計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)教案279

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系別

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.1函數(shù)概念及其性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)明確課程學(xué)習(xí)目的及學(xué)習(xí)要求提高學(xué)習(xí)積極性；掌握基本初等函數(shù).

教學(xué)重點函數(shù)的概念及其性質(zhì)，函數(shù)的定義域.

教學(xué)難點分段函數(shù)

教學(xué)方法講授法

教學(xué)用具黑板、粉筆、多媒體

新

課

導(dǎo)高等數(shù)學(xué)在專業(yè)課程學(xué)習(xí)中的重要性.

入

重

點

與

難

點形象引入、數(shù)形結(jié)合、舉例講解.

講

解

方

法

知識1、理解函數(shù)的概念和性質(zhì)；

小結(jié)2、會求函數(shù)的定義域.

教

學(xué)

教后

小

札記

結(jié)

改進

措施

課

習(xí)題1.1

后

1.(1)(2)

作

業(yè)2.(1)(2)

3.(2)(4)

教學(xué)過程：

一、知識回顧

回顧中學(xué)數(shù)學(xué)的基本初等函數(shù)的基本知識.

二、新課導(dǎo)入

本章將在中學(xué)數(shù)學(xué)已有函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進一步理解函數(shù)概念，并介紹反函

數(shù)、復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的主要性質(zhì)，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)本課程必須掌握好的基本

知識.

三、新課內(nèi)容

1、基本知識

1）常量與變量

一種是在觀察過程中保持不變的量，這種量稱為常量，通常用字母〃,b,G…來

表示；另一種在觀察過程中會起變化的量，這種量稱為變量，通常用字母x,y,z,…

來表示.

2）區(qū)間

設(shè)兩個實數(shù)名。且a<b,則滿足aWxWb的實數(shù)的全體稱為閉區(qū)間，記作：

［a,b］；滿足avxvb的實數(shù)的全體稱為開區(qū)間，記作：滿足aKxvZ?或

aV'WZ?的實數(shù)的全體稱為半開半閉區(qū)間，分別記作：［為份或（4,萬）.

上面這些區(qū)間稱為有限區(qū)間，除了有限區(qū)間之外，還有無限區(qū)間.

（-8,"］表示全體不大于〃的實數(shù)，（-8,。）表示全體小于4的實數(shù)，g,+8）表

示全體不小于b的實數(shù)，S,+00）表示全體大于Z?的實數(shù)，（-OO,+CQ）表示全體實數(shù).

3）鄰域

鄰域是在微積分中經(jīng)常用到的一個概念.

在數(shù)軸上，以點與為中心的任何開區(qū)間稱為點與的鄰域，記作：U（%）.設(shè)3為

任意一個正數(shù)（6>0）,則開區(qū)間（%-5,%+5）就是點飛的一個鄰域，這個鄰域

稱為點/的b鄰域，記作：即。（％石）={出上一％|〈3},其中點小稱為

鄰域的中心，b稱為鄰域的半徑.

2、函數(shù)概念

1）定義1.1設(shè)有兩個變量工和y,若當(dāng)變量x在非空實數(shù)集。內(nèi)，任意取定

一個數(shù)值時，變量y按照一定法則了,總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是工

的函數(shù)，記作:

.y或者y=/(x),xeD

其中x的變化范圍。稱為這個函數(shù)的定義域，1叫做自變量，y叫做因變量.

2)函數(shù)的定義域與值域的求解方法.

3)相同函數(shù).通過對函數(shù)定義的分析不難發(fā)現(xiàn)，確定一個函數(shù)，起作用的兩

要素是：定義域和對應(yīng)法則.若兩個函數(shù)的定義域相同且對應(yīng)法則也相同，則這兩

個函數(shù)就相同，否則就不同.

3、分段函數(shù)

有的函數(shù)要用幾個式子來表示.這種在其定義域的不同范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不

同的式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).

注意：(1)分段函數(shù)是用幾個式子合起來表示一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)；

(2)由于分段函數(shù)是分段表示的，因此各個式子的定義域必須明確標(biāo)出；

(3)對于分段函數(shù)求值時，不同點的函數(shù)值應(yīng)代入相應(yīng)范圍的式子中去求；

(4)分段函數(shù)的定義域是各項定義域的并集.

【例題精講】

例1函數(shù)y=2x+l的定義域為O=(YQ,+8),值域是W=(-oo,+oo),其圖形

是一條直線，如圖所示：

例2函數(shù)y=N=<稱為絕對值函數(shù)，它的定義域為0=(一用)，

值域是W=[0,48),它的圖形如圖1.4所示.

例3下列各組函數(shù)是否相同？為什么？

(1)于(x)=x,g(x)=E；(2)/(x)=lgx2,^(x)=21gx

解：(1)不相同.因為/(x)=x,而g(X)=G*=W，兩個函數(shù)對應(yīng)法則不同,

所以f(x)與g(x)不相同.

