湖南省長沙市師大附中集團2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

湖南省長沙市師大附中集團2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（本大題10個小題，每小題3分，共30分）1．已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點P(3，A．3 B．4 C．5 D．62．若xy=3A．35 B．25 C．-13．下列語句中正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．三點確定一個圓C．三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等D．各邊相等的多邊形是正多邊形4．某幾何體如圖所示，則從正面觀察這個圖形，得到的平面圖形是（）A． B．C． D．5．如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論正確的是（）A．ACCE=BDBF B．ACAE=6．如圖，△ABC與△A1B1C1位似，位似中心是點O，且A．10 B．15 C．20 D．257．不透明的袋子中只有2個黑球和4個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（）A．3個球都是黑球 B．3個球都是白球C．三個球中有黑球 D．3個球中有白球8．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝35A．34 B．35 C．459．若關(guān)于x的函數(shù)y＝x2+bx+3與x軸有兩個不同的交點，則b的值不可能是（）A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣610．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，點H在邊AD上，CE＝DH，CH交BE于點F，交BD于點G，連接GE．下列結(jié)論：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④當(dāng)E是CD的中點時，GFGE=45；⑤當(dāng)EC＝2DE時，S正方形ABCD＝6A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．若點A（﹣2，5），與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為．12．時鐘的分針長6厘米，從上午8：10到上午8：30，分針掃過的面積是平方厘米．13．二次函數(shù)y＝x2﹣2x+2的最小值是．14．如圖，M為反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上的一點，MA⊥y軸，垂足為A，△AOM的面積為3，則k15．如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的點（不與點A、B重合），過點C的切線分別交PA、PB于點E、F．則△PEF的周長為cm．16．《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)經(jīng)典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步見木．問邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點E，G分別為CD，AD的中點，EF⊥CD，GH⊥AD，點F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．問正方形小城ABCD的邊長是多少？該問題的答案是．三、解答題（共9小題，其中17、18、19每小題6分，20、21每小題8分，22、23每小題9分，24、25每小題10分，共72分）17．計算：(118．先化簡(1+3x-1x+1)÷xx19．如圖，扶梯AB的坡度為4：3，滑梯CD的坡度為1：2．設(shè)AE＝30dm，BC＝50dm，一女孩從扶梯走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下，她經(jīng)過的總路程是多少（結(jié)果保留根號）？20．科學(xué)實驗是獲取經(jīng)驗事實和檢驗科學(xué)假說、理論真理性的重要途徑．某校為進一步培養(yǎng)學(xué)生實踐創(chuàng)新能力，提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)，營造愛科學(xué)、學(xué)科學(xué)、用科學(xué)的濃厚氛圍，將開展“崇尚科學(xué)科技月”主題教育活動，計劃演示以下四項科學(xué)小實驗：A．自動升高的水；B．不會濕的紙；C．漂浮的硬幣；D．生氣的瓶子．學(xué)?？萍疾侩S機對該校部分學(xué)生進行了“最希望演示的一項實驗”問卷調(diào)查，得到下列不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題：（1）求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）已知最希望演示A項實驗的4名學(xué)生，有1名來自九年級一班，1名來自九年級二班，2名來自九年級三班，現(xiàn)需從這四人中隨機抽取2名作為實驗“自動升高的水”的演示員，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同班級的概率．21．如圖①是某款智能磁吸鍵盤，如圖②是平板吸附在該款設(shè)備上的照片，圖③是圖②的示意圖．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．當(dāng)AE與BC形成的∠ABC為116°時，求DE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，cot63°≈0.50；sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75）

22．如圖，在⊙O中，BC為非直徑弦，點D是BC的中點，CD是△ABC的角平分線．（1）求證：∠ACD＝∠ABC；（2）求證：AC是⊙O的切線；（3）若BD＝1，BC=3時，求弦BD與BD23．一透明的敞口正方體容器ABCD﹣A'B'C'D'裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE＝α，如圖所示）．探究：如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB'交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②．（1）解決問題：CQ與BE的位置關(guān)系是，BQ的長是dm，α＝°（注：sin49°＝cos41°=34，tan37°（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液＝底面積SBCQ×高AB）（3）在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出．圖3或圖4是其正面示意圖，若液面與棱C'C或CB交于點P、點Q始終在棱BB'上，設(shè)PC＝x，BQ＝y(tǒng)，分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍．24．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP＝AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點，HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當(dāng)點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．（1）求證：△DHQ∽△ABC；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；（3）當(dāng)x為何值時，△HDE為等腰三角形？25．若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60°，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”．（1）①在“平行四邊形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有；②若矩形ABCD是“美麗四邊形”，且AB＝3，則BC＝；（2）如圖1，“美麗四邊形”ABCD內(nèi)接于⊙O，AC與BD相交于點P，且對角線AC為直徑，AP＝1，PC＝5，求另一條對角線BD的長；（3）如圖2，平面直角坐標(biāo)系中，已知“美麗四邊形”ABCD的四個頂點A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC與BD交于點O，且四邊形ABCD的面積為153，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象同時經(jīng)過這四個頂點，求a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】將點P（3，2）代入y=kx，

可得：k=3×2=6，

故答案為：D.

