解答題規(guī)范練

解答題規(guī)范練

(-)70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)在△A8C中，已知①b,。分別是角

兀

A,B,C的對邊，Z?cosC+ccosB=4,

請在下列三個條件①(〃+/;+c)(sin4+sinB—sinC)=3asinB,

②b=4也③V§csin3=bcosC中任意選擇一個，添加到題目的條

件中，求△ABC的面積。

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。

次+加一^2

解因為Z?cosC+ccosB=4,所以由余弦定理，得b-----yv----

〃+/一加

十02以=幺所以。=4。

若選擇條件①，即(〃+/?+c)(sirL4+sinB—sinC)=3asin8。

在aABC中，由正弦定理，得3+〃+c)(a+Z?-c)=3ab,所

以3+6)2—整理，得序+加一/=〃〃，

所以由余弦定理，得cosC=^,

又C￡(0,7i),故C=?

rc?！?、》,兀兀5兀

又B=a，所以4=兀12-4=J20

sn

uabptzsinB^^4zr-

由-~~T=-?"ny寸b=~?~~T-=7-=4(<\/3-1),

sinAsinB,sinA.5兀)'

sm12

故△45C的面積S=5〃加inC=5X4X4(，5—l)Xsin彳=4(3—

木)。

若選擇條件②，即b=4回

因為B弋，所以由急=益，

p.asinB碗”

仔4"=丁=/2°

TT5兀

因為A￡(0,7i),所以4=5或4=不。

5IT

由于從＞〃，所以比＞A,因此4=不不符合題意，舍去，故A

兀r1-兀兀7兀

=不則C=L1廠法

故△ABC的面積S=yz/?sinC=5X4X4加Xsin點=4（審+

若選擇條件③，即小csin8=/?cosC。

在△A3C中，由正弦定理可得M§sinCsinB=sin3cosC,易知

小

sinB^O,所以tanC=0

7T

因為C￡（0,71）,所以。=不

r八兀//,,兀兀7兀

又B=Z，所以A=兀一不一^=五，

Labp,asinB?04,r-

由-~T=~~彳寸/?=~~T-=彳-=（—］）,

sinAsinBsinA.7兀4A/3）

sm12

故△ABC的面積S=/加inC=^X4X4（小一l）Xsi吟=4（小

-1）。

18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛a〃｝的前n項和為S”?=；,

SnSn-[+Sn—Sn-\=0（/?22）o

1

（1）求證：數(shù)歹是等差數(shù)列；

⑵若焉（〃為奇數(shù)'〃GN*），

設(shè)數(shù)列｛金｝的前〃項和

12廣1（〃為偶數(shù)，〃6N"）,

為Tn，求T2no

解（1）證明：因為0=3，

=

SnSn-\+Sn~Sn-\0（〃三2）,

所以方=一5，所以SlSiWO,

所以三—7；=

所以是以1=2為首項，以1為公差的等差數(shù)列。

Ji

（2）由（1）可得!=2+5-1）=〃+1,所以S〃=-7，

Yl\1

]

/4-1V為奇數(shù),〃仁N*),

所以金=J(〃+DS+3)

2c(〃為偶數(shù)，〃￡N*),

111

1-

所+

以

八--

=2--4+-4-6+2+⑵+23+…+

2n

2-

2/J

山

★2力2

+-

3

5_1

124〃+4°

19.（本小題滿分12分）如圖，四邊形A5C。為矩形，四邊形

ABEF為梯形，且BE//AF,ZBEF=90%ZBAF=30°9平面ABCD

和平面ABE/垂直，BF=2,AF=4O

(1)求證：3凡LAC；

(2)若直線AC與平面ABEF所成的角為30°,求鈍二面角

O-C/-E的余弦值。

BF

解⑴證明：在△然「中，由正弦定理，得引而

AF

sinZABF9

AFsinNBAF4sin30°

所以

sinZABF=BF2

所以N4?/=90。，BFA-AB.