(2)不相同，因為0/=(YO,0)U(0,+8),2=(0,+oo),兩個函數(shù)的定義域不

同，所以f(x)與g(x)不相同.

【課堂練習(xí)】

l,(x>0)

例1函數(shù)y=sgnx=?0,(x=0)稱為符號函數(shù)，請指出它的定義域和值域.

-l,(x<0)

解：它的定義域為O=(Y0,+8),值域是W={—1,0,1}.

例2求下列函數(shù)的定義域.

(1)fM=],-4+5(2)f(x)=lg(9-x2)+]:

4-x-Vx2-1

解：⑴要使f(x)=」一五行有意義，必須產(chǎn)7%°,解得廠*±2,

4-.rx+5>0[x>-5

所以該函數(shù)的定義域為D/=[-5,-2)J(-2,2)IJ(2,+oo).

Q—r2>0

(2)要使/(%)=@9-/)+書=有意義,必須2，解得

yJx2-\x2-l>0

-3<x<3

，所以該函數(shù)的定義域為0=(-3,-l)U(l,3).

xv-l取>1

【問題思考】

設(shè)y=/(x)的定義區(qū)間為(0川，求下列各函數(shù)的定義域.

2

(1)f(x)(2)/(sinx)(3)/(Igx)(4)/(x-1)+/(log2x)

【知識小結(jié)】

1、理解函數(shù)的概念和性質(zhì);

2、會求函數(shù)的定義域.

【課后作業(yè)】

習(xí)題1.1

1.(1)(2)

2.(1)(2)

3.(2)(4)

四、板書設(shè)計

課題

、課堂練習(xí)重點：

例1

——、

例2難點：

三、

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系另U

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.1函數(shù)的概念及其性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)了解函數(shù)特性；會求反函數(shù)與復(fù)合函數(shù).

教學(xué)重點反函數(shù)，復(fù)合函數(shù).

教學(xué)難點復(fù)合函數(shù)

教學(xué)方法講授法

教學(xué)用具黑板、粉筆、多媒體

新

課

基本初等函數(shù)的圖像

導(dǎo)

入

重

點

與

難

點

數(shù)形結(jié)合

講

解

方

法

知識1、會利用函數(shù)的性質(zhì)解題；

小結(jié)2、會求反函數(shù)及復(fù)合函數(shù).

教

后

學(xué)

記

小

結(jié)

改進

措施

課

后

習(xí)題L1

作

業(yè)5.(1)(2)

教學(xué)過程：

一、知識回顧

回顧函數(shù)的概念.

二、新課導(dǎo)入

中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像.

三、新課內(nèi)容

1、函數(shù)的簡單性質(zhì)

1)函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)y=/(x)在。上有定義，若存在正數(shù)M,使對于任何xw。，都有

|/(x)|<M,則稱函數(shù)y=在。上有界；否則，稱為無界.若一個函數(shù)在它的

整個定義域內(nèi)有界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).有界函數(shù)的圖形必位于兩條直線

y=M與y=-M之間.

2)函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在。上有定義，任取兩點百,占￡。，當(dāng)王時，有

f(x])<f(x2),則稱函數(shù)y=/(x)在。上是單調(diào)增加的；當(dāng)王<玉時，有

/(x,)>/(x2),則稱函數(shù)y=/(x)在。上是單調(diào)減少的.

單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)，它們的圖形分別是沿工軸正向逐漸上升或下降，

圖L5

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).若函數(shù)y=/(幻在其定義域。內(nèi)

的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱這個區(qū)間為函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

3)函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù))，=/(%)的定義域D關(guān)于原點對稱.若任取都有/(-X)=/(X),

則稱y=/(%)是。上的偶函數(shù).若任取都有/(一工)二一/J),貝IJ稱y=f(x)是

。上的奇函數(shù).

從幾何圖形上看，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱.

4)函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若存在正數(shù)7,使于任何工￡。，有(x±7)￡。，

且/(x±T)=/(x),則稱函數(shù)y=/(尢)是為周期函數(shù)，/稱為/(幻的周期.通常我

們說的周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.

2、反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

1)反函數(shù)

定義1.2設(shè)給定y是x的函數(shù)y=f(x),若把y當(dāng)作自變量，1當(dāng)作函數(shù)，則

由關(guān)系式y(tǒng)=/(x)所確定的函數(shù)冗=e(y)稱為函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作：

x=(jp(y),也常記作：x=f~\y),yeWf.

由定義可知，y=f(x)與互為反函數(shù).我們習(xí)慣上，用x表示自變量,

y表示因變量，所以反函數(shù)常習(xí)慣地表示成y=/T(x)的形式.

注：(1)函數(shù)y=/(x)與其反函數(shù)x=/T(y)是表示同一個函數(shù).

