高考真題專題分類匯編函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（十年高考）含答案與解析

3.2函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性考點1.函數(shù)的單調(diào)性1.(2023新課標Ⅰ,4,5分,易)設函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)答案Df(x)=2x(x-a)=2(x?a2)2?a24,由復合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)y=x?a22-a24在(0,1)上單調(diào)遞減,所以2.(2023全國甲文,11,5分,中)已知函數(shù)f(x)=e?(x?1)2.記a=f22,b=f32,c=fA.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案A∵f(x)=e?(x?1)2是由y=eu和u=-(x∴f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,又知f(2-x)=e?(2?x?1)2=e?(1?∴f(x)的圖象關于直線x=1對稱,∴f62=f2?又∵22<2-62<32<1,∴f22<f2?6即a<c<b,故選A.3.(2023北京,4,4分,易)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)=-lnxB.f(x)=1C.f(x)=-1xD.f(x)=3|x答案C對于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;對于B,f(x)=12x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,對于C,f(x)=-1x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意對于D,f(x)=3|x-1|=3x?1,x≥1,13x?1,4.(2021全國甲文,4,5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A.f(x)=-xB.f(x)=2C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解題指導:排除法,利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項.解析對于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)是減函數(shù),故A不符合題意;對于f(x)=23x,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)是減函數(shù),故B對于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C不符合題意;對于f(x)=3x=x13,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在(-∞,+∞)方法總結(jié):一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)單調(diào)性的判斷:若k>0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若k<0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)單調(diào)性的判斷:若a>1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若0<a<1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.冪函數(shù)y=xα單調(diào)性的判斷:若α>0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;若α<0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.5.(2021全國乙文,8,5分)下列函數(shù)中最小值為4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+4答案C解題指導:對于A,利用配方法或二次函數(shù)的單調(diào)性求最值,對于B,C,D,利用換元法轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)進行判斷.解析對于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值為3,所以A不符合題意;對于B,設|sinx|=t,則0<t≤1,y=|sinx|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上單調(diào)遞減,故t=1時,ymin=1+41=5,所以B不符合題意;對于C,令2x=t(t>0),則y=2x+22-x=t+4t,t>0,易知y=t+4t在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當t=2時,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合題意;對于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,則y=lnx+4ln6.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x-1)的圖象關于點(1,0)中心對稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上也單調(diào)遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:當-1≤x≤0時,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當1≤x≤3時,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.7.(2019北京文,3,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.y=x12C.y=log12答案A本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)形結(jié)合的思想.考查的核心素養(yǎng)是直觀想象.A選項,12>0,所以冪函數(shù)y=x12在B選項,指數(shù)函數(shù)y=2-x=12x在(0,+∞)C選項,因為0<12<1,所以對數(shù)函數(shù)y=log12x在D選項,反比例函數(shù)y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減解題關鍵熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵.8.(2016北京文,4,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是()A.y=11?xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D選項A中,y=11?x=1?(x?1)的圖象是將y=-1x的圖象向右平移1個單位得到的,故y=11?x在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項B中,y=cosx在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合題意;選項C中,y=ln(x+1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個單位得到的,評析本題考查了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的變換,屬中檔題.9.(2015課標Ⅱ文,12,5分)設函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使得f(x)>f(2x-1)成立的A.13,1B.?C.?13,13答案A當x>0時,f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f'(x)=11+x+2x(1+x2)2∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故選10.(2016浙江,7,5分)已知函數(shù)f(x)滿足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,則a≤bB.若f(a)≤2b,則a≤bC.若f(a)≥|b|,則a≥bD.若f(a)≥2b,則a≥b答案B依題意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,則2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函數(shù),∴a≤b.故選B.11.(2023北京,15,5分,難)設a>0,函數(shù)f(x)=x+2,x①f(x)在區(qū)間(a-1,+∞)上單調(diào)遞減;②當a≥1時,f(x)存在最大值;③設M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),則|MN|>1;④設P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,則a的取值范圍是0,1其中所有正確結(jié)論的序號是.