又平面ABC。J?平面ABE匕平面ABCDn平面

BFU平面ABEF,所以B尸，平面ABC。。

又ACU平面ABCD,所以8尸，AC。

(2)由于四邊形45CD是矩形，所以C5_L4?。

又平面ABC。，平面ABE/7,平面A5COA平面

CBU平面ABCD,

所以CB_L平面

故直線AC與平面ABEF所成的角為NCAB,

即NC43=30。。

由(1),知aAB尸為直角三角形，BF上AB,

所以48=川4尸一5尸=2小,

所以C3=A5tan300=2。

易知△ABFSAFEB,所以BE=I,EF=?

易知直線C8,BA,兩兩垂直，故以8為原點，BA,BF,

3C所在直線分別為x軸，y軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐

標系。

小1

則0(2小，0,2),C(0,0,2),/(0,2,0),,0

2,2/

所以DC=(—2小,0,0),DF=(一25,2,一2),CE=

S11f

一方~,5，-2，CF=(0,2,-2)o

乙乙)

設(shè)平面DC/的法向量為小=(即，yi,Z。,

n\,DC=0,一2小汨=0,

則＜即<

—?—25為+2y—2zi=0,

7UDF=0,

解得即=0,令y=l,得zi=l,

所以平面。。尸的一個法向量為m=(0,l,l)o

設(shè)平面CEE*的法向量為〃2=(九2,為，Z2),

'A/31

〃2，CE=0,—々-X2+分—22Z2=0,

則＜即S

-A

=

“CR=0,、2"一2Z20,

令>2=1,得》2=一小，Z2=l,

所以平面CPE的一個法向量為〃2=(一小，l,l)o

的?/\小?小2回

所以cos<m,〃2〉5，

故鈍二面角D-CF-E的余弦值為一千。

20.(本小題滿分12分)已知8，分為橢圓泌>0)

的左、右焦點，點尸(2,3)為其上一點,且|PB|+|P尸￥=8。

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/：>="一4交橢圓。于A,B兩點、,且原點。在

以線段AB為直徑的圓的外部，試求實數(shù)攵的取值范圍。

<2=4,

解(1)由題意可知解得

b=25

99

所以橢圓C的標準方程為了+力=1。

1UJL4

(2)設(shè)A(xi,yi),3a2,竺)，

任+j

由‘612'得(4A2+3)%2—32日+16=0,

[y=kx—4,

由/>0,得(一32?2—4(就2+3)義16>0,

得出或k<~2°

32k—16

則=

X\+X24d+3'X1X2-4F+3,

又原點O在以線段AB為直徑的圓的外部,

所以04040,

則OAOB=(S+1)xiX2—4%(即+%2)+16=(/?+1)41+3

32k16(4—3?

必義江有+16=>0,

4^+3

得卓卓

綜上所述，實數(shù)人的取值范圍為（一坐一加仔，￥）。

21.（本小題滿分12分）2019年女排世界杯是由國際排聯(lián)

（FIVB）舉辦的第13屆世界杯賽事，比賽于2019年9月14日至9

月29日在日本舉行，共有12支參賽隊伍。最終，中國女排以11

戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績成功衛(wèi)冕本屆世界杯冠軍。中國女排的

影響力早已超越體育本身的意義，不僅是時代的集體記憶，更是

激勵國人繼續(xù)奮斗、自強不息的精神符號。如表是本次世界杯最

終比賽結(jié)果的相關(guān)數(shù)據(jù)（只列出了前6名）。

場次

排名球隊積分

己賽勝場負場

1中國1111032

2美國1110128

3俄羅斯118323

4巴西117421

5日本116519

6韓國116518

（1）記每個隊的勝場數(shù)為變量x,積分為變量），，若y與x之間

具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方

程（系數(shù)精確到0.01）,并由此估計本次比賽中勝場數(shù)是4的塞爾

維亞隊的積分（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）中國已經(jīng)獲得2020年東京奧運會女排比賽的參賽資格。