(2)求反函數(shù)的方法：給出一個函數(shù)y=f(x),要求其反函數(shù)，只要把x用y

表示出來，再交換x與y的位置即可.

2)復(fù)合函數(shù)

定義1.3設(shè)y是〃的函數(shù)y=/(〃)，而〃又是x的函數(shù)〃=g(x),且當(dāng)x在

〃=g(x)的定義域(或該定義域的一部分)。內(nèi)取值時，對應(yīng)的“值使y有定義，

則稱y是工的一個定義于。的復(fù)合函數(shù)，記作：y=f[gMlxeDt稱＞=/(〃)為

外層函數(shù)，"二g(x)為內(nèi)層函數(shù)，〃為中間變量，x為自變量，y為因變量.

&：(1)函數(shù)〃=g(x)與函數(shù)y=/(〃)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為fog,即

(fog)(x)=f[g(x)].

(2)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的.只有當(dāng)函數(shù)y=/(〃)的

定義域與函數(shù)〃=g(x)的值域有公共部分時，兩個函數(shù)》=/(w)與u=g(x)才能復(fù)

合成函數(shù)y=/[g(x)]；否則，這兩個函數(shù)就不能復(fù)合.

(3)有時我們會遇到兩個以上的函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).

1.1.4函數(shù)的四則運算

設(shè)函數(shù)〃X),g(X)的定義域分別為9,02，。二拉門。2。0，則我們可以定義

這兩個函數(shù)具有下列運算：

和(差)f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x\XGD.

積fg：(/?^X-^)=/W-g(x),xeD.

商—：.](》)="")，XG{A)XGDKgW^O}.

gg(x)

3、基本初等函數(shù)

1)常數(shù)函數(shù)y=C(。為常數(shù)).

2)嘉函數(shù)y=/(。為常數(shù)).

3)指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0且a工1).

4)對數(shù)函數(shù)y=logqx(。>0且awl).

5)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.

6)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.

這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，已在中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)過，它們的定義域、值

域、圖形、性質(zhì)等參見附錄2.

4、初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算所構(gòu)成的，且可用一

個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).否則，稱為非初等函數(shù).今后我們討論的函數(shù),

絕大多數(shù)都是初等函數(shù).

【例題精講】

例1正弦函數(shù)y=sinx是有界函數(shù)，因為它在定義域(-8,+8)內(nèi)，總有

|sinx|<l.

例2/(x)=f是偶函數(shù)，因為其定義域為(-co,+oo),且

f(-X)=(-X)2=X2=/(X)；F(X)=V是奇函數(shù)，因為其定義域為(YQ,+8),且

f(-x)=(r)3=-X3=-f(x).

例3求了=際彳的反函數(shù).

解：由)-瘍T解得X=y3—],交換]與y,得y=d—1,即為所求反函數(shù).

可以證明，函數(shù))，=/(幻的圖形與y=/7(x)的圖形關(guān)于直線y=x對稱.

例4設(shè)/(幻=4/一不，g(x)=sin.j試寫出/[g。)],0/(幻]的表達式.

解：f[gM]=/(sinx)=4sin2x-sinx,g[/(x)]=g(4f—x)=sin(4f—幻.

【課堂練習(xí)】

例1f(x)=f在(_8,0J上單調(diào)減少，(-OQ,0]為單調(diào)減少區(qū)間；在[0,+8)上單

調(diào)增加，[0,+0。)為單調(diào)增加區(qū)間，但該函數(shù)在(Y0,+0。)上不是單調(diào)函數(shù).

例2函數(shù)y=3("-?可以看成由哪些函數(shù)復(fù)合而成？

解：原函數(shù)可以看成下列三個函數(shù)的復(fù)合：y=3",〃=/,v=5x-l,其中

〃與u為中間變量.

【問題思考】

設(shè)函數(shù)的定義域為[1,2],求函數(shù)/(x-1)的定義域.

【知識小結(jié)】

1、會利用函數(shù)的性質(zhì)解題；

2、反函數(shù)及復(fù)合函數(shù).

【課后作業(yè)】

習(xí)題1.15.(1)(2)

四、板書設(shè)計

課題

?■、課堂練習(xí)重點：

例1

—、

例2難點：

、

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系別

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.2函數(shù)的極限

教學(xué)目標(biāo)理解數(shù)列的極限，理解函數(shù)的極限，會求左右極限.

教學(xué)重點極限存在的充要條件

教學(xué)難點函數(shù)極限的概念

教學(xué)方法講授法

教學(xué)用具黑板、粉筆、多媒體

新

課極限概念是自始至終貫穿于微積分的重要概念，它是研究微積分的重要

導(dǎo)工具，如微積分中的導(dǎo)數(shù)、定積分等概念都是通過極限來定義的，因此，掌

入握極限的思想與方法是學(xué)好微積分的前提條件.

