解析幾何導(dǎo)學(xué)案

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程

一、考綱要求

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

2.掌握確定直線位置的幾何要素

3.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的

關(guān)系

二、命題角度

1.直線的傾斜角與斜率；

2.直線的方程；

3.直線方程的應(yīng)用。

(?一課時)

三、要點回顧

1.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上方向之

間所成的角叫做直線I的傾斜角。當(dāng)直線/與X軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0%

(2)范圍：直線/傾斜角的范圍是「0。，180。)。

2.直線的斜率

(1)定義：若直線的傾斜角。不是90。，則斜率左=也邊；若直線的傾斜角6=90。，

則斜率不存在。

(2)計算公式：若由A(xi,yi),3(x2,72)確定的直線不垂直于x軸，則左0(xiWx2)

四、重點突破

直線的斜率左與傾斜角。之間的關(guān)系

00°0°<6?<90°90°90°<<9<180°

k0k>Q不存在k<0

五、鞏固訓(xùn)練

1.直線小x—y+a=0的傾斜角為()

A.30°B.60℃.150°D.120°

2.過點M(—2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則加的值為()

A.IB.4C.1或3D.1或4

3.直線/：對11130。+為05150。+1=0的斜率為()

六、典例分析

考點直線的傾斜角與斜率

例1、(1)直線2依+(次+l)y—1=0的傾斜角的取值范圍是()

「兀3兀［「八兀］「3兀1(兀］「3兀［「八兀］「3兀)

A.不彳B.0,aU『兀C.I0,aUW可D.0，Wu不兀1

(2)已知線段PQ兩端點的坐標(biāo)分別為P(—1,1)和Q(2,2),若直線/：x+my+m=0

與線段PQ有交點，則實數(shù)機的取值范圍是。

解析⑴設(shè)直線2ax+(片+1)丁一1=0的傾斜角為0,則tan6=—層為，當(dāng)<7=0時，

tan6=0,可得。=0;當(dāng)。>0時，0>tan峪一或=—1,當(dāng)且僅當(dāng)。=1時取等號，所以。

3兀)(兀

G可；當(dāng)a<0時，OvtanOWl,當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時取等號，所以］。綜上

可得，0,aU彳，71Jo故選D。

3

⑵由題意可知，直線/:x+my+m=0過定點A(0,-1),當(dāng)mW0時，kQA=^,kpA

111312

所以一一W一或一一三彳，解得或一可加<當(dāng)加=時，直

=-2,ki=—m,m2m223W0;0

21

線/的方程為x=0,與線段PQ有交點。所以實數(shù)機的取值范圍為一qW機W］。

七、方法總結(jié)

1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率左=tana的取值范圍；②利用正

切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角a的取值范圍。

2.求傾斜角時要注意斜率是否存在。

3.斜率公式左=七寸'(X1WX2)的計算與兩點坐標(biāo)的順序無關(guān)，當(dāng)X1=X2,yiW*時，

直線的傾斜角為90。。

八、作業(yè)布置,V*12

1.若圖中的直線/l,h,/3的斜率分別為M,比，依，貝U()1X)/3

A.ki<ki<k3B.h<k\<ki一

C.k3<ki<k\D.k\<kz<ki11

2.已知點(一1,2)和惇，o)在直線/：ax—y+l=0(aW0)的同側(cè)。求直線/傾斜角的

取值范圍。

（■二讀時）

三、要點回顧

直線方程的五種形式

名稱條件方程適用范圍

點斜式斜率左與點（xo,yo）卜一丫0=奴工-%0）不含直線x=xo

斜截式斜率k與截距b不含垂直于X軸的直線

y~yix-xi不含直線X=X1（X1=X2）和

兩點式兩點(xi,yi),。2,*)