東京奧運會女排比賽一共有12支隊伍，比賽分為2個小組，每個

小組進行單循環(huán)比賽。積分規(guī)則是以3：0或者3：1取勝的球隊

積3分、負隊積。分，以3：2取勝的球隊積2分、負隊積1分。

根據(jù)以往比賽的戰(zhàn)績情況分析，中國隊與同組的某2支強隊比賽

的比分以及相應概率如表所示：

比分3：03：13：22：31：30:3

概率0.10.20.30.20.10.1

試求小組賽中，中國隊與這2支球隊比賽總積分的期望。

n——

Exiyi-71xy

AAAi=1A

參考公式：線性回歸方程＞=法+。中，。=-----------，a

n-

2,Vy2cf-nx2

i=l

-A——|n-1n

y~bx,其中工=11＞，＞=晶2?。

i=\i=\

解（1）由題表中數(shù)據(jù)可得:

排名123456

勝場數(shù)111108766

積分y322823211918

_11+10+8+7+6+6

所以x=--------------------------=8,

-32+28+23+21+19+18_

y=g=23.5,

6

^^?=352+280+184+147+114+108=1185,

i=i

6

121+100+64+49+36+36=406,

i=\

6_____

入必—6工y

A/=|1185-6X8X23.5

所以力二-----------406-6X82^2591

6_

%—6/

AA

所以。=7—bi弋23.5-2.591X8弋2.77,

A

故線性回歸方程為)，=2.59x+2.77。

A

當x=4時，y=2.59X4+2.77=13.13^13,

故塞爾維亞隊的積分大約是13分。

(2)由題意得，中國隊與這2支球隊中的每支球隊比賽時，積

3分的概率為0.1+0.2=0.3,積2分的概率為0.3,積1分的概率

為0.2,積0分的概率為0.1+0.1=0.2。

設(shè)中國隊與這2支球隊比賽的總積分為焉則。的可能取值

為6,543,2,1,0。

則P(<f=6)=CiX0.32=0.09,

P(4=5)=GX0.3X0.3=0.18,

P(^=4)=ClX0.3X0.2+ClX0.32=0.21,

P(C=3)=ClX0.3X0.2+ClX0.3X0.2=0.24,

P(C=2)=ClX0.3X0.2+C2X0.22=0.16,

P^=1)=G義0.2X0.2=0.08,

P(《=0)=◎X0.2X0.2=0.04o

因此小的分布列如下表所示：

6543210

P0.090.180.210.240.160.080.04

則風？=6X0.09+5X0.18+4X0.21+3X0.24+2X0.16+

1X0.08+0X0.04=3.4。

22.(本小題滿分12分)函數(shù)?x)=lna+f)+*其中，，。為

實數(shù)。

(I)若/=0,討論函數(shù)7U)的單調(diào)性；

(2)若￡=0時;不等式在x￡(0,l］上恒成立，求實數(shù)。

的取值范圍;

(3)若當/W2時，證明：g(x)>fix)o

解(1)由題意知［=0,於)的定義域為(0,+°°),/(x)=-

a\x-a

/+，

當aW0時，因為x>0,所以x—Q>0,所以/(x)>0,所以y(x)

在(0,+8)上單調(diào)遞增。

當〃>0時，若心>〃，則/(x)>0,/)單調(diào)遞增;

若0<x〈a,則/(x)<0,?x)單調(diào)遞減。

綜上可知，當aWO時，兀。在(0,+8)上單調(diào)遞增；當。>0

時，“X)在(〃，+8)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減。

(2?=0時，y(x)210@+lnx21002—ln%+l=>a2—;dnx+

XX

x,故a^—xlnx+x對任意工￡(0,1］恒成立，

等價于。2(—xlax+x)max,^^(0,1］,

令〃(x)=—xlar+x,x￡(0』］,

則力'(x)=—lnx—x-~+1=-Irix^O,%E(O,1］,

X

所以力㈤在(0,1］上單調(diào)遞增，

所以/l(X)max=/Kl)=1,所以

故實數(shù)。的取值范圍為口，+°°)o

(3)證明：當/<2時，要證明g(x)Mx),

即證明g(x)—y(x)>0,只需證ev-ln(x+。>0,

即證ev—\n(x+1)ev—ln(x+2)>0,

所以只要證明e'-ln(x+2)>0。

令F(x)=ex—ln(x+2),

則F(x)=e'一±在(一2,+8)上單調(diào)遞增。

XIL

又尸(-1)<0,F'(0)>0,

所以方程/(幻=0在(-2,+8)上有唯一實根，設(shè)為孫

則的￡(—1,0)。

當工￡(—2,xo)時，F(xiàn)'(x)<0,尸(無)單調(diào)遞減，

當工￡(沏，+8)時，F(xiàn)'(x)>0,尸(幻單調(diào)遞增，

從而當x=xo時，尸㈤取得最小值。

由F(%o)=O,得‘的=檢+2,即xo=-ln(x()+2),

]