重

點

(1)1,2,3,,〃,；(2)1,1,；(3)都是

與

23n

難

點數(shù)列，它們的通項分別為=-,a=(-l)w-1.

nn

講

對于數(shù)列，我們主要關(guān)注的是，當(dāng)它的項數(shù)〃無限增大時，它的變化趨

解

勢.

方

法

知識1、會求左右極限；

小結(jié)2、極限存在的充要條件.

教

學(xué)

教后

小

札記

結(jié)

改進

措施

課

后

作習(xí)題1.21.2.

業(yè)

教學(xué)過程：

一、知識回顧

數(shù)列的概念

二、新課導(dǎo)入

極限概念是自始至終貫穿于微積分的重要概念，它是研究微積分的重要工具,

如微積分中的導(dǎo)數(shù)、定積分等概念都是通過極限來定義的，因此，掌握極限的思

想與方法是學(xué)好微積分的前提條件.

三、新課內(nèi)容

1、數(shù)列的極限

1）數(shù)列的概念

定義L4定義在正整數(shù)集上的函數(shù)凡=/（〃）5=1,2,…），其函數(shù)值按自變量

〃增大的次序排成一列數(shù)4，。2嗎1,〃”,L稱為數(shù)列，記作：｛4｝.

其中％稱為數(shù)列的首項，?！ǚQ為數(shù)列的一般項或通項.

2）數(shù)列的極限

定義L5設(shè)有數(shù)列｛4｝和常數(shù)A.若當(dāng)〃無限增大時，（無限趨近于A,則稱

A是數(shù)列｛凡）的極限（或稱數(shù)列｛%｝收斂于4）,記作：

liman-A或an—>4（〃tOO）,

n—>oo

否則，則稱數(shù)列｛4｝的極限不存在，或者說數(shù)列｛4｝是發(fā)散的.

數(shù)列極限的幾何解釋：將常數(shù)A和數(shù)列的各項6M2M3，L,4,L在數(shù)軸上用對

應(yīng)的點表示，若數(shù)列｛〃”｝收斂于A,則表示隨著項數(shù)〃越來越大，在數(shù)軸上表示可

的點從點4的一側(cè)（或兩側(cè)）就越來越接近A,如圖1.6所示.

-?A<—

I111I■I111除

a

々1%a5%_2々I）t-3%4%

圖1.6

若數(shù)列｛4｝收斂，則該數(shù)列有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1（唯一性）若數(shù)列｛凡｝收斂，則該數(shù)列的極限唯一.

性質(zhì)2（有界性）若數(shù)列｛4｝收斂，則該數(shù)列一定有界.

定理L1(單調(diào)有界原理)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

推論無界數(shù)列一定發(fā)散.

注：有界數(shù)列不一定收斂，發(fā)散數(shù)列不一定無界.

2、函數(shù)的極限

對于給定的函數(shù)y=/(x),因變量y隨著自變量式的變化而變化.若當(dāng)自變量x

無限接近于某個目標(biāo)(數(shù)/或無窮大8)時，因變量了無限接近于一個確定的常

數(shù)A,則稱函數(shù)y=/(x)以A為極限.下面我們根據(jù)自變量x無限接近于不同的目

標(biāo)，分別介紹函數(shù)的極限.

1)當(dāng)X-8時，函數(shù)/*)的極限

定義L6設(shè)函數(shù)對于絕對值無論多大的x是有定義的，若當(dāng)國無限增大

(即％—8)時，函數(shù)/(的無限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)

當(dāng)xf8時的極限，記作：

lim/(x)=A或/(x)tA(xtOO).

有時需要區(qū)分趨于無窮大的符號，我們將X取正值無限增大，記作：Xf+X)；

將X取負值其絕對值無限增大，記作：Xf-OO.

類似地，若當(dāng)Xf-00(或不一找)時，函數(shù)/(%)無限趨近于一個確定的常

數(shù)A,則稱常數(shù)A為函數(shù)/(x)當(dāng)xf-8(或x—>+oo)時的極限，記作：

limf(x)=A(或lim/*)=A).

XT-COXT+CO

定理1.2lim/(x)=A的充分必要條件是加/*)=4且limf(x)=A.

2)當(dāng)時，函數(shù)/*)的極限

定義1.7設(shè)函數(shù)/*)在點與的某鄰域內(nèi)有定義(/可以除外)，若當(dāng)x無限

趨近于%(xwx°)時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A為函

數(shù)/(X)當(dāng)Xf%時的極限，記作：

lim/(%)=A或/(x)fA(x—>x0).

注：(1)極限研究的是當(dāng)XT/時，/(X)的變化趨勢，與/(X)在與處有無定

義無關(guān).(2)xf%是指x從.％的左右兩側(cè)趨近于小.