答案②③解析f(x)的大致圖象如圖所示,易知f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞增,在[-a,0)上單調(diào)遞增,在[0,a]上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.對于①,當12<a<1時,f(x)在(a-1,0)上單調(diào)遞增,故①錯誤對于②,當x<-a時,f(x)<-a+2≤1,當-a≤x≤a時,0≤f(x)≤a,當x>a時,f(x)<-a-1≤-2.綜上,x=0時,f(x)取得最大值a,故②正確.對于③,令M'(a,0),N'(a,-a-1),顯然|MN|>|M'N'|=a+1>1,故③正確.對于④,若|PQ|存在最小值,則點(0,0)到直線x+2=y的距離大于a,且直線y=-x與y=x+2的交點(-1,1)在射線y=x+2(x<-a)上,則21+1>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④錯誤綜上,所有正確結(jié)論的序號是②③.12.(2016北京文,10,5分)函數(shù)f(x)=xx?1(x≥2)答案2解析解法一:∵f'(x)=?1(x?1)2,∴x≥2時∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法二:∵f(x)=xx?1=x∴f(x)的圖象是將y=1x的圖象向右平移1個單位,再向上平移1個單位得到的.∵y=1x在[2,+∞)∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法三:由題意可得f(x)=1+1x∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1x?∴1<1+1x?1≤2,即1<故f(x)在[2,+∞)上的最大值為2.評析本題考查函數(shù)的最值,有多種解法,屬中檔題.13.(2015浙江文,12,6分)已知函數(shù)f(x)=x2,x≤1,x+6答案-12;26解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-1當x≤1時,f(x)=x2≥0,當x>1時,f(x)=x+6x-6≥26當且僅當x=6時,等號成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.14.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是.

答案1解析由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.因為f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12考點2函數(shù)的奇偶性1.(2023新課標Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x?12x+1為偶函數(shù),則aA.-1B.0C.12答案B解法一:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln13=-(a+1)ln3,f(-1)=(a-1)ln3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0解法二:f(-x)=(-x+a)ln?2x?1?2x+1=(-x+a)ln2x+12x?1=(x-a)ln2x?12x+1,∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-2.(2023全國乙理,4,5分,中)已知f(x)=xexeax?1是偶函數(shù),則aA.-2B.-1C.1D.2答案D解法一(特值法):f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函數(shù),可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即eea?1=?1a-1=1,所以a=2.解法二:f(x)=xexeax?1的定義域為(-∞,0)∪(由f(x)為偶函數(shù)知f(x)=f(-x),即xexeax化簡得e2x=eax,所以a=2.3.(多選)(2023新課標Ⅰ,11,5分,中)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點答案ABC令x=y=0,則f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正確.令x=y=1,則f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正確.令x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),故C正確.取特殊函數(shù)f(x)=0,滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此時x=0不是f(x)的極小值點,故D錯誤,故選ABC.4.(2015北京文,3,5分)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函數(shù)為奇函數(shù),B中函數(shù)為偶函數(shù),C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù),故選B.5.(2014課標Ⅰ,理3,文5,5分)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案C由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于選項A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù),故A項錯誤;對于選項B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B項錯誤;對于選項C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C項正確;對于選項D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D項錯誤,選C.評析本題考查函數(shù)奇偶性的定義及其應用,考查學生的知識應用能力及邏輯推理論證能力,準確理解函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵.7.(2021全國乙理,4,5分)設函數(shù)f(x)=1?x1+x,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解題指導:思路一:將函數(shù)f(x)的解析式分離常數(shù),通過圖象變換可得函數(shù)圖象關于(0,0)對稱,此函數(shù)即為奇函數(shù);思路二:由函數(shù)f(x)的解析式,求出選項中的函數(shù)解析式,由函數(shù)奇偶性定義來判斷.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其圖象的對稱中心為(-1,-1),將y=f(x)的圖象沿x軸向右平移1個單位,再沿y軸向上平移1個單位可得函數(shù)f(x-1)+1的圖象,關于(0,0)對稱,所以函數(shù)f(x-1)+1是奇函數(shù),故選解法二:選項A,f(x-1)-1=2x-2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項B,f(x-1)+1=2x,此函數(shù)為奇函數(shù);選項C,f(x+1)-1=?2x?2x+2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項D,f(x+1)+1=28.(2023全國甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數(shù),則a答案2解析解法一:由題意知f(x)的定義域為R,∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2=x2+(a-2)x+cos∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cosx+1.∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2-(a-2)x+cosx+1,即(a-2)x=-(a-2)x,∴a-2=0,∴a=2.解法二:由題意知f(x)的定義域為R.∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos1=a+cos1,∴a=2.9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=.

答案1解題指導:利用偶函數(shù)的定義,取定義域內(nèi)的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數(shù),∴f(1)