歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專題17 概率與統(tǒng)計(jì)（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

專題17概率與統(tǒng)計(jì)

考情解讀

1.以客觀題形式考查抽樣方法，樣本的數(shù)字特征和回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思路、方法及相關(guān)

計(jì)算與推斷.

2.本部分較少命制大題，若在大題中考查多在概率與統(tǒng)計(jì)、算法框圖等知識(shí)交匯處命題，重點(diǎn)考查

抽樣方法，頻率分布直方圖和回歸分析或獨(dú)立性檢驗(yàn)，注意加強(qiáng)抽樣后繪制頻率分布直方圖，然后作統(tǒng)計(jì)

分析或求概率的綜合練習(xí).

3.以客觀題形式考杳古典概型與幾何概型、互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算.

4.與統(tǒng)計(jì)結(jié)合在大題中考查古典概型與幾何概型.

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.抽樣方法

三種抽樣方法的比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)樸互聯(lián)系適用范圍

總體中的個(gè)體數(shù)較

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取

少

抽樣過程中

將總體均分成幾部分，

每個(gè)個(gè)體被在起始部分抽樣時(shí)采總體中的個(gè)體數(shù)較

系統(tǒng)抽樣按事先確定的規(guī)則在各

抽取的概率用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣多

部分抽取

相等

將總體分成幾層，分層分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單總體由差異明顯的

分層抽樣

進(jìn)行抽取隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣幾部分組成

2.統(tǒng)計(jì)圖表

(1)在頻率分布直方圖中：

①各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小矩形的高=頻率；②各小矩形面積之和等于1;③中位數(shù)

組距

左右兩側(cè)的直方圖面積相等，因此可以估計(jì)其近似值.

(2)莖葉圖

1

當(dāng)數(shù)據(jù)有兩位有效數(shù)字時(shí)，月中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第-個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，

即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來的葉子，因此通常把這樣的圖

叫做莖葉圖.

當(dāng)數(shù)據(jù)有三位有效數(shù)字，前兩位相對(duì)比較集中時(shí)，常以前兩位為莖，第三位(個(gè)位)為葉(其余類推).

3.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)

在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)(或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)).

(2)中位數(shù)

樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù)與方差

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)=Zn+足+而+%).

n

方差52=-[(Xl—)24-(X2-)24d+(x,t—)2].

注意：(1)現(xiàn)實(shí)中總體所包含的個(gè)體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道(或不可求)的,

所以我們通常用樣木的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差.

(2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、

方差越大，數(shù)據(jù)的肉散程度越大，越不穩(wěn)定.

4.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)利用散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從整體上看大致分布在一

條直線的附近，我們說變量X和》具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)用最小二乘法求回歸直線的方程

設(shè)線性回歸方程為=工+,則

注意：?jiǎn)枤w直線一定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)(，)，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題.

5.回歸分析

/?=,叫做相關(guān)系數(shù).

相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與,，之間的線性相關(guān)程度；|r|<l,且用越接近于I,相關(guān)程度越高，團(tuán)越接近

于0,相關(guān)程度越低.

2

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)

假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為(不，也}和回，K},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2x2列聯(lián)

表)為

>'1總計(jì)

XIaba+b

X2Cdc+d

總計(jì)a+cb+da+b+c+d

(a+/)+c+d)(ad一歷)2

.(a+b)(c+d)(4+c)(b+G

若K>3.841,則有95%的把握說兩個(gè)事件有關(guān)；

若六>6.635，則有99%的把握說兩個(gè)事件有關(guān)；

若KY2.706,則沒有充分理由認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān).

7.隨機(jī)事件的概率

隨機(jī)事件的概率范圍：O<P(A)<1；

必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.

8.古典概型

①計(jì)算一次試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)〃：②求事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)??；③利用公式尸")=里計(jì)算.

弟

9.對(duì)立事件：在每一次試驗(yàn)中，相互對(duì)立的事件A和不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，因此有P()

=l-P(A).