定義1.8若當(dāng)x從與的左側(cè)無限趨近于今(即xf/一)時，函數(shù)f(x)無限

趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A為函數(shù)/(幻當(dāng)X從左側(cè)無限趨近于飛(即

時的左極限,記作：lim/(x)=A或/(%()-0)=A.

XT%

類似地，若當(dāng)X從與的左側(cè)無限趨近于4(即XfX。-)時，函數(shù)/(%)無限趨

近于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A為函數(shù)/(冗)當(dāng)X從左側(cè)無限趨近于小(即

x->x0")時的左極限，記作：1而/(幻=4或/(/+0)=24.

XT4

左極限和右極限通稱為單側(cè)極限.

定理1.3limf(x)=A的充分必要條件是lim/(x)=A且limf(x)=A.

Xf與XT%-XT勺-

【例題精講】

例1將下列數(shù)列在數(shù)軸上表示出來，并討論其收斂性.

(1)2,4,8,L,2\L(2),L(3),(-l)\L

234n+\

解：將數(shù)列(1)(2)(3)在數(shù)軸上分別表示出來，如圖所示：

--------?

02481632

1

123

0———1

234

02Vla2Jc

i1

-11

從數(shù)軸上可以看出，數(shù)列(1)(3)的極限不存在，它們是發(fā)散數(shù)列；數(shù)列(2)

的極限是常數(shù)1,記作：limq,=lim/一二1.

n->oo〃-〃+]

例2函數(shù)f(x)=’的圖形如圖所示，試判斷其極限情況.

x

解：從圖可以看出，/(X)TO(X->-CO),F(x)f0(x->+co),所以limf(x)=0,

X-XJO

即當(dāng)Xf8時，f(x)以0為極限.

例3當(dāng)x->-8與xf時，/(x)=arctan尢的變化趨勢，并判斷當(dāng)xf8時,

/(x)的極限是否存在？

解：由圖可得，limf(x)=limarctanx=-—,lim/(x)=limarctanx=—,

Xf-ooX-2XT+X2

由定義1.6可知，當(dāng)x->8時，/(x)=arctanx無法與一個確定的常數(shù)接近，所以

當(dāng)XT8時，f(X)的極限不存在.

在？

解：如圖1.12所示，lim/(x)=lim(-%)=(),lim/(x)=lim(x+1)=1,由定

x->0-x->0+x-M)4

理1.3可知，lim/(x)不存在.

X…

【課堂練習(xí)】

Xr>0

例1設(shè)函數(shù)f(x)=:，判斷l(xiāng)imf(x)是否存在？

sinxx<0z°

解：limf(x)=limsin^=0,limf(x)=limx=()，由定理1.3可知，limf(x)=0

x-HTx->0-x-?O+x^Q*XTO

x2+lx<0

例2設(shè)函數(shù)f(x)=，l-x0<x<l,討論Iim/(x)和limf(x)是否存在？

人—>0人fl

3xx>1

解：因為limf(x)=lim(x2+l)=l,limf(x)=lim(l-x)=1,所以lim/(x)=l；

XT。-XT。-XTO*XT(rX->0

又lim/(x)=lim(l-x)=O,limf(x)=lim(3x)=3,所以lim/(x)不存在.

XT「x-?r,v->rx->r-r->l

【問題思考】

x(x工1)?.

思考①/(x)=x+i,②——-=x+i(x^1)③〃(?=?在X—1時

X-1O(x=l)

的極限值以及函數(shù)值的情況。

【知識小結(jié)】

1、會求左右極限；

2、極限存在的充要條件.

【課后作業(yè)】

習(xí)題1.21.2.

四、板書設(shè)計

課題

、課堂練習(xí)重點：

例1

—、

例2難點：

三、

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系另U

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.2函數(shù)的極限

教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)極限的性質(zhì)，無窮小量與無窮大量.

教學(xué)重點理解和判斷無窮小量與無窮大量

教學(xué)難點無窮小量的比較

教學(xué)方法講授法

教學(xué)用具黑板、粉筆、多媒體

新

課求極限lim」=O；lim(x-3)=0；limsinx=0,我們發(fā)現(xiàn)共同點即極限值

導(dǎo)nx-?3.r—>0

入為0.

重

點

與

難

點、數(shù)形結(jié)合

講

解

方

法

知識1、函數(shù)極限的性質(zhì)；

小結(jié)2、無窮小量與無窮大量的概念.

教

學(xué)

教后

小

札記

結(jié)

改進

措施

課

后

習(xí)題1.2

作

3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)

業(yè)

教學(xué)過程：

一、知識回顧

函數(shù)極限的概念

二、新課導(dǎo)入

求極限lim'=O；lim（x-3）=0；limsinx=O,我們發(fā)現(xiàn)共同點即極限值為0.

w-xc〃XT3XTO

三、新課內(nèi)容

1、函數(shù)極限的性質(zhì)

性質(zhì)1（唯一性）若lim/*）存在，則該函數(shù)的極限唯一.