y2~yiX2~xi直線尸>1。1=丁2）

不含垂直于坐標(biāo)軸和過原

截距式截距a與b~+l=l

ab點的直線

Ajc+3y+C=0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線

一般式——

都適用

四、重點突破

1.對于直線方程的五種形式，一定要理解其結(jié)構(gòu)特點及適用范圍。

2.直線方程的點斜式、斜截式是最常用的形式，點斜式重在突出斜率與定點，斜

截式主要體現(xiàn)斜率及在y軸上的截距，都具有非常鮮明的幾何特點。

五、鞏固訓(xùn)練

3

1.已知直線/經(jīng)過點尸（一2,5）,且斜率為一；。則直線/的方程為（）

A.3x+4y-14=0B.3x—4y+14=0

C.4x+3y—14=0D.4x—3y+14=0

2.直線2x—y=—'10,y=x+l,y=ax—2交于一點，則a的值為。

3.如果A?C<0且BC<0,那么直線Ax+3y+C=0不通過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.直線/：ax+y—2—a=0在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a=。

5.過點（一3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線方程是o

六、典例分析

考點直線的方程

例1、（1）求過點A（l,3）,斜率是直線y=—4x的斜率的上的直線方程。

（2）求經(jīng)過點A（—5,2）,且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程。

14

解析（1）設(shè)所求直線的斜率為左，依題意上=-4X§=一m又直線經(jīng)過點A（l,3）,

4

因此所求直線方程為y—3=—q（x—1）,即4x+3y—13=0o

(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為或+：=1,將(一5,2)代入所設(shè)方程，解得

a=—所以直線方程為x+2y+l=0;當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y=履，則一5左

2?

=2,解得左=一5，所以直線方程為丁=一尹，即2x+5y=0。故所求直線方程為2x+5y

=0或x+2y+l=0o

七、學(xué)法指導(dǎo)

1.在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件。

2.對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)

先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)。

八、作業(yè)布置

求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點尸(4,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。

(2)經(jīng)過點A(—l,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍。

(3)經(jīng)過點3(3,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形。

(?HW)

三、典例分析

考點一與不等式相結(jié)合的最值問題

例1、已知直線/過點”(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,B

兩點，。為原點，當(dāng)△A03面積最小時，直線/的方程為0

解析設(shè)直線/的方程為廠1=左(%—2)(左<0),A(2—，0),3(0,1—2左)，5AAOB=1(1

—24)(2一4+(—4左)+(—"J斗4+4)=4。當(dāng)且僅當(dāng)一42一半,即左=—g時，等

號成立。故直線/的方程為y—1—/x—2),即x+2y—4=0。

考點二由直線方程求參數(shù)范圍

22

例2、已知直線/i：ax-2y=2a-4,Z2：2x+ay=2a+4,當(dāng)0<a<2時，直線八，

/2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，實數(shù)。=。

解析由題意知直線/i,/2恒過定點尸(2,2),直線/i的縱截距為2一出直線辦的橫

2

截距為a2+2,所以四邊形的面積S=3x2X(2—。)+3*2*(/+2)=/—a+4=(a—j

+與,當(dāng)時，面積最小。

四、方法總結(jié)

與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略

1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題。先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基

本不等式求解最值。

2.求參數(shù)值或范圍。注意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性或基本不等式求解。

五、作業(yè)布置

1.已知6>0,直線(〃+l)x+ay+2=0與直線x—廿y—1=0互相垂直，則"的最

小值等于O

2.已知x20,y20,且x+y=l,則1十寸的取值范圍是。

第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系

一、考綱要求

1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)；

2.掌握點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離；

3.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直。

二、命題角度

1.兩條直線的平行與垂直問題；

2.兩條直線的交點與距離問題；

3.對稱問題。

《?一課時)

三、要點回顧

兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線/1、h,其斜率分別為M、左2,則有/1〃/2

0kl=k2。特別地，當(dāng)直線/1、/2的斜率都不存在時，/1與/2平行。

與Ax+By+C=O平行的直線，可設(shè)為Ax+3y+根=0(機WC)。

(2)兩條直線垂直：如果兩條直線/1、/2斜率存在，設(shè)為左1、左2,則臺釜?左2=—

lo特別地，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩直線垂直。

與Ax+Bv+C=O垂直的直線可設(shè)為Bx—Ay+n=Oo

四、重點突破

在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在。若兩條直線都有

斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮。

五、鞏固訓(xùn)練

1.若直線ax+y+5=0與x—2y+7=0垂直，則實數(shù)a的值為()