【分析】將點P（3，2）代入2．【答案】D【解析】【解答】∵xy=35，

∴x=35y，

∴x-yx+y=3．【答案】C【解析】【解答】A、∵平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，∴A不正確，不符合題意；

B、∵不在同一平面上的三點確定一個圓，∴B不正確，不符合題意；

C、∵三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，∴C正確，符合題意；

D、∵各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，∴D不正確，不符合題意；

故答案為：C.

【分析】利用垂徑定理、確定圓的條件、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及正方形的定義分別判斷求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：從正面觀察這個圖形，得到的平面圖形是：故答案為：B．【分析】根據(jù)主視圖的定義：從前往后看，通過觀察幾何體，即可得出答案.5．【答案】D【解析】【解答】∵a∥b∥c，

∴ACCE=BDDF，ACAE=BDBF，6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似

∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底邊AC的高：三角形A1B1C1底邊AC的高=1：2

∴S△ABC：S△A1B1C1=12×AC×三角形ABC底邊AC的高：12×A1C1×三角形A1B1C1底邊AC的高=12×12=14

∵三角形ABC的面積為5

∴三角形A1B1故答案為：C.

【分析】根據(jù)三角形位似的性質(zhì)，可得對應(yīng)邊之比相等；根據(jù)三角形面積公式即可解題.7．【答案】A【解析】【解答】解：A、由袋子中只有2個黑球和4個白球，得摸出的3個球都是黑球是不可能事件，故A符合題意；

B、由袋子中只有2個黑球和4個白球，得摸出的3個球都是白球是隨機事件，故B不符合題意；

C、由袋子中只有2個黑球和4個白球，得摸出的三個球有黑球是隨機事件，故C不符合題意；

D、由袋子中只有2個黑球和4個白球，得摸出的3個球有白球是必然事件，故D不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)不可能事件的定義，逐項進行分析，即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=35=BCAB，

∴AB=5，

∴AC=AB29．【答案】B【解析】【解答】∵關(guān)于x的函數(shù)y＝x2+bx+3與x軸有兩個不同的交點，

∴△＞0，即b2-4×1×3>0，

解得：b2>12，

∵（-3）2=9<12，

∴b的值不可能是-3，

故答案為：B.

【分析】利用“關(guān)于x的函數(shù)y＝x2+bx+3與x軸有兩個不同的交點”可得△＞0，即b2-4×1×3>0，再求解即可.10．【答案】A【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠ADC=90°，∵CE=DH，∴△BCE≌△CDH(∴∠CBE=∠DCH，BE=CH，故①正確；∵∠DCH+∠FCB=∠DCB=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∴∠BFC=90°，∴CH⊥BE，故②正確；∵G在正方形對角線BD上，∴G到AD，CD的距離相等，∵△BCE≌△CDH(∴CE=DH，∴S△GCE=設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，∴BC=CD=4a，當(dāng)E是CD的中點時，EC=HD=2a．由勾股定理得：BE=B∵∠HDG=∠CBG=45°，∠HGD=∠CGB，∴△HGD∽△CGB，∴HG∴GC=2∵∠BEC=∠CEF，∠ECB=∠EFC=90°，∴△ECB∽△EFC，∴CE∴2a∴EF=2∴CF=C∵GC=2∴GF=CG?CF=4∴GE=G∴GF∴當(dāng)E是CD的中點時，GFGE=4當(dāng)EC=2DE時，CECD∵DH=CE，DC=BC，∴DH∵△HGD∽△CGB，∴S∵△GDH中DH邊上的高與△DGC中CD邊上的高相等，DHBC∴S設(shè)S△GDH=4x，則S△CGB∴S∴S當(dāng)EC=2DE時，DECD∴S∴S∴S∴S正方形ABCD=5綜上所述：正確結(jié)論的序號是①②③④，故答案為：A．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)證明△BCE≌△CDH即可可以判斷①；進而證明∠BFC=90°即可判斷②；根據(jù)△BCE≌△CDH(SAS)，CE=DH，結(jié)合正方形的性質(zhì)即可判定③；設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，當(dāng)E是CD的中點時，EC=HD=2a，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理分別表示出GF，GE，進而可以判斷④；設(shè)S△GDH=4x，則S△CGB=9x，S△DGC=6x，得S△BCD=15x11．【答案】（2，-5）【解析】【解答】解：∵點A（2，5）與點B關(guān)于原點對稱，∴點B的坐標(biāo)是（-2，-5），故答案為：（2，-5）．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到答案．12．【答案】12π【解析】【解答】∵分針掃過的圖形是扇形，扇形的圓心角是30°×4=120°，半徑是6cm，