XT%

性質(zhì)2（有界性）若limf（x）存在，則存在點與的某個去心領(lǐng)域，在該去心鄰

Xf”

域內(nèi)函數(shù)”幻有界.

性質(zhì)3（保號性）若lim/（x）=A且A>0（或A<0）,則存在點與的某去心鄰

Xf%

域，在該去心鄰域內(nèi)，。）>0（或/a）〈o）.

推論若在點飛的某去心鄰域內(nèi)，/（x）>0（或f（x）WO）,且lim/（x）=A,

則ANO（或AKO）.

性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則）若在點飛的某去心鄰域內(nèi)，有

g（x）</（x）<h（x）,limg（x）=limh（x）=A,

XT%

則lim/（x）=A.

xf”

2、無窮小量與無窮大量

1）無窮小量

定義1.9在自變量的某一變化過程中（當(dāng)Xf%或時），極限為零的函

數(shù)稱為無窮小量（簡稱無窮小），即

若limf（x）=0,則稱當(dāng)Kf%（或x->8）時，f（x）是無窮小量.

（XT8）

注：（1）無窮小量（除0以外）是極限為0的變量，而不是很小的數(shù).

（2）常量0是無窮小量，而無窮小量不是0.

（3）無窮小量是相對于自變量的變化過程而言的.

性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量.

性質(zhì)2有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.

推論常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.

性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量.

定理1.4lim/(x)=A的充分必要條件是，(%)=A+a(x),其中a(x)是無窮小

量(X4%時).

2)無窮大量

定義L10在自變量的某一變化過程中(當(dāng)Xf馬或XT8時)，絕對值無限

增大的函數(shù)稱為為無窮大量(簡稱無窮大)，即

若lim/(X)=co,則稱當(dāng)尤->與(或Xf8)時，/3)是無窮大量.

Xf"

(x->oo)

當(dāng)XfX。或Xf8時為無窮大的函數(shù)f(x),按照函數(shù)極限的定義來說，它的

極限是不存在的，但是為了方便敘述函數(shù)這一性質(zhì)時，我們也可以說“函數(shù)的極

限是無窮大”，并記作：

limf(x)=oo(或limf(x)=oo).

KT與X—>30

注：(1)無窮大量是一種特殊的無界變量，而不是很大的數(shù)；

(2)無窮大量的代數(shù)和未必是無窮大量；

(3)無界變量未必是無窮大量；

(4)無窮大量是相對于自變量的變化過程而言的.

3)無窮小量與無窮大量的關(guān)系

定理1.5在自變量x的同一變化過程中，若/(x)是無窮大量，則」一是無窮

/(x)

小量；若是非零無窮小量，則;二是無窮大量.

f(x)

4)無窮小量的比較

例如，當(dāng)x-0時，2x,x2,sinx都是無窮小量，而

x2八..2xsinx1

hm—=O,lim—=oo,lim----=—,

XT。/XTO2X2

兩個無窮小量之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小量趨于零的“快

慢”程度.

定義1.11設(shè)。、夕是在自變量的同一變化過程中的兩個無窮小量，

(1)若lim1=0,則稱a是比S高階的無窮小量，記作：a=o(0)；

(2)若lim1=8,則稱。是比夕低階的無窮小量；

（3）若lim￡=C（C為非零常數(shù)），則稱a與6是同階無窮小量;

（4）lim^=l,那么稱a與4是等價無窮小量，記作：a:p.

【例題精講】

例1求極限lim（—T--/+H—.）.

2

+iJ"+2yjn+n

11

解:因為/J■■■/又

y/n2+n\]n2+1yjn2+2yjn2V?2+1

所以由夾逼準(zhǔn)則，得1加（二=+7^++下=）=1.

…V^+lJ/+2+〃

例2設(shè)函數(shù)y=f和丁=加工，且它們的圖形分別如圖L13和1.14所示，求

limx2和limInx.

解：從圖中可以看出：limf=+a>,limInx=-oo.

x->0，

圖1.13圖1.14

例3求（1）lim[；（2）

lim—

x~X>X13x—3

解：（1）因為limx2=0,（2）因為理累二°'所以

x->0所以期3=00;

x+3

lim---=oo.

s3x-3

【課堂練習(xí)】

例1指出下列函數(shù)哪些是無窮小量？哪些是無窮大量？

(1)y=---(xfl)(2)y=2x(x—>+oo)

x-}

(3)y=(-)r(x—>+oo)(4)y=，皿。(。10)

42+sec。

解：因為lim」一=8,lim2X=+oo,lim(—)x=0,lim=0,所以(1)

XTIx—1XTextp4，->o2+sec0

和(2)是無窮大量，(3)和14)是無窮小量.

