2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊期中數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．2．過點且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線平面，則的值為（

）A． B．3 C．或3 D．或4．以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（

）A． B． C． D．6．已知圓C：，直線l：．則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的右焦點為，上、下頂點分別為，，點在以為直徑的圓上，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．在正三棱錐中，的邊長為6，側(cè)棱長為8，E是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過點且不垂直x軸C．若，則或 D．若，則10．已知橢圓的長軸端點分別為，兩個焦點分別為是上任意一點，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長為C．面積的最大值為D．11．如圖，在棱長為2的正方體中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且平面，則（）A．點F到直線的距離為定值B．線段的長度最小值為C．二面角的余弦值為D．直線與平面所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．若空間向量，，，則.13．圓上的點到直線的距離的最大值為.14．已知正四棱柱的體積為4，側(cè)面積為8，動點分別在線段上，則線段長度的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點分別為．(1)若的中點為，求邊的垂直平分線的方程；(2)求的外接圓的方程．16．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面面ABCD，M是PD的中點.(1)求證：平面平面PCD(2)求BM與平面所成角的正弦值17．已知橢圓的左焦點為是橢圓上任意一點，的最大值為3，最小值為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓內(nèi)一點，過點任做一條直線與橢圓交于兩點，求以為中點的弦所在的直線方程．18．已知圓心為C的圓經(jīng)過點，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程：(2)已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．(3)已知點，，且P為圓C上一動點，求的最小值．19．如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，為棱上的動點.

(1)是否存在一點，使得平面？若存在，指出點位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；(2)若直線與平面CFG所成的角的正弦值為，求三棱錐的體積；(3)求三棱錐的外接球半徑的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由題意可得，解得.故選：B.2．【正確答案】C【詳解】直線的斜率為2，因為直線與直線平行，所以直線的斜率為2．又直線過點，代入點斜式方程得．故選：C3．【正確答案】A【詳解】因為直線平面，所以，則，解得．故選：A4．【正確答案】D【詳解】由，得，令，則，即直線恒過定點，則圓的方程為，即，故選：D.5．【正確答案】B【詳解】取為空間向量的基底，因為，，，所以，.因為，所以，所以.故選：B6．【正確答案】A【分析】由題意可證直線l恒過的定點在圓內(nèi)，當(dāng)時直線l被圓C截得的弦長最小，結(jié)合勾股定理計算即可求解.【詳解】直線l：，令，解得，所以直線l恒過定點，圓C：的圓心為，半徑為，且，即P在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心C到直線l的距離最大為，此時，直線l被圓C截得的弦長最小，最小值為．故選A．7．【正確答案】B【詳解】由易知，點在以為直徑的圓上，又在以為直徑的圓上，則，且，，可知，所以，結(jié)合可得，，解得，故選：B.8．【正確答案】A【詳解】依題意，記的中點為，連接，記正的中心為，連接，

因為在正三棱錐中，底面，在正中，，在平面中過點作軸底面，則軸，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因為在正三棱錐中，的邊長為6，側(cè)棱長為8，所以，則，，故，則，，，所以，則異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】對于選項A：因為直線，令，解得，所以在軸上的截距為，故A正確；對于選項B：因為直線的斜率，即斜率存在，直線不垂直x軸，且，即直線過點，故B正確；對于選項C：若，則直線、均為，即兩直線重合，不平行，故C錯誤；對于選項D：若，則，解得，故D正確；故選：ABD.10．【正確答案】ABD【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓的離心率為，故A正確；對于B，的周長為，故B正確；對于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯誤；對于D，設(shè)，，因此，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABC【詳解】由題意，分別取的中點為，連接，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，作圖如下：易知，由平面，則平面，因為，平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為平面，，所以平面平面，當(dāng)時，平面，則平面，對于A，由平行線的傳遞性知，故所求距離為定值，故A正確；對于B，在中，設(shè)其高度為，則，解得，在中，易知，為的中點時，取得最小值，，故B正確；對于C，由，則二面角與二面角的大小相同，由圖可知：，A2,0,0，，，取，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以平面的一個法向量；設(shè)二面角的大小為，則，故C正確；對于D，由，則平面與平面為同一平面，由C可知平面的一個法向量，由圖可知：，則，直線與平面所成角的正弦值為，則余弦值為，故D錯誤.故選：ABC.12．【正確答案】【詳解】依題意得，解得.故13．【正確答案】/【詳解】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為3，因為圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的最大距離為.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】設(shè)該正四棱錐底面邊長為，高為，則由題意可得，解得，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、A2,0,0、、，則，，則可設(shè)，，，，則，要使線段的長度最小，則為的公垂線，即有，解得，符合題意，此時，則.即線段長度的最小值.故答案為.15．【正確答案】(1);(2).【詳解】（1）已知△的三個頂點分別為,所以的中點為的坐標(biāo)為，直線的斜率為，由互相垂直的兩斜率之積為，則邊的垂線斜率為，所以邊的垂直平分線的方程為：，整理得：,故邊的垂直平分線的方程為.（2）設(shè)的外接圓的方程為，由的三個頂點分別為代入得，，解得：，所以的外接圓的方程為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由平面平面，平面平面，底面ABCD是邊長為2的正方形，則，平面，可知面，平面，，為正三角形，為中點，可得，平面，平面，平面，平面平面.（2）取AD的中點為O，連接，側(cè)面PAD是正三角形，則，平面平面，平面平面，平面，可知面，設(shè)BC中點為N，連接ON，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)BM與平面所成角為，則.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由的最大值為3，最小值為得，則，可得，所以橢圓方程為（2）根據(jù)題意得中點弦的斜率存在，且在橢圓內(nèi)，設(shè),，,，所以，，兩式作差，得，由于是的中點，故，所以，所以，所以，所以中點弦的方程為，所求的直線方程．18．【正確答案】(1)(2)x=1或(3)24【詳解】（1）,AB的中點為AB的垂直平分線方程為，即,將聯(lián)立可得,即圓的圓心坐標(biāo)為.圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為d，由弦長公式得，故.若直線的斜率不存在，則x=1，此時圓心到直線的距離為3，符合題意.若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，則直線的方程為.故直線的方程為x=1或.（3）在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上，設(shè),又因為點，，所以，當(dāng)時，取最小值為.19．【正確答案】(1)存在，點G為的中點，證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）當(dāng)點為的中點，使得平面，用線面平行的判定定理證明；（2）以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個法向量，由線面角的向量法求得，確定的位置，再利用體積法轉(zhuǎn)換后計算體積；（3）用向量法證明與平面垂直，證得三棱錐的外接球的球心在線段上，設(shè)，設(shè)，由，求得的關(guān)系，從而求得的范圍，再由此求得半徑的最小值．【詳解】（1）存在一點，當(dāng)點為的中點，使得平面，連接，如圖所示：

點分別是的中點，，又，且，四邊形是平行四邊形，，，又平面，且平面，平面.（2）以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接，

則，設(shè)，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，直線與平面CFG所成的角的正弦值為，，