所以F(x)=eA—ln(x+2)Nexo—ln(xo+2)=+的=

xo+2

故當W2時,g(x)次0。

(-)70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，

27r

扇形OAB的半徑為2,圓心角為g■，點〃是弧A3上異于A,B

的點。

(1)若點且求點M的橫坐標；

(2)求△M48面積的最大值。

解⑴連接OM(圖略)，依題意可得，在△OCM中，。。=1,

CM=也,OM=2,

22+l2-(V2)2_3

所以cosNCOM=2X2X1=49

33

所以點M的橫坐標為2X^=5。

(2)設(shè)NAOM=。，y],則N30M=爭一仇

?(2兀

S^MAB=S^OAM~^~S^OBM-SZ\OA8=]X2X2sine+sin[3—0

X2X2X坐=2由sin(6+"一小,

因為因￡0,y,所以8+,7,,

所以當。=即寸，的面積取得最大值，最大值為小。

18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛跖｝的前5項分別為1,1+2,1

+2+3/+2+3+4/+2+3+4+5,數(shù)列｛瓦｝滿足瓦=!。

(1)求｛6｝的前幾項和a。

2+2產(chǎn)1

(2)求數(shù)列的前n項和Tn.

2-on-l

解(1)由。1=1,他=1+2,的=1+2+3,。4=1+2+3+

〃(〃+1)

4,???,得?！?