∴分針掃過的面積=120π×6236013．【答案】1【解析】【解答】∵y＝x2﹣2x+2=（x-1）2+1，

∴二次函數(shù)的最小值是1，

故答案為：1.

【分析】利用配方法將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，再直接求出最小值即可.14．【答案】6【解析】【解答】∵△AOM的面積為3，

∴|k|=3×2=6，

∴k=±6，

∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，

∴k>0，

∴k=6，

故答案為：6.

【分析】利用反比例函數(shù)k的幾何意義可得|k|=3×2=6，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象在第一象限，求出k的值即可.15．【答案】20【解析】【解答】∵PA、PB分別切⊙O于A、B，PA＝10cm，

∴PA=PB=10cm，

∵過點C的切線分別交PA、PB于點E、F，

∴EA=EC，F(xiàn)C=FB，

∴C△PEF=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+BF+PF=PA+AB=10+10=20cm，

故答案為：20.

【分析】利用切線長的性質(zhì)可得PA=PB=10cm，EA=EC，F(xiàn)C=FB，再利用三角形的周長公式及等量代換求解即可.16．【答案】300步【解析】【解答】∵點G、E分別是正方形ABCD的邊AD、CD的中點，

∴DG=12AD，DE=12CD，

∴DG=DE，

∵∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°，

∴△DFE∽△HDG，

∴EFDG=DEHG，

∵EF=30步，GH=750步，DE×DG=EF×HG，

∴DE2=30×750=22500，

解得：DE=150，

∴CD=2DE=300步，

故答案為：300步.17．【答案】解：原式＝2-2×＝2-＝2．【解析】【分析】先利用負(fù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值化簡，再求解即可.18．【答案】解：1+＝x+1+3x-1＝4x＝4（x﹣1）＝4x﹣4，∵x＝0，﹣1，1使分式無意義，∴當(dāng)x＝32原式＝4×32【解析】【分析】先利用分式的混合運算化簡可得4x-4，再將x的值代入計算即可.19．【答案】解：∵扶梯AB的坡度為4：3，∴BEAE∵AE＝30dm，∴BE＝40dm，由勾股定理得：AB＝AE由題意得，CF＝BE＝40dm，∵滑梯CD的坡度為1：2，∴CFDF∴DF＝80dm，∴CD＝CF∴她經(jīng)過的總路程為：（100+405答：她經(jīng)過的總路程為（100+405【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB和CD的長，再利用線段的和差求出她經(jīng)過的總路程即可.20．【答案】（1）解：此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為18÷36%＝50（人）．（2）解：最希望演示C項實驗的人數(shù)為50﹣4﹣8﹣18＝20（人）．補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．（3）解：將來自九年級一班的1名學(xué)生記為甲，來自九年級二班的1名學(xué)生記為乙，來自九年級三班的2名學(xué)生記為丙，丁，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的2名學(xué)生來自不同班級的結(jié)果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，?。ū?，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10種，∴抽到的2名學(xué)生來自不同班級的概率為1012【解析】【分析】（1）利用“D”的人數(shù)除以對應(yīng)的百分比可得總?cè)藬?shù)；