10.互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立.

11.幾何概型

一般地，在幾何區(qū)域。內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生

d的測(cè)度

的概率P(A)=

。的測(cè)度

高頻者點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一事件與概率

例1.Q018年江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好

3

1兀

A.B.

48

J

C.D.Tt

24

【變式探究】某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘

坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（）

A1B.lC-D.-

3234

【變式探究】從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2〃個(gè)數(shù)xi,X2,曲，xn,y\,y2,aS,構(gòu)成〃個(gè)數(shù)對(duì)（xi,yi）,

（4,y2）,盛，（x”,），〃），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有，〃個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率幾

的

近似值為（）

A也B0

mm

C迪D切

nn

高頻考點(diǎn)四條件概率與相互獨(dú)立事件的概率

例4.海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，

測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖

法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率：

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

5

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量之50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

0.0500.0100.001

~k184!6.63510.828

附：

/______Mad______

K~-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【變式探究】投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概

率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

【變式探究】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良

的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

高頻考點(diǎn)五正態(tài)分布

例5.為了監(jiān)控某種零件的?條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并

測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正

態(tài)分布N(〃,b).

(I)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(〃_30,〃+30)之外的零件

數(shù)，求P(X之1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3。)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一

天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

10.269.9110.110.()9.2210.010.09.95

6

3245

經(jīng)計(jì)算得工二曾=9.97,§=,茸必-j2=’」_（￡：一］6一尸心Q212,其中甚為抽取

的第，個(gè)零件的尺寸，/=1,2,...,16.用樣本平均心作為〃的估計(jì)值Q,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值

a,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（〃一3萬(wàn),1+3萬(wàn)）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)

據(jù)估計(jì)〃和O（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N3，。2）,則P（〃一30<Z<〃+30）=0.9974,

0.997*=09592,疝忝心0.09.

【變式探究】在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布M0,

1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）

r

附：若X?N（4，/）,則P（"-oVX9+<7）=0.6826,

P（〃-2oVXW"+2o）=0.9544.

A.2386B.2718C.3413D.4772

【變式探究】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果

得如下頻率分布直方圖：

（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣木平均數(shù)x和樣本方差陽(yáng)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表）：

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（〃，/）,其中〃近似為樣本平均數(shù)x,

爐近似為樣本方差N.

7

(i)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)：

(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)

的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果，求仇X).

附：而衿22.

若Z?N(4,a2),貝!］尸=0.6826,

P(/t-2(7<Z<p+2(7)=0.9544.

高頻考點(diǎn)六離散型隨機(jī)變量的分布列

例6.從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率

分別為(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(II)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【變式探究】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在一輪活動(dòng)中，

如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，貝星隊(duì)”得1分：如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”

得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是:乙每輪猜對(duì)的概率是每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪

結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：

(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；

(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

【變式探究】已知2件次品和3件F品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分.每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)

品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率：

(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要

的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

高頻考點(diǎn)七均值與方差

例7.已知一組數(shù)據(jù)474.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是▲一.

【變式探究】如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌

后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值￡(X)=()

8

B-

A段5

噫

高頻考點(diǎn)八抽樣方法

例8.從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率

分別為_L11-

2'3’4

(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(11)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【變式探究】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方

圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),|25,27.5),

[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少干22.5小時(shí)的人數(shù)是()

A.56B.60C.120D.140

【變式探究】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校

A.167B.137C.123D.93

【變式探究】對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽

樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為0,P2,貝4()

A.pi=p2Vp3B.])2=p3Vpi

C.pi=p3Vp2D.pi=p2=〃3

高頻考點(diǎn)九頻率分布直方圖與莖葉圖

9

例9.Q018年江蘇卷）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出

的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為.