所以兒=5=舄不=2《一言。

上。IJJ匕112

所以*=2[1_E+]_G+…+1_干）=2_市。

2+2〃+i2+2〃+i

Q)記c〃=^^=^T~=〃+〃?2"。

n

則7；=CI+C2+…+c〃=(l+2+…+〃)+[2+2々2+3?23+…

+(〃-1)?2〃-1+幾?2〃]="〃，"+[2+2?22+3?23+…+(〃-l)-2nl

,J

+n-2]o

設(shè)M〃=2+2?22+3?23+…+(〃-1)?2〃一】+〃?2〃，①

則2M〃=22+223+3?24+…+(〃-1)?2"+〃?2'田。②

令①一②，得一M尸2+22+23+…+2〃一幾2?+1

所以陸=(九一1)?2門+2。

“n(n+1).,

所以T〃=丁，+(〃-1)?2巾+2。

19.(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱48C-45G中，A,B

=AA]=A]C=AC=2,AB=BC,且。為AC的中點°

(1)證明：AQ_L平面ABC；

(2)求直線A3與平面G08所成角的正弦值。

解(1)證明：因為A4|=4C=2,。為AC的中點,

所以AiOLAC。又AC=AiB=2,

所以40=小，OB=lf

所以402+032=432,所以AiO_LO3,

又ACn03=0,ACU平面ABC,05U平面A5C,

所以40,平面A8C。

(2)以0為坐標原點，分別以08,0C,04的方向為x軸，y

軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則0(0,0,0),

A(0,-1,0),B(1,0,0),C,(0,2,小),

所以A8=(l,l,0),<?Ci=(0,2,小),OB=(1QO),

設(shè)平面GOB的法向量為〃=(尤，y,z),

=

ti,OC\0,2y+y/3z=0f

由<得

-Ax=0,

"B=0,

令y=小,則z=-2,所以〃=（0,小,—2）,

設(shè)直線AB與平面GOB所成的角為（p,

一A/42

則sin^=|cos〈AB,n）|=77,

所以直線AB與平面GOB所成角的正弦值為曙。

20.（本小題滿分12分）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：

了+金=1（。＞。＞0）右焦點的直線x+y一5=0交M于A,8兩點,

J2

且橢圓M的離心率為七。

4

（1）求橢圓M的方程；

（2）C,。為M上的兩點，若四邊形AC8。的對角線

求四邊形ACBD面積的最大值。

解⑴易知橢圓M的右焦點為（小，0）,則c=小。

離心率6=5=則〃=#，

V＜-VC

212

故b=a-c=3o

所以橢圓M的方程為/立1。

x=0,

⑵由解得3

產(chǎn)小,

4\/6

因此|AB|=￥。

由題意可設(shè)直線C。的方程為y=x+/i［一乎＜〃＜?。軨3,

y3),。(%4,以)。

得3X2+4HX+2H2—6=0,

-2孔±\/2（9一/）

于是必4=

因為直線C。的斜率為1,

由已知，四邊形4c50的面積

S=^\CD\-\AB\=^^9-n2.

當〃=o時，s取得最大值，最大值為挈。

所以四邊形ACBD面積的最大值為孚。

,,-八八「心2111Y—X3—A72X2+X

21.(本小t題滿分12分)已知函數(shù)4x)=------p-------o

(1)求證：無論相取何值，曲線式元)在(1,ZU))處的切線均與x

軸平行或重合；

(2)若函數(shù)#九)在(0,+8)上有兩個不同的零點，求實數(shù)機的

取值范圍。

21irv-x3—mx^-Vx21nx

(1

解次^)=F=Fx+--mf/0)=—”,

,2x-4x\nx1

/(x)=——/

，⑴=2—1-1=0,

所以曲線人￥)在(1,穴1))處的切線方程為y+/n=O,

當機=0時，切線方程為y=0,切線與x軸重合；

當機W0時，切線與x軸平行。

所以無論加取何值，曲線式幻在(1,7U))處的切線均與x軸平

行或重合。

(2)函數(shù)?x)在(0,+8)上有兩個不同的零點等價于方程應?

=0在(0,+8)上有兩個不同的實根，

即加=管一/+：在(0,+8)上有兩個不同的實根。

設(shè)函數(shù)g(x)=^^—%+；a>o),

,,2x—4xlrir12-41nx-x3-x

則g'。)=一三一-1-^2=-----了-------o

令函數(shù)v(x)=2—41nx—x3—x(x>0),

4,

則當x>0時，vf(x)=-—-3/—IvO恒成立，

X

所以o(x)=2—41nx—x3—x(x>0)為減函數(shù)。

又o(l)=2—0—1—1=0,

所以當x>l時，u(x)<0,當0<x〈l時，i?(x)>0,

所以當x>l時，gr(x)<0,當0<r<l時，gf(x)>0,

故g(X)在(1,+8)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)，即g(X)max

=g(l)=0。

又當了f0時,g(X)f—8,當+8時，g(￡)f—8,

所以數(shù)形結(jié)合可知當函數(shù)g(x)的圖象與直線>=機有兩個不

同的交點時，m<0?

故若函數(shù)火入)在(0,+8)上有兩個不同的零點，實數(shù)機的取

值范圍為(一8,0)o

22.(本小題滿分12分)某市房管局為了了解該市市民2018

年1月至2019年1月期間購買二手房的情況，首先隨機抽取其中

200名購房者，并對其購房面積加(單位：平方米，60WmW130)