【問題思考】

當(dāng)X—>0時，2x,/,sinx都是無窮小量，而1加二=0』而4=8,12包匠=」是

ZOK.32X2

為什么？

【知識小結(jié)】

1、函數(shù)極限的性質(zhì)；

2、無窮小量與無窮大量的概念.

【課后作業(yè)】

習(xí)題1.2

3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)

四、板書設(shè)計

課題

、課堂練習(xí)重點：

例1

—、

例2難點：

三、

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系別

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.2函數(shù)的極限

教學(xué)目標(biāo)掌握用極限的運算法則求極限，會利用等價無窮小求極限.

教學(xué)重點極限的運算法則

教學(xué)難點利用等價無窮小求極限

教學(xué)方法講授法

教學(xué)用具黑板、粉筆、多媒體

新

課

導(dǎo)初等函數(shù)的多樣性決定了極限計算的靈活性.

入

重

點

與

難

點舉例詳講

講

解

方

法

知識1、掌握用極限的運算法則求極限；

小結(jié)2、會利用等價無窮小求極限.

教

學(xué)

教后

小

札記

結(jié)

改進

措施

課

后習(xí)題1.2

作4.(1)(3)(5)(7)

業(yè)6.(1)(2)

教學(xué)過程：

一、知識回顧

無窮大量與無窮小量

二、新課導(dǎo)入

初等函數(shù)的多樣性決定了極限計算的靈活性.

三、新課內(nèi)容

1、極限的運算

1)極限的運算法則

設(shè)極限limf(x)和limg(x)都存在，則

(1)函數(shù)和的極限等于極限的和：lim"(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)；

(2)函數(shù)差的極限等于極限的差：lim"(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)；

(3)函數(shù)積的極限等于極限的積；lim[/(x)^(x)]=lim/(x)lim^(x)；

(4)常數(shù)倍函數(shù)的極限等于函數(shù)極限的常數(shù)倍：lim[(7(x)]=Climf(x)(C為

常數(shù))；

(5)函數(shù)商的極限等于極限的商，但要求分母函數(shù)的極限不為零：

f(x)limf(x)/、

lim----=-------(hmg(x)/0)；

g(x)limg(x)z。

(6)函數(shù)乘方的極限等于函數(shù)極限的乘方：Hm尸⑶=(其中〃為

正整數(shù))；

(7)函數(shù)開方的極限等于函數(shù)極限的開方：lim.f(x)=qlimf(x)(其中"為

正整數(shù)，當(dāng)〃為偶數(shù)時，limf(x)?O).

注：(1)極限的運算法則中的(1)(2)(3)可推廣到有限個函數(shù)的情形；

(2)利用該運算法則時要求各函數(shù)的極限都要存在.

2)利用極限的運算法則求極限

下面介紹幾個基本極限公式：

(1)limC=C(C為常數(shù))；

(2)\imx=a；

XT。

(3)limx〃=a"(由乘方性質(zhì)可得到，其中〃為正整數(shù))；

（4）IimVx=Vd（其中〃為正整數(shù)，且當(dāng)〃為偶數(shù)時，假設(shè)a>0）.

定理1.7對于多項式函數(shù)和有理函數(shù)（多項式函數(shù)之商），當(dāng)XT。時，將。帶

入函數(shù)式得到的函數(shù)值等于函數(shù)的極限值，即

limP（x）=P3）（其中尸（》為多項式函數(shù)）;

喘洋器（其中PC多項式函數(shù)，并且。⑷

綜上所述，我們可以得到這樣的結(jié)論：當(dāng)〃&九為非負整數(shù)，%,均為非零常數(shù)

0tn<n

時，則有+…+%=?—tn=n

瓦

oom>n

上面的結(jié)論在求極限時可直接運用.

3、利用等價無窮小因子替換求極限.

由定義=那么稱a與夕是等階無窮小量，記作：a:

關(guān)于等價無窮小量，我們有下面等價代換法則.

定理L6若a-a',p夕且lim《存在，貝打im2=lim《.

aaa

、工.(a，a，

證明：hi-mUP=lvim(P-P-'-----)\=hvm—Plvim—Plvim—=lvim-P'

a夕優(yōu)aPa'aa'

可以證明，當(dāng)x-0時，常見的等價無窮小量有：

(1)sinxx(2)tanx-x(3)arcsinxx(4)arctanx-x

(5)ex-\x(6)ln(l+x)x(7)1-cosx—(8)VT+^-1-x

2n

利用等價代換法則可以簡化極限的計算.

【例題精講】

例1求極限lim(2d—5x+3).

XT5

解：lim(2x2-5x+3)=lim(2x2)-lim(5x)+lim3=21imx2-51imx+lim3

XT5X->5X->5XT5X->5,r-?5XT5

=2x5?—5x5+3=28.