A.2B.]C.-2D.—2

2.直線2x+(〃z+l)y+4=0與直線3y—2=0平行，則機=()

A.2B.—3C.2或一3D.12或一3

六、典例分析

考點兩條直線的平行與垂直問題

例'⑴若直線h：ax-\-2y—6=0與直線/2：x+(a—l)y+/—1=0平行，則a=

(2)已知兩直線方程分別為/i：x+y=l,b：ax-\-2y=0,若貝1Ja=。

解析(1)解法一：直線/i:ax+2y—6=0的斜率為一會在y軸上的截距為3。又

因為直線/i與直線〃平行，所以直線/2:x+(a—Dy+/—1=0的斜率存在且等于一H，

在y軸上的截距為一3+1)。由兩直線平行得，-3=一士且3W—a—1,解得a=2

NCl1

或a——1o

fa(a-l)=2Xl,

解法二：根據(jù)題意可知1,、,解得a=2或a=—1。

a(a―1)7=-6X1,

(2)解法一■:因為人_1_/2,所以上次2=—1,即1=-1，解得a=-2o

解法二：因為人"1_/2,所以a+2=0,a=—2o

七、方法總結(jié)

1.當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮

到斜率不存在的特殊情況。同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件。

2.在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論。

設(shè)直線/i方程為Aix+Biy+Ci=0,直線,2方程為Avc~\~Biy+C2=0,若h//

A\B2=AIB\,

<,若/l_L/2臺442+3132=0。

AC2WA2Q；

八、作業(yè)布置

已知兩直線/i：x+ysinot—1=0Wh：2vsina+y+l=0,求a的值,使得:

(l)h〃12。

(2)/1±；2o

三、要點回顧

1.兩直線相交

(1)交點：直線/i：Aix+&y+Ci=0和』2：A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標(biāo)與方程

Aix+Biy+Ci=0>

的解---對應(yīng)。

Aix-VBiy-\-Ci=Q

⑵相交臺方程組有唯一解,交點坐標(biāo)就是方程組的解。

⑶平行臺方程組無解。

(4)重合臺方程組有無數(shù)個解。

2.三種距離公式

(1)點A(X1,>1)、3(X2,丁2)間的距離為

\AB\=-xi)2+(j2-yi)2o

(2)點P(xo,泗)到直線/：Ax+5y+C=0的距離為

_|Axo+5yo+C]

4幣廿中。

(3)兩平行直線h：Ax+By+Ci=O與b：Ax+By+C2=0(CiWC2)間的距離為d=

|Q-Ci|

y[A2+B2°

四、鞏固訓(xùn)練

1.兩條平行直線3x+4y—12=0與ax+8y+H=0之間的距離為()

23237

A.亍7D，2

2.直線2x+2y+l=0,%+y+2=0之間的距禺是。

3.已知點A(3,2)和8(—1,4)到直線以+丁+1=0的距離相等，則a的值為。

五、典例分析

考點兩條直線的交點與距離問題

例2、⑴經(jīng)過兩直線/i：x—2y+4=0和亂工+廠2=0的交點P,且與直線A：

3x-4y+5=0垂直的直線I的方程為。

(2)已知點P(4,a)到直線4x—3y—1=0的距離不大于3,則a的取值范圍是。

(3)若兩平行直線3x—2y—1=0,6x+ay+c=Q之間的距離為帶士則c的值是

x—2y+4=0x=0

解析(1)由方程組,''得'即P(0,2)o因為山3,所以直線I

lx+y—2=0,〔y=2,

44

的斜率左=一1,所以直線/的方程為y—2=—尹，即4x+3y—6=0。

(2)由題意得，點P到直線的距離為"廣廠廣憶吟細(xì)。

又|15—3a|

W3,即|15—3a|W15,解之得OWaWlO,所以a的取值范圍是[0,10]。

⑶依題意知，與=￡#與解得a=一4,c手一2,即直線6x+ay+c=0可化為

+1

271322^13

3x-2y+|=0,又兩平行線之間的距離為，所以?解得c=2或

1313'