899

9011

（第3題）【變式探究】若樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，X2,d,XIO的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2A--1,2X2—1,而，

2x10

-1的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.8B.15C.16D.32

【變式探究】幣:慶市2017年各月的平均氣溫（C）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

089

I258

2000338

212

A.19B.20C.21.5D.23

高頻考點(diǎn)十變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計(jì)案例

例10.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖.以下結(jié)論不正確的

是（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【變式探究】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如

下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：

收入x（萬(wàn)元）8.28.610.011.311.9

10

支出y（萬(wàn)元）6.27.58.08.59.8

10

根據(jù)上表可得回歸直線方程=X+,其中=0.76,=y—,X.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入

ybaba'b

為15萬(wàn)元家庭的年支出為（）

A.11.4萬(wàn)元B.11.8萬(wàn)元

C.12.0萬(wàn)元D.12.2萬(wàn)元

真題感悟

1.【2019年高考全國(guó)山卷理數(shù)】《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，

并稱為中國(guó)古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其

中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游

記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估

計(jì)值為（）

A.（）.5B.0.6

C.0.7D.0.8

2.【2019年高考全國(guó)I［卷理數(shù)】演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成

績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分

相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

3.【2019年高考浙江卷】設(shè)OVaVI,則隨機(jī)變量X的分布列是（）

則當(dāng)。在（0,1）內(nèi)增大時(shí)，

A.Q（X）增大B.O（X）減小

C.O（X）先增大后減小D.D（X）先減小后增大

4.【2019年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

5.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，

有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高

鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.

6.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)嬴得四場(chǎng)勝利時(shí)，

該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝

11

的概率為06客場(chǎng)取勝的概率為05,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是.

7.【2019年高考全國(guó)川卷理數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200

只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每

只小鼠給服的溶液體積相同、摩久濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子

的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

甲離了殘招百分比支方圖

記。為事件；“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到"（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中”，人的值：

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

8.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球

交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得

分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，

兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

（1）求尸（X=2）:

（2）求事件“X=4旦甲獲勝”的概率.

2

9.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為;.假定

甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的

天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

10.【2019年高考北京卷理數(shù)】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已

成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽

取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支

付金額分布情況如下;

12

額(元)

支#5資\^(0,1000J(1000,2000]大于2000

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率;

(2)從樣本僅使用A和僅使用R的學(xué)生中各隨機(jī)抽取I人,以X表示這2人中卜個(gè)月支付金額

大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3

人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支

付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

11.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，

為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比

另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：

對(duì)干每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分：若施以乙藥

的門鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和人一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p,(i=0,l,…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)

為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=O,PH=1，Pi=apt_x+bpj+cpi+](z=1,2,,7),其中

a=P(X=-\),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)C=0.5,0=0.8.

(i)證明：｝(i=0,l,2,???，7)為等比數(shù)列:

(ii)求，并根據(jù)“4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

1.(2018年浙江卷)設(shè)0<p<l,隨機(jī)變量電勺分布列是

4012

1

P1-PP

22

13

則當(dāng)p在（0,1）內(nèi)增大時(shí),

A.。（。）減小B.。（。）增大

C.O&）先減小后增大D.DU）先增大后減小

2.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)

成，三個(gè)半國(guó)的直徑分別為直角三角形A4C的斜邊8C,直角邊43,AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為

I,黑色部分記為II,其余部分記為HI.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,II,IH的概率分別記為⑶,

p2，p3，則

A.pi=p2B.〃|=P3

C.p2=p3D.pi=〃2+p3

3.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為

更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得

到如下餅圖:

冷愴收入2收人

段&*經(jīng)濟(jì)收人內(nèi)成比M侵弊濟(jì)收人尚值比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入港加了倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

4.（2018年全國(guó)HI卷理數(shù)）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互

獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4,P（X=4）vPX=6）,則p=

A.0.7B.0.6C.0.4D.

14

4

°.3"XX)，np(lvP(X4；,^(1-p/<PQC=6)=(\y(l-p/5

（2018年全國(guó)n卷理數(shù)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜

想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不

同的數(shù)，其和等于30的概率是

1111

A.-B.-C.-D.-

12141518

6.（2018年浙江卷）從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以

組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

7.（2018年江蘇卷）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選

中2名女生的概率為.