例2求極限㈣告

33

短..V+2x+lJim(x+2x+l)(-1)+2(-1)+1

解：lim-------=-------；—=----------；——=2.

…2-3X2lim(2-3x2)2-3(-1)2

XTT

Y+1

例3求極限lim(2/+3x+-5——).

fX2+1

分析：令/*)=2d+3x+半，因為f(x)在x=l處有定義，所以可用直接

x+1

代入法求出極限.

解：lim(2x3+3x+4^-)=Iim(2x3+3x)+lim4^-=2xl3+3xl+4i!-=6.

ix2+l—xff+]12+1

例4求極限lim±d.

XT2X-2

分析：令〃x)=3,因為〃x)在x=2處無定義，所以不能用直接代入法

x-2

求極限，但是可用無窮大和無窮小的關(guān)系求出極限.

1x-2

解：lim----=lim——=0,由無窮大與無窮小的關(guān)系可知，當(dāng)xf2時，/(x)

7f(x)^->2X+1

是無窮大，即lim士?=8.

12x-2

r2_i

例5求極限limt.

f2x-x-l

分析：令=cf-1,,因為/(外在x=l處無定義，所以不能用直接代入

2x~-x-\

法求極限，但是我們考慮的是上無限趨近于1時/(元)的極限，當(dāng)X趨近于1時滿足

XH1,因此此題可用化簡法求出極限.

xz-i..(.r+l)(x-l)..x+\2

解：lim=lim-----------=hm-----=—

XT12X2-X-\i(2x+1)(1)z2x+l3

例6求極限lim---:.

分析：當(dāng)xfO時，函數(shù)的分子分母的極限都為零，所以不能用直接代入法求

極限，但是我們可先將分母有理化后再求極限.

解：lim—^^==lim——f2(1+^1+5)=-=lim(-1-Vl+x2)=-2.

^l-Vl+x2-1+W)(1+Jl+f)z。

例8求下列各極限.

,［、［.3x2+2x+5,、..x2+x+\,、2x2+x+\

(1)hm—；---------(2)hm—------；----(3)lim------------

x->84f+3x+］is%+2x+xXT003x+5

23+2+9

kjj/1、1.3x+2x+5「rr23+0+03

解：⑴lim—；-------=hm——會-々一=-------=一.

x->co4x2+3x4-1I,?314+0+04

------1----y

XX

!J_

223

/ox..X4-X4-1..vrr0+0+0八

(2)hm^-----——=lim-~~——-0

XT9JC+2J5C+Xx-211+0+0

1n----+-Y

31

—I八

(3)因為lim個+5=】im"/=一°+°一=0,所以由無窮大與無窮小

~2f+x+lx^2+-+—2+0+0

xx2

的關(guān)系，可知1而2『+"+1=一

x-*83x+5

sin2x3x2

例9lim-------=lim—=—.

a。tan3xzo2X3

x2x

例加i1八0hi-m-1---c--o-s--x-=h..m—2—=hrm--2-=0n.

iojr+xIOJT+Xio/+1

制ln(l+x)A

例11hm----------=hm—=1.

sinxz°x

【課堂練習(xí)】

13

例1求極限lim(」-----

I1—x1-x3

lim(—-------=limx+"+］二3=ii丁+又/=lim—3+2),T)_

解:m

111一工i-xE1-xii1-x-(x-l)(x~+x+l)

x+2

=lim---2-------7=-1?

x-?l『4-X+l

例2求極限lim/sinL

z。x

解：因為當(dāng)xf0時，/是無窮小量,sin1是有界變量，所以limx?sin」=O.

XXTOx

例3求極限limYsinL

a。x

解：因為當(dāng)xf0時，/是無窮小量,sin,是有界變量，所以limfsin」=O.

xx

“4rtanx-sinx

例4求hm-----r----.

XTOX

LJJtanx—sinx..sinx(\—cosx)sinx11—cosx1

解：hm-----7----=hm----z-------=lim--------------,——=—.

a。x2。xcosxa。xcosxx~2

【問題思考】

求極限^^1+!+[+…分析：此例不能直接運用極限運算法則，但只

n->oo3323

要利用等比數(shù)列求和公式求出函數(shù)之和后，就能求出極限.

【知識小結(jié)】

1、掌握用極限的運算法則求極限；

2、會利用等價無窮小求極限.

【課后作業(yè)】

習(xí)題1.2

4.(1)(3)(5)(7)6.(1)(2)

四、板書設(shè)計

課題

、課堂練習(xí)重點：

例1

—、

例2難點：

三、

《計算機應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案

系另!1

授課對象課時安排2

年級班次

章節(jié)題目第1章1.2函數(shù)的極限

教學(xué)目標(biāo)利用兩個重要極限公式求極限

教學(xué)重點兩個重要極限公式

教學(xué)難點兩個重要極限公式

教學(xué)方法講授法