-6。

六、方法總結(jié)

1.求過兩直線交點的直線方程的方法

求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件

寫出直線方程。

2.利用距離公式應(yīng)注意：①點P(xo,加)到直線x=a的距離d=\xo~a\,到直線y

=5的距離d=|yo—。|；②應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分

別化為相等。

八、作業(yè)布置

1.已知點A(2,—3)是直線aix+biy+1=0與直線〃2%+岳丁+1=0的交點，則經(jīng)過

兩個不同點尸1(。1，61)和尸2(。2,歷)的直線方程是()

A.2x—3y+l=0B.3x—2y+l=0C?2x—3y—1=0D.3x—2y—1=0

2.直線/過點尸(一1,2)且到點A(2,3)和點3(—4,5)的距離相等，則直線/的方程為

(■三讀時)

三、要點回顧

對稱問題

(1)點P(xo,yo)關(guān)于點A(Q,b)的對稱點為P(24一%o,2b—yo)。

(2)設(shè)點P(xo,yo)關(guān)于直線丁=履+6的對稱點為P6,V),則有

X-X0

q可求出y。

+泗7%+次」_

yGK'gb7,

四、典例分析

考點一對稱問題的求解

例1、已知直線/：2x—3y+l=0,點A(—1,-2)o則點A關(guān)于直線/的對稱點4

的坐標(biāo)為^_______o

0+221f_33

x+131，x=~13,

解析設(shè)A'(x,y),由已知《解得j4

x-1y-2,

2*三一一3*:一+1=0,7=13°

所以A'〔一記，司。

考點二對稱問題的應(yīng)用

例2、已知入射光線經(jīng)過點M(—3,4),被直線/：x—y+3=0反射，反射光線經(jīng)過

點N(2,6),則反射光線所在直線的方程為。

解析設(shè)點M(—3,4)關(guān)于直線/:x—y+3=0的對稱點為b),則反射光線所

a—(—3)

在直線過點的，所以＜解得4=1,b=Q又反射光線經(jīng)過點

—3+〃Q

y—0x—1

M2,6),所以所求直線的方程為t即6x—y—6=0。

五、方法總結(jié)

解決對稱問題的方法

1.中心對稱

x'=2。-x,

(1)點P(x,y)關(guān)于Q(a,3的對稱點P(,曠)滿足,

⑵直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決。

2.軸對稱

⑴點A(a,"關(guān)于直線士++C=O(BWO)的對稱點A\m,n),則有

A

m-a

(2)直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決。

六、作業(yè)布置

1.已知直線/：2x—3y+l=0,求直線"z：3x—2y—6=0關(guān)于直線/的對稱直線加

的方程。

2.光線從點A(—4,—2)射出，到直線y=x上的點3后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上

的點C,又被y軸反射，這時反射光線恰好過點。(一1,6),則所在的直線方程為

第三節(jié)圓的方程

一、考綱要求

1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。

2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

二、命題角度

1.求圓的方程

2.與圓有關(guān)的最值問題

3.與圓有關(guān)的軌跡問題

三、要點回顧

1.圓的定義

(1)在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓。

(2)確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑。

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(x—q)2+(y—。)2=產(chǎn)(廠>0),其中(a,為圓心坐標(biāo),二為半徑。

3.圓的一般方程

%2++Dx-\-Ey-\-F=0表不圓的充要條件是少十石2—4b>0,其中圓心為

丫,一S半徑『尸三。

四、重點突破

二元二次方程表示圓的條件：對于方程^+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時易忽視

D2+E2-4F>0這一條件。

五、鞏固訓(xùn)練

1.圓f+y—dx+GyuO的圓心坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(―2,3)C.(-2,—3)D.(2,—3)

2.過點A(l,-1),3(—1,1),且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x—l)2+(y—1)2=4D.(X+1)2+(J；+1)2=4

3.△ABC的三個頂點分別為A(—1,5),5(—2,—2),C(5,5),則其外接圓的方程

為。

4.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(X—1)2+(>一1)2=IB.(x+1)2+8+1)2=1

