專題22二次函數(shù)與新定義綜合問題（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題22二次函數(shù)與新定義綜合問題

【例1】（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物

2

線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x+2x﹣3與拋物線C2：y

2

＝ax+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的

交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．

（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)

D，求線段MN與線段DM的長度的比值．

（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)

F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由．

【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再

求比值即可；

（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時，2＝

，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，2＝，

F點(diǎn)不存在．

【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，

∴，

第1頁共46頁.

解得，

∴y＝x2+x﹣1，

在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，

∴＝＝；

（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，

∴E（﹣2，﹣1），

設(shè)F（x，0），

①當(dāng)EG＝EF時，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝2，

∴2＝，

解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，

∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；

②當(dāng)EG＝FG時，2＝，

此時x無實(shí)數(shù)根；

綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．

【例2】（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這

個函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，

1）是函數(shù)y＝圖象的“2階方點(diǎn)”．

（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y＝圖

象的“1階方點(diǎn)”的有②③（填序號）；

第2頁共46頁.

（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，求a的值；

（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請直

接寫出n的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

（2）在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)

時，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，結(jié)合圖象求a的值即可；

（3）在以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分

時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解

即可．

【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2＞1，＜1，

∴（﹣2，﹣）不是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；

②（﹣1，﹣1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；

③（1，1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；

故答案為：②③；

（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，

∴函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（3，1），

在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時，圖

象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時，a＝3，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時，a＝﹣1，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

綜上所述：a的值為3或a＝﹣1；

（3）在以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分

時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，

如圖2，當(dāng)n＞0時，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D時，n＝﹣1（舍）或n＝；

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，n＝1；

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∴≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點(diǎn)”；

綜上所述：≤n≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在．

【例3】（2022春?芙蓉區(qū)校級期末）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對于實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)a≤x≤b且b

＝a+3時，函數(shù)y有最大值ymax，最小值ymin，設(shè)h＝y(tǒng)max﹣ymin，則稱h為y的“極差函

數(shù)”（此函數(shù)為h關(guān)于a的函數(shù)）；特別的，當(dāng)h＝y(tǒng)max﹣ymin為一個常數(