進行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖①所示的頻率分布直方圖，接

著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當月在售二手房均

價M單位：萬元/平方米)，制成了如圖②所示的散點圖(圖中月份

代碼1

當：月在售二手房均價

1.04-

1.02-

1.00-

0.98-

0.96-

0.94^

O12345678910111213月份代碼

②

(1)試估計該市市民的平均購房面積加；

(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的

市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100

平方米的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

AAAAAA

(3)根據(jù)散點圖選擇》=。+"&和兩個模型進行擬

A

合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為y=0.9369+0.028

A

5代和y=0.9554+0.0306Inx,并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

AA

y=0.9369+0.0285也y=0.9554+0.03061nx

)3人

2

￡(yi-yi)0.0005910.000164

i=\

13—

S8-y)20.006050

/=1

請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合

效果更好的模型預測2019年6月份的在售二手房均價（精確到

0.00l）o

參考數(shù)據(jù)：ln2-0.69,ln3^1.10,Inl7^2.83,lnl9^2.94,

也仁1.41,小處1.73,\用-4.12,V19^4.36O

〃八

2

參考公式：R=l------------o

i8-y)2

；=1

解(1)m=65X0.05+75X0.1+85X0.2+95X0.25+

105X0.2+115X0.15+125X0.05=96(平方米)。

(2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20+

0.15+0.05=0.4,

所以X?次3,0.4),

所以P(X=k)=C&0邛?0.63一”=0,1,2,3),

X的分布列為

X0123

P0.2160.4320.2880.064

E（X）=3X0.4=1.2o

AA

（3"殳模型y=0.9369+0.0285也*口y=0.9554+0.03061ii￥的

相關(guān)指數(shù)分別為此，必，

,,,0.000591n,10.000164

對nR}=1-0.00605JR~=1-0.00605J

所以RM此，

A

所以模型y=0.9554+0.03061ar的擬合效果更好，

2019年6月份對應的x=18,

A

所以）,=0.9554+0.03061nl8=0.9554+0.0306X（ln2+

21n3）%1.044（萬元/平方米）。

（三）70分解答題規(guī)范練

解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）已知銳角三角形A5C中，角4,B,

C的對邊分別為。，b,c,b+c=10,a=y[\0,5加in74cosc+

5csinAcosB=3^10。

（1）求A的余弦值；

⑵求b和Co

解（1）由已知，得5切inAcosC+5csirh4cos8=3。，

由正弦定理可得

5sinBsinAcosC+5sinCsirL4cosB=3sinA,

因為sinAWO,所以5sinBcosC+5sinCcosB=3,

即sin（B+C）=lo

3

因為3+C=7c—A,所以si"=5，

(7t\4

因為分所以cosA=w。

(2)因為cr=b2+c2—2bccosA=(/?+c)2—2bc(1+cosA),

Z?+c=10,a=yfiOi

所以Z?c=25,所以b=c=5。

18.(本小題滿分12分)在①log2b〃="L②b〃=2%—3,

③兒=F—這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問

題中的實數(shù)化存在，求出左的最小值；若不存在，說明理由。

已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為公差dWO,S3=15,0,

。4,03成等比數(shù)列，且數(shù)列｛a｝滿足，是否存在實數(shù)匕

使得幼〃力斯一7恒成立？若存在，求出％的最小值；若不存在，

說明理由。

解因為§3=15,且53=3。2,所以。2=5,

因為（1\9〃4,〃13成等比數(shù)列，所以屈=。闋13,

即（。2+2602=（斂一d）（〃2+lid）,

即（5+2J）2=（5—6/）（5+1160,

又dWO,所以d=2,0=。2—d=3,故源=2〃+1。

*12〃+1+1

若選①，則nlog2b〃=5=〃+1,

所以兒=2〃+i,易知為＞0,由助2以一7,

跖一72九一6

可得k2b〃=2〃+]。

、幾2—-62(H+1)—62〃-6_4-n

僅CL2〃+1&+]Cn-2〃+22〃+i—2"+i

當〃=4時，C5=C4=諱;

當〃>4時，金+1—cn<0,

帥】。5>。6>。7>一?>?！?；

當〃<4時，Cn+\—Cn>09則C4>C3>C2>C\；

”,2〃一6,,由，，工，1

所以Cn=2〃+1的取大值為C5=C4=Jg,

所以左2元，所以存在實數(shù)攵，使得女仇2以一7恒成立，且女

的最小值為上。

1O

若選②，貝“兒=2?！?3=2(2〃+1)—3=4〃-1,

易知bn>0,由kb會期一7,

〃〃一72九一6

可得々2

bn4〃—1

2—-62(〃+1)-62/2—6

僅Cn=4/1-1，則6+1-Cn=4(H+1)-1—4"一1=

22

(4〃+3)(4〃-1)，

22

因為所以(4〃+3)(4〃-1)>°'即G1+I>Q，

2n~61111.1

又Cn=~Ar=n-?^<9，所以

4M—128/1—222

所以存在實數(shù)女，使得祐〃一7恒成立，且女的最小值為看

.〃〃-52n+1-5

若選③,貝1]bn==5=n-2

當〃=1時，由妨—7可得&<4。

當n=2時，％歷2。2—7成立。

當n>2時，由kb言a〃一7,

、?！èD72幾一62〃一4—22

得心丁===:=丁=2一二

2

大殳c〃=2-n>2,

〃一2

222

貝Ic+1-金=2—~~2+~=7Z7T/77，〃>2o

nn-1n—2(^―2)(^—1)