（2）先利用總?cè)藬?shù)求出“C”的人數(shù)并作出條形統(tǒng)計圖即可；

（3）先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。21．【答案】解：過B作BH⊥CE于H，在Rt△BCH中，∵sin63°＝BHBC=BH∴BH≈7.2cm，CH＝3.6cm，在Rt△BEH中，∵∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，∴cot53°＝HEBH∴HE＝5.4cm，∴CE＝CH+EH＝3.6+5.4＝9（cm），∴DE＝CD﹣CE＝20﹣9＝11（cm），答：DE的長為11cm．【解析】【分析】先利用角的運算求出∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，再結(jié)合cot53°＝HEBH22．【答案】（1）解：如圖，∵點D是BC的中點，∴BD=CD，又∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ABC；（2）證明：如圖，連接OC、OD、OB，∵點D是BC的中點，∴OD⊥BC，∴∠ODC+∠BCD＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，又∵∠ACD＝∠BCD，∴∠OCD+∠ACD＝90°，即OC⊥AC，∵OC是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（3）解：由（2）可知，OD⊥BC，在Rt△BDE中，BD＝1，BE=1∵sin∠ODB＝BEBD∴∠ODB＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝1，∴S陰影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD＝60π×＝π＝2π-33【解析】【分析】（1）利用弧與圓周角的關(guān)系可得∠DBC＝∠DCB，再利用角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD，最后利用等量代換可得∠ACD＝∠ABC；

（2）連接OC、OD、OB，先利用角的運算和等量代換可得∠OCD+∠ACD＝90°，即OC⊥AC，再結(jié)合OC是⊙O的半徑，即可證出AC是⊙O的切線；

（3）先求出∠BOD＝60°，OB＝BD＝1，再利用扇形面積公式及割補法求出答案即可.23．【答案】（1）CQ∥BE；3；37°（2）解：V液＝12×3×4×4＝24（dm3（3）解：當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時，0°≤α≤37°，∵液體體積不變，∴12∴y＝﹣x+3．當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時，37°＜α≤53°，∵液體體積不變，∴12∴y＝124-x當(dāng)液面恰好到達容器口沿，即點Q與點B'重合時，如圖5，∵BB'＝4，且12PB?BB'∴PB＝3，∴tan∠PB'B＝34∴∠PB'B＝37°．∴α＝∠B'PB＝53°．此時37°≤α≤53°；【解析】【解答】解：（1）∵液體的形狀為直三棱柱，

∴CQ//BE，

由勾股定理可得：BQ=52-42=3，

在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=34，

∴α＝∠BCQ=37°，

故答案為：CQ//BE；3；37°.

【分析】（1）利用棱柱的特征可得CQ//BE，再利用勾股定理求出BQ的長，最后利用解直角三角形的方法求出α即可；

（2）利用棱柱體積的計算方法和公式求解即可；24．【答案】（1）證明：∵A、D關(guān)于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，∴∠HDQ＝∠A，∴△DHQ∽△ABC．（2）解：①如圖1，當(dāng)0＜x≤2.5時，ED＝10﹣4x，QH＝AQtanA＝34此時y＝12（10﹣4x）×34x＝當(dāng)x＝54時，最大值y＝75②如圖2，當(dāng)2.5＜x≤5時，ED＝4x﹣10，QH＝AQtanA＝34此時y＝12（4x﹣10）×34x＝當(dāng)2.5＜x≤5時，y有最大值，當(dāng)x＝5時，最大值為y＝754∴y與x之間的函數(shù)解析式為y＝-3則當(dāng)2.5＜x≤5時，y有最大值，其最大值是y＝754綜上可得，y的最大值為754（3）解：①如圖1，當(dāng)0＜x＜2.5時，若DE＝DH，∵DH＝AH＝QAcos∴10﹣4x＝54x，x＝∵∠EDH＞90°，∴EH＞ED，EH＞DH，即ED＝EH，HD＝HE不可能；②如圖2，當(dāng)2.5＜x≤5時，若DE＝DH，4x﹣10＝54x，x＝若HD＝HE，此時點D，E分別與點B，A重合，x＝5，若ED＝EH，則∠ADH＝∠DHE，又∵點A、D關(guān)于點Q對稱，∴∠A＝∠ADH，∴△EDH∽△HDA，∴EDDH=DH∴當(dāng)x的值為4021【解析】【分析】（1）先求出∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，再結(jié)合∠HDQ＝∠A，即可證出△DHQ∽△ABC；

（2）分類討論：①當(dāng)0＜x≤2.5時，②當(dāng)2.5＜x≤5時，再分別求出函數(shù)解析式y(tǒng)=-32x2+1525．【答案】（1）菱形、正方形；3（2）解：過點O作OH⊥BD于點H，連接OD∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝12∵AP＝1，PC＝5∴⊙O直徑AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝OH∴OH=∴Rt△ODH中，DH＝DH=∴BD＝2DH＝2（3）解：過點B作BM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N∴∠BMO＝∠DNO＝90°∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”∴∠BOM＝∠DON＝60°∴tan∠DON＝DNON=∴直線BD解析式為y=∵二次函數(shù)的圖象過點A（﹣3，0