C.(%+l)2+(y+l)2=2D.(X-1)2+CV-1)2=2

5.方程X2+;/+奴+2砂+24+〃-1=0表示圓，則〃的取值范圍是()

、222

A.a<—2或〃>93?lgVoVOC.—2V〃V0D?l2VaVg

4.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M0,小)在圓C上，且圓心到直線2x

—y=0的距離為羋，則圓C的方程為。

六、典例分析

考點求圓的方程

例'求圓心在直線丁=一x+1上，且與直線x+丁-2=0相切于點(1,1)的圓的方程。

解析因為圓心在過切點且與切線垂直的直線上，所以圓心在直線y—l=x—l上，

即x~y=O上。

x—y=0,%2，

又已知圓心在直線y=-x+l上，所以聯(lián)立',解得〈

Ly=-x+l,1

y-。。

七、方法總結(jié)

用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟

1.選用圓的方程兩種形式中的一種(若知圓上三個點的坐標(biāo)，通常選用一般方程;

若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)軸間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程)。

2.根據(jù)所給條件，列出關(guān)于。，E,R或a,。，廠的方程組。

3.解方程組，求出。，E,F或a,0,r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到

所求圓的方程。

八、作業(yè)布置

1.圓心在直線x—2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長

為2小，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為0

2.求半徑為5且與x軸交于A(2,0),5(10,0)兩點的圓的方程。

(?二讀時)

三、鞏固訓(xùn)練

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(—12,0),3(0,6),點P在圓。：f+尸=50上。

若現(xiàn)評W20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

四、典例分析

考點一斜率型、截距型、距離型最值問題

例1、已知實數(shù)x,y滿足方程f+V—標(biāo)+1=0,則^的最大值為，最小

值為。

解析如圖，方程f+y2—4x+l=0表示以點(2,0)為圓心,

以小為半徑的圓。設(shè)(=左，即＞=履，當(dāng)圓心(2,0)到直線

的距離為半徑時，即直線與圓相切，斜率取得最大、最小值。

，\2k-Q\

由際=解得貸=3,所以kmax='\[3,kmin=-

考點二與圓有關(guān)的范圍問題

例2、已知點P在圓x2+y2=l上，點A的坐標(biāo)為(一2,0),。為原點，則成?好的

最大值為________

解析由題意知，歷=(2,0),令尸(cosa,sina),則AP=(cosa+2,sina),AOAP=

(2,0)-(cosa+2,sina)=2cosa+4W6,故A。AP的最大值為6。

五、方法總結(jié)

1.形如〃二三的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過定點的動直線的斜率的最值問題。

XCL

2.形如/="+力的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，也可用三角代換

求解。

3.形如機=(x—a)2+(y—6)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最

值問題。

六、作業(yè)布置

1.設(shè)點P是函數(shù)y=—74—(x—1)2的圖象上的任意一點,點Q(2a,。-3)(adR),

則|P0|的最小值為o

2.已知P是直線/：3x—4y+ll=0上的動點，PA,是圓/十丁一2%-2、+1=0

的兩條切線，C是圓心，那么四邊形出C3面積的最小值是0

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

一、考綱要求

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方

程判斷圓與圓的位置關(guān)系。

2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

二、命題角度

1.直線與圓的位置關(guān)系。

2.圓的弦長與切線問題。

3.圓與圓的位置關(guān)系。

（■一課時）

三、要點回顧

直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法

方法過程依據(jù)結(jié)論

/>0相交

聯(lián)立方程組消去x（或y）得一元二次方程，

代數(shù)法J=0相切

計算』=Z?2-4QC

z/<0相離

d<r相交

計算圓心到直線的距離d,比較d與半徑廠

幾何法d=r相切

的關(guān)系。相交時弦長為2、戶—#

d>r相離

四、重點突破

當(dāng)直線與圓相交時，由弦心距（圓心到直線的距離）、弦長的一半及半徑構(gòu)成一個直

角三角形。

五、鞏固訓(xùn)練

1.圓（x—iy+（y+2）2=6與直線2x+y—5=0的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交但直線不過圓心C.相交過圓心D.相離

