2025屆江蘇省南京市第二十九中高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2025屆江蘇省南京市第二十九中高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．2．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．4．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．65．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．268．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．11．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．14．設(shè)實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為______.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率________.16．在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)抽取200個(gè)樣品.并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下：壽命（天）頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計(jì)2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)，如果這個(gè)燈泡的壽命情況恰好與按四個(gè)組分層抽樣所得的結(jié)果相同，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，為等腰直角三角形，，平面底面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面與平面的交線為，求二面角的正弦值.18．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).19．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．20．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線經(jīng)過，交橢圓于點(diǎn)，，直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)，，，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．3、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.4、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.6、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7、D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.8、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時(shí)，x在點(diǎn)B處取得最大值，即，得；當(dāng)時(shí)，z在點(diǎn)C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1．考點(diǎn)：程序框圖．10、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功12、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因?yàn)閟inα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：14、【解析】

根據(jù)，則當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】

求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，由，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，直線方程為，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，，從而可求得，得斜率．【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法．16、10【解析】

先求出a，b，根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n，從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2，b=80，由表可知，燈泡樣品第一組有40個(gè)，第二組有60個(gè)，第三組有80個(gè)，第四組有20個(gè)，所以四個(gè)組的比例為2:3:4:1，所以按分層抽樣法，購(gòu)買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用，涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，易得，進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形，即，從而可證明平面；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，易證平面，平面，從而可知兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面的法向量，及平面的法向量為，由，可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接.，，，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）如圖2，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.因?yàn)?，，，所以，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，由，進(jìn)而，由，得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平?（2）（方法一）由（1）知，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計(jì)算得，，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考