2

易知當〃>2時，品+i—c〃>0,金=2-----<2,所以女22。

n—2

綜上，2《女〈4,所以存在實數(shù)%,使得幼〃2?！ㄒ?恒成立，

且女的最小值為2o

19.(本小題滿分12分)如圖，在五面體A3CDM中，四邊

形A8CQ是矩形，AB=2BC,EF=ED=FC=BC。

(1)求證：EF〃平面ABC。；

(2)當平面ABC。，平面E時、求異面直線AE與b所

成角的余弦值。

解(1)證明：因為四邊形45co是矩形，所以A8〃C。。

因為COU平面。45。平面。C尸已

所以AB〃平面DCFE。

又ABU平面A3尸E,平面A3尸EG平面。,所以

AB//EF,

又ABU平面ABC。，EFG平面ABCD,

所以E尸〃平面48CO。

(2)解法一：設(shè)BC=1,則EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC

=2o

因為平面ABC。，正面。C/旦平面ABCOA平面。。/石=

CD,AD±CD,

所以平面DCFEo

因為OEU平面DCFE,

所以AE=?AD2+D?=?

由（1）,知EF//CD.

如圖，取CD的中點M,連接EM,AM,則石/=CM,四

邊形EFCM是平行四邊形，

所以EV〃/C,且區(qū)0=/。=1,

則N4EM就是異面直線AE與CF所成的角或其補角。

在△AME中，AE=地,EM=1,

AM=y/AD2+DM2=yl2,

AE^+El^P-AM22+1-2

由余弦定理，得cosZAEM=

2AEEM272

啦

4，

因此異面直線AE與CF所成角的余弦值為手。

4

解法二：過點E作EOJ_C。于點O,

因為平面ABCQ，五面DCFE,

所以EO_L平面A3CO。

過點0作O”〃AQ,交AB于點H,

因為四邊形A8CD是矩形，所以O(shè)"，CL＞。

以0為坐標原點，OH,OC,0E所在直線分別為x軸，y軸,

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。

設(shè)5c=1,則石/=ED=FC=BC=1,AB=2BC=2,

由（1）,EF//CD.