2.圓/十9―以=0在點p（l,小）處的切線方程為（）

A.x+小y—2=0B.x~\-y[3y—4=0C.x—/y+4=0D.x—4y+2=0

3.直線/：3%—丁一6=0與圓％2+'2-2%—4丁=0相交于A,3兩點，則|AB|=i_。

4.若直線3x—4y+5=0與圓^+產(chǎn)二戶&乂））相交于A,3兩點，且/公。3=120。（。

為坐標(biāo)原點)，則r=

六、典例分析

考點直線與圓的位置關(guān)系

例1、(1)“a=3”是“直線y=x+4與圓(x—a)2+(y—3)2=8相切”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)直線y=--^-x+m與圓/+9=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的父點，則m的取值

范圍是()

A.他,2)B.(小,3)C惇,明D.[l,卓)

解析(1)若直線y=x+4與圓(%—〃)2+。-3/=8相切，則有[]=2吸，即|。+

1|=4,所以a=3或一5。但當(dāng)<7=3時，直線y=x+4與圓(%一。廣+。一3)?=8一定相切，

故“a=3”是“直線y=x+4與圓(x—a)2+(y—3>=8相切”的充分不必要條件。故選

Ao

⑵當(dāng)直線經(jīng)過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時機=1;當(dāng)直線與圓相

1,解得機=羋(切點在第一象限)，所以栗

切時有圓心到直線的距離d=

使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則1(機故選D。

七、學(xué)法指導(dǎo)

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：

1.幾何法：利用d與廠的關(guān)系。

2.代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷。

八、作業(yè)布置

1.設(shè)機>0,則直線6(x+y)+l+機=0與圓f+y2=機的位置關(guān)系為()

A.相切B.相交C.相切或相離D.相交或相切

2.若圓/+尸=戶(/>0)上恒有4個點到直線x-y-2=Q的距離為1,則實數(shù)r的

取值范圍為()

A.(y[2+l,+8)B.(^2-1,V2+1)C.(0,表一1)D.(0,^2+1)

(■二讀時)

三、典例分析

考點一圓的切線問題

例1、過原點。作圓f+V—6x—8》+20=0的兩條切線，設(shè)切點分別為P,Q,則

線段PQ的長為0

解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+(y—4/=5,則圓心為(3,4),半徑長為小。

由題意可設(shè)切線的方程為y=kx,則圓心(3,4)到直線y=kx的距離等于半徑長小，即

小,解得左=1■或S則切線的方程為y=2x或7=梟。聯(lián)立切線方程與圓

422'

的方程，解得兩切點坐標(biāo)分別為(4,2),予y,此即為P,。的坐標(biāo)。由兩點間的距離

公式得歸。1=4。

考點二圓的弦長問題

例2、若。2+廬=2c2(cW0),則直線ax+by+c=Q被圓x1+y2=l所截得的弦長為()

A.；

B.1D.V2

Idkl__正

解析因為圓心(0,0)到直線ax+by+c=Q的距離d=,因此根

yja-+b2啦|c|2

、歷

據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于號所以弦長為地。故選D。

考點三與弦長有關(guān)的最值問題

例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(3,0)在圓C：(x—機尸+。—2)2=40內(nèi)，動直

線A3過點P且交圓C于A,3兩點，若△ABC的面積的最大值為20,則實數(shù)機的取

值范圍是

解析由圓的方程知，圓心C(m,2),半徑廠=2/5,所以SAABcnJ/sinNACBuZOsin

7T

ZACB,所以當(dāng)NAC3=]時，SAABC取得最大值20,此時△ABC為等腰直角三角形，|A3|

=y[2r=4y[5,貝U點C到AB的距離為2小，所以2小W|PC|<2?,即2y[5^(m-3)2+22

<2\Jw,解得一3<mW—1或7W/n<9。

四、學(xué)法指導(dǎo)

直線被圓所截得的弦長問題是直線與圓相交時產(chǎn)生的問題，也是直線與圓的位置關(guān)