8.（2018年江蘇卷）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的

分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為.

9.（2018年全國(guó)【卷理數(shù)）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，

則不同的選法共有種.曲數(shù)字填寫答案）

10.（2018年天津卷）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽

樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足.現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢

查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠木定的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）設(shè)A為事件”抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

II.（2018年北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.2().1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

（I）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

（11）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率：

15

(Ill)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“Q表示第k類電影

得到人們喜歡，“Q=5表示第％類電影沒有得到人們喜歡(々=1,2,3,4,5,6).寫出方差

12.(2018年全國(guó)I卷理數(shù))某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要

對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0vpv1),且各件產(chǎn)品是

否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為(p，求(p的最大值點(diǎn)0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了2(1件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為。的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

13.(2018年全國(guó)IH卷理數(shù)〕某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)

的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組2()人，

第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：

min)繪制了如下莖葉圖：

第?種生產(chǎn)方式通二種生產(chǎn)方式

s655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(I)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n(ad-bc)2

(a*bXc+dXa+c)(b+d)

16

N-2叫0.0500.0100.001

k38416.63510.828

14.（2018年全國(guó)II卷理數(shù)）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的

折線圖.

2000200120022003200420052006200720082009201020H20122013201420152016年份

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)

2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立模型①：--30.4-M35t；根據(jù)2010年至

2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量［的值依次為）建立模型②：于-99+1751.

（I）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

1.12017課標(biāo)1,理】如圖，正方形A8CO內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部

分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

71

A.1B.

48

1

C.D.三

24

17

2.12017浙江，8】已知隨機(jī)變量紜滿足P($=l)=p,，P(^,.=0)=\—pi,i=\,2.若0<pi<p2<一,

則

A.E(fJvE(f2)，D(^)<D(^2)B.E(^)<E(^2),DC)>D(S)

c.E(3>E6),D(《)<D&)D.E(C>E&),D0)>D&)

3.[2017山東，理5】為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)X(單位：厘米)和身高1y(單位：厘米)的關(guān)系，從

該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖M以看出)，與X之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程

1010

為9=加+占.已知工七=225,2'=1600,B=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為

nEI

(A)160(B)163(C)166(D)170

4.[2017山東，理8】從分別標(biāo)有1,2,,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.則

抽到的2張K片上的數(shù)奇偶性不同的概率是

5457

(A)—(B)-(C)-(D)-

18999

5.【2017課標(biāo)H,理13]一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，芍放回地抽取

100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=o

6.12017山東,，理18](本小題滿分12分)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗

示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受

乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志

愿者人，42,43,4,八5,A6和4名女志愿者&,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5

人接受乙種心理暗示.

(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含人但不包含名的頻率。

(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望￡X.

7.[2017課標(biāo)I,理19]為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)

抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的

零件的尺寸服從正態(tài)分布N(〃,CP).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(“一35〃+3s之外的零件

數(shù)，求P(X之1)及X的數(shù)學(xué)期望:

18

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（〃一35〃+3。）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一

天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

（ii）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

10.110.010.010.0

10.269.919.229.95

3245

經(jīng)計(jì)算得廠==9.97,—16一）2心0.212,其中七為抽取

I裕

的第，個(gè)零件的尺寸，/=1,2,...,16.用樣本平均麴x作為〃的估計(jì)值Q,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值

a,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢杳？剔除（〃一36,"十34）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)

據(jù)估計(jì)〃和。（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N3,。2）,則P（〃-3。＜Z＜p+3a）=0.9974,

0.997*=09592,.而示心（）.09.

8.【2017課標(biāo)H,理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、I日網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)

抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻點(diǎn)分布直方圖如下；

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法

的箱產(chǎn)量不低于50kg“，估計(jì)A的概率:

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量及0kg

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舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率