A．74 B．76 C．78 D．80例6．（2023·河北·八年級期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為1．（1）如圖1，若用a，b表示直角三角形的兩條直角邊（a<b），則ab=______．（2）如圖2，若拼成的大正方形為正方形ABCD，中間的小正方形為正方形EFGH，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，=______．例7．（2024·山東濟南·二模）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了“趙爽弦圖”．將兩個大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10的正方形，則空白部分面積為

例8．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，AE是BC邊上的中線，過點C作，垂足為F，過點B作BC的垂線交CF的延長線于點D．(1)求證：．(2)若，求AE．例9．（23-24八年級下·廣東揭陽·期末）綜合實踐：我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1所示的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形，四邊形和四邊形都是正方形．某班開展綜合與實踐活動時，選定對“趙爽弦圖”進行觀察、猜想、推理與拓展．(1)小亮從弦圖中抽象出一對全等三角形如圖2所示，請你猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系：__________；(2)小紅從弦圖中抽象出另一對全等三角形如圖3所示，請你猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系：________；(3)小明將圖3中的延長至點M，使得，連接與相交于點N，請你在圖3中畫出圖形．若，求線段與之間的數(shù)量關(guān)系．模型2.勾股樹模型勾股樹，也叫“\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"畢達哥拉斯樹”。是由\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"畢達哥拉斯根據(jù)\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形，如下圖。又因為重復多次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為勾股樹。模型特征：在直角三角形外，分別以三條邊作相同的圖形，則兩直角邊所作圖形面積之和等于斜邊所作圖形的面積。該模型主要根據(jù)勾股定理的關(guān)系及等式性質(zhì)求解，常用來解決相關(guān)面積問題。條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊為元素所作圖形的面積為S1，S2，以斜邊為元素所作的圖形的面積為S3。結(jié)論：S1+S2=S3證明：設圖中兩直角邊為a、b，斜邊為c；且a、b、c三邊所對應的等邊三角形面積分別為S1、S2、S3。由等邊三角形和勾股定理易得：S1的高為：；∴S1。同理：；。由題意可得：；∴S1+S2=S3由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也?？嫉妊苯侨切?。條件：如圖，正方形的邊長為a，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，結(jié)論：。證明：∵正方形的邊長為a，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，…，條件：如圖，“勾股樹”是以邊長為m的正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，結(jié)論：第n代勾股樹中正方形的個數(shù)為：；第n代勾股樹中所有正方形的面積為：。證明：由題意可知第一代勾股樹中正方形有=22-1（個），第二代勾股樹中正方形有=23-1（個），第三代勾股樹中正方形有=24-1（個），由此推出第n代勾股樹中正方形有（個）。設第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據(jù)勾股定理可得：=m2，∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為；同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為；第n代勾股樹中所有正方形的面積為。例1．（23-24八年級下·河北承德·期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，以直角三角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形．那么，這四個圖形中，直角三角形外，其他幾個圖形面積分別記作、、．結(jié)論Ⅰ：、、滿足只有（4）；結(jié)論Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，判斷正確的是（

）．A．Ⅰ對Ⅱ不對B．Ⅰ不對Ⅱ?qū)．Ⅰ和Ⅱ都對D．Ⅰ和Ⅱ都不對例2．（23-24八年級下·河南開封·期中）如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為a，b，c，d．若，則．例3．（23-24九年級上·遼寧盤錦·開學考試）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，．．．．按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為．例4．（23-24八年級下·山東日照·期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為．例5．（2023春·重慶·八年級專題練習）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（

）A．12 B．32 C．64 D．128例6．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學家歐幾里得證明這個定理使用的圖形.以的三邊為邊分別向外作三個正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足為G，交于P，連接，.則結(jié)論：①，②，③，④.正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．（2023秋·湖北·九年級校聯(lián)考開學考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標其原型是我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且，那么圖中小正方形的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．103．（2024·江西吉安·二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若是的中點，，連接并延長交于點，則的長為（

）A． B．1 C． D．4．（2024·廣東汕頭·一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．數(shù)學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理：以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，過點作于點，交于點．設正方形的面積為，正方形的面積為，長方形的面積為，長方形的面積為，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2024·浙江·中考真題）如圖，正方形由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形組成，連接．若，則（

）A．5 B． C． D．46．（2024·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．1287．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為．

8．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．9．（23-24九年級上·山西晉中·期末）如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形恰好拼成對角互補的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形EFGH，直角頂點，，，分別在邊，，，上．若，，則的長是．10．（23-24九年級上·湖南長沙·期中）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學危機，它使數(shù)學由測量計算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是（填寫數(shù)字序號即可）．13．（2024·浙江·二模）如圖，于點B，于點D，P是BD上一點，且，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．14．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）綜合與實踐問題情境：第二十四屆國際數(shù)學家大會合徽的設計基礎是多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖1，在綜合實踐課上，同學們繪制了“弦圖”并進行探究，獲得了以下結(jié)論：該圖是由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一個小正方形拼成的大正方形，且．特殊化探究：連接．設，．“運河小組”從線段長度的特殊化提出問題：(1)若，，求的面積．“武林小組”從a與b關(guān)系的特殊化提出問題：(2)若，求證：．深入探究：老師進一步提出問題：(3)如圖2，連接，延長到點I，使，作矩形．設矩形BFIJ的面積為，正方形的面積為，若平分，求證：．請你解答這三個問題．15．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）問題發(fā)現(xiàn)：梓航在學完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中有一種很好的勾股定理的證法：如圖1，作于點，交于點，通過證明，的方法來證明勾股定理.愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，如圖2，若以的直角邊，為邊向外任意作，，斜邊上的，延長，交于點，直線被所截線段為，當時，此時成立.請你幫他完成證明.

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3，當四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，且時，求證：，（按梓航的分析，完成填空）分析：過作交直線，于，，過作交，于，；可證；同理可證；另外易得________________可得成立.（2）再探究一般情形，如圖2，當四邊形，四邊形，四邊形均為平行四邊形，且時，求證：.問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4，若，，，，且，請你直接寫出的值_______________（用含，的式子表示）.16．（24-25八年級上·湖北荊州·階段練習）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組從漢代數(shù)學家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三直角”模型和“K字”模型．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，已知，中，，，一直線過頂點C，過A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：；【問題提出】（2）如圖3，改變直線的位置，其余條件與（1）相同，若，，求的面積；（3）如圖4，四邊形中，，的面積為20，且的長為8，求的面積．17．（2020·山西·模擬預測）綜合與實踐：正方形內(nèi)“奇妙點”及性質(zhì)探究定義：如圖1，在正方形中，以為直徑作半圓，以為圓心，為半徑作，與半圓交于點.我們稱點為正方形的一個“奇妙點”．過奇妙點的多條線段與正方形無論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究．性質(zhì)探究：如圖2，連接并延長交于點，則為半圓的切線．證明：連接．由作圖可知，，又．，∴是半圓的切線．問題解決：（1）如圖3，在圖2的基礎上，連接.請判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知點為正方形的一個“奇妙點”，點為的中點，連接并延長交于點，連接并延長交于點，請寫出和的數(shù)量關(guān)系