在梯形CQE尸中，EF=ED=FC=l9DC=2,

,1小

所以。。=5，E0=,,

于是E0,0,4，A1,—5,0,C0,5,0,F0,1,

則AE=—1,當，CF=0,—坐）。

設(shè)異面直線AE與CF所成的角為仇

AECF-4+4

貝|Jcos9=4°

\AE\\CF|

5

因此異面直線AE與CF所成角的余弦值為華。

4

20.（本小題滿分12分）已知拋物線G：y2=2px（p>o）的焦點

29

式_1_七

U十加

是橢圓C2：=l（G>b>0）的右焦點,且兩條曲線的一個交點

為風如光）卜閶，若E到G的準線的距離為|,到C2的兩焦點

的距離之和為4。

（1）求橢圓C2的方程；

（2）過橢圓。2的右頂點的兩條直線1\,/2分別與拋物線G相

交于點A,C,點、B,D,且M是AC的中點，N是BD的

中點，證明：直線MN恒過定點。

解（1）由橢圓的定義，知2〃=4,a=2,過點E作EE］垂直

G的準線于點Ei,則|EEi|=xo+g=W。

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為點尸F(xiàn)2,連接石尸］,歷2（圖

略),

557

則|所2|=予|所1|=4一

在RtAEEiF1中，目⑸2=同m2—苑得網(wǎng)=豆24。

過點E作軸于點&,

在RtZk陪尸2中，酢=4+|民尸2巳

得|及尸2|=1。

又易知匹尸2|=〃一9所以P=2。

故C=g=l,。2=〃2-，=3,

?2

所以橢圓C2的方程為'+]=lo

(2)證明:設(shè)直線hx=2iy+2由70),

直線和x=k2y+2(k2^0),

2

y=4x9

由.得y2—4幺y_8=0,

x=k\y+2f

設(shè)A（%i,yi）,C（x2,>2）,則y+竺=4七，

所以yM=2A],則無必=2+2后，得M（2+2后，2攵]）。

同理得N（2+2層，2fe）o

因為/|_L/2,所以攵次2=—1。

當2+2解=2+2想時，抬=一刀,

=

結(jié)合k\k2-19得好=必=1,

此時直線MN的方程為x=4o

當2+2好泉2+2感即—0時，

______2&2-2鬲________]

口'=（2+2⑸一（2+2后）=①+&'

]

所以直線MN的方程為y-2ki=(x-26—2),

產(chǎn)U?L2(1—秘湎=康(x—4),

所以直線MN過點(4,0)。

綜上，直線MN恒過定點。

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=odnx,g(x)=R—(2

一。濡。

(1)若。=1,證明：對任意即仁口，e],存在忿金口，e],使

得/(Xl)=g(X2)；

(2)若『a)Wg(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解(1)證明：當a=lfxE[l,田時，

尸(x)=1+lrix>0,

所以函數(shù)/(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，

所以/(l)W/(x)〈/(e),即0W/(x)〈e,

所以/(x)的值域為[0,e]o

f2

g(x)=3x-2x=x(3x—2)>0f

所以函數(shù)g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，

所以g(l)Wg(x)Wg(e),

即OWg(%)We3-e2,

所以g(x)的值域為[0,e3-e2]o

因為e3—e2=e(e2—e)>e,

所以[0,e]￡[0,e3-e2],

所以對任意即￡[1,e],存在e],使得f(xi)=g(x2)。

(2)解法一：由/(x)或ga),得adarWx3—(2—a)%2,

因為x>0,所以ainx^x1—(2—a)x,

整理，得aiinx—x^^^—lxo

令G(x)=lar—x,x^(0,+°°),

]1-x

則G\x)=--1=-^,

在(0,1)上，G'(x)>0,在(1,+8)上，Gz(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

f-2JC

所以G(X)max=G(l)=—l<0,故。2"；~-o

11LXX

f-2x

令〃(無)=[11rx￡(0,+°°),則廳(x)

(\\

(2x—2)()nx—x)—1(%2-2x)

_________________〈X1_______

(Inx-x)*2

(x-l)(21nr—x-2)

(lax—%)2°

令Z(x)=21nx—%—2,x^(0,+°°),

22—x

則^(x)=--l=—

在(0,2)上，k\x)>09在(2,+8)上，k\x)<09

所以網(wǎng)尤)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以-x)max=M2)=21n2-4=2(ln2-2)<0,

rf

所以在(0』)上，h(x)>09在(1,+8)上,h(x)<09

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

1-2

所以/2(X)max=〃(l)=U=l,所以

即實數(shù)。的取值范圍為[1,+8)。

解法二：由/(x)<g(x),得OYIILXWX3—(2—a)%2,

設(shè)h(x)=arlar—x3+(2—,則〃(x)W0,

根據(jù)/1(1)=一1+2—〃=1一aWO,得ael。

下面證明當時，/z(x)^0o

，己m(x)=lar—x+1,

]1-x

則mr(x)=--l=—^―,

所以相⑴在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)，

所以加*)max=〃2(l)=0,

所以機(x)<0,即InxWx—1o

于是/za)Wox(x-1)-x3+(2—a)x2=—R+Zx2—ox=-x[(x-

l)2+tz-l]^0,

故實數(shù)a的取值范圍為[1,+°°)o

22.(本小題滿分12分)有一種類型的題目，此類題有5個選

項A,B,C,D,E,其中有3個正確選項，滿分5分。賦分標

準為“選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分，每

選錯1個扣3分，最低得分為0分”。在某校的一次考試中出現(xiàn)

了一道這種類型的題目，已知此題的正確答案為ACD。假定考生

作答的答案中的選項個數(shù)不超過3個。

(1)若甲同學只