系的一個衍生問題。常用的方法有：①根據(jù)平面幾何知識結(jié)合坐標(biāo)，把弦長用圓的半徑

和圓心到直線的距離表示；②通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，建立弦

長與交點坐標(biāo)的關(guān)系來解決問題。

五、作業(yè)布置

1.從圓/一2%+產(chǎn)—2y+i=o外一點p(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的

余弦值為.O

2.直線x—3y+3=0與圓(x—l)2+(y—3)2=10相交所得弦長為()

A.而B.乎C.4-V2D.35

3.設(shè)直線/：3x+4y+4=0,圓C：(%-2)2+y2=^(r>0),若圓C上存在兩點P,Q,

直線I上存在一點使得NPMQ=90。，則r的取值范圍是。

(?三讀時)

三、要點回顧

1.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓01：(%—6zi)2+(y—Z?i)2=z^(n>0),

圓。：(x—a2)2~\~(y—歷)2=”(廠2>0)。

幾何法：圓心距d與n,n代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成

方法位置關(guān)系

的關(guān)系方程組的解的情況

外離d>ri+n無解

外切d=.1+.2一組實數(shù)解

相交|.L也VdVn+及兩組不同的實數(shù)解

內(nèi)切d=\n~n\(nWri)一組實數(shù)解

內(nèi)含0WdV|ri—r2|(nWri)無解

2.兩圓公切線的條數(shù)

位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離

公切線條數(shù)01234

四、重點突破

1.關(guān)注一個直角三角形

2.兩圓相交時公共弦的方程

設(shè)圓Ci：J^+^+DIX+EI^+F1=0,①

圓C2：x2+y2+Z>2x+￡I2y+尸2=0,②

若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①一②所得，即：(D—

D2)X+(El—E2)y+(RI—R2)=0。

五、鞏固訓(xùn)練

1.若圓f+y2=4與圓％2+,2+2分一6=0(&>0)的公共弦長為24，貝Ua=。

2.兩圓/十;/—2y=0與/+>2—4=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.內(nèi)含

3.已知圓Cl：(X—02+8+2)2=4與圓C2：(X+6)2+G+2)2=I外切，則曲的最

大值為O

六、典例分析

考點圓與圓的位置關(guān)系

例、已知兩圓Ci：f+y?—2x—6y—1=0和C2：—10%—12y+45=0。

⑴求證：圓G和圓C2相交。

⑵求圓Ci和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長。

解析(1)證明：圓G的圓心。(1,3),半徑廠i=JH,

圓Ci的圓心。2(5,6),半徑9=4,

兩圓圓心距d=|GC2|=5,n+r2=Vll+4,

|z'i-n|=4—

所以|ri—n\<d<nn,

所以圓Cl和。2相交。

(2)圓。和圓Q的方程左、右分別相減，得4%+3>—23=0,所以兩圓的公共弦所

在直線的方程為4%+3>—23=0。圓心。2(5,6)到直線4x+3y—23=0的距離

|20+18-23|

d=V16+9=3；

故公共弦長為2116—9=2由。

七、學(xué)法指導(dǎo)

兩圓公共弦長的求法

兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d,半弦長/半徑廠所在線段構(gòu)成直角三

角形，利用勾股定理求解。

八、作業(yè)布置

1.若圓G：/+9=1與圓C2：爐+產(chǎn)―6%—8y+機=0外切，則機=()

A.21B.19C.9D.-11

2.圓。1的方程為f+G+1)2=4,圓。2的圓心為。(2,1),圓。2與圓。1交于A,

3兩點，且點。2到直線A3的距離為啦，則圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為o

第五節(jié)橢圓

一、考綱要求

1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)。

2.了解橢圓的簡單應(yīng)用。

3.理解數(shù)形結(jié)合的思想。

二、命題角度

1.橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)。

2.橢圓的綜合問題。

三、要點回顧

橢圓的概念

平面內(nèi)與兩定點尸1、尸2的距離的和等于常數(shù)(大王尸]2|)的點的軌跡叫橢圓。這兩

定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距。

集合P={MI"Ri|+l"R2|=2a,|FIF2|=2C,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)}。

(1)若心，則M點的軌跡為橢圓。

(2)若^^則M點的軌跡為線段。

⑶若在,則M點不存在。

四、重點突破

22

1.設(shè)橢圓7+金=1(。>。>0)上任意一點P(x,y),則當(dāng)x=0時，|。尸|有最小值。，

這時，尸在短軸端點處；當(dāng)尤=±a時，|。尸|有最大值a,這時，尸在長軸端點處。

2.橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長，

a2=Z?2+c2o

3.已知過焦點Ri的弦A3,則△ABR2的周長為4a。

4.若P為橢圓上任意一點，口為其焦點，則a—cW|PR|Wa+c。

五、鞏固訓(xùn)練

1.若Ri(3,0),R2(—3,0),點P到RI,R2距離之和為10,則P點的軌跡方程是()

A-I+導(dǎo)1B.齋+若=1忌+[=1D.務(wù)昌1或1+言1

?2

2.“心0”是“方程全+5=1表示橢圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知△ABC的頂點3,C在橢圓曰+y2=i上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢

圓的另外一個焦點/在3C邊上，則△ABC的周長是（）

A.2/B.6C.4小D.2

六、典例分析

考點橢圓的定義及應(yīng)用

例⑴已知Ri,歹2是橢圓C：，+埠=1伍＞。＞0）的兩個焦點，尸為橢圓C上的一點，

且沖」由2。若△PR1R2的面積為9,則人=o

72

（2）已知橢圓于+，=1（0＜。＜2）的左、右焦點分別為Ri,Fi,過人的直線/交橢圓

于A,3兩點，若|3尸2|十總歹2|的最大值為5,則6=0

_1廠1+廠2=2。，

解析（1）設(shè)|PRi|=ri,|尸尸2|=2貝M,所以2r1廠2=（廠1+廠2）2—（r?+玲

Ln+n=4c-,

=4a2—4c2=4b2,所以SZXPRiR2=|nr2=b2=9,所以6=3。

（2）由0＜6＜2可知，焦點在x軸上，因為過Ri的直線/交橢圓于A,3兩點，所以13b

2I+IAF2I+IBFi|+|AFi\=2a+2a=4a=8,所以|8尸2|十|4尸2|=8一以為。易知當(dāng)直線A3

垂直于％軸時，|48|的值最小，丑尸2|十收尸2|的值最大,此時|43|=/，所以5=8一廬,

解得b=小。

七、學(xué)法指導(dǎo)

1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為

橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等。

2.橢圓的定義式必須滿足2a＞尸歸2|。

八、作業(yè)布置

92

1.已知橢圓w+》=l的兩個焦點是歹1,尸2,點尸在該橢圓上，若|尸/1|一|尸口2|=2,

則△PR1R2的面積是（）

A.y[2B.2C.2y/2D.^3

2.與圓G：（x+3）2+y2=l外切，且與圓C2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切的動圓圓心P

的軌跡方程為。

（■二讀時）

三、要點回顧

提+5=l(a>Q0)

標(biāo)準(zhǔn)方程5+本=1(。>。>0)

B2

圖形IT

B、

—aWxWa—bWxWb

范圍

—bWyWb一

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸;對稱中心：原點

Al(-4Z,0)>上(。,0)Ai(0?—d),A2(0,a)

性頂點

31(0,一b),B2(0,b)Bi(~b,0),B(b,0)

質(zhì)2

軸長軸AiAi的長為額；短軸BiBi的長為2b

焦距\FiFi\=2c

離心率

a,b,c

c2=a2—b2

的關(guān)系

四、鞏固訓(xùn)練

?2

1.橢圓1+1=1的離心率是（）

手B坐C.|D

?2

2.已知橢圓生+5=1（加＞0）的左焦點為F1（—4,0）,則m等于（

A.2B.3C.4D.9

3.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為Ri,F2,過歹2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若

△R1PR2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（)

A事/C.2一巾D.j—l

4.下列正確結(jié)論的序號是0

①平面內(nèi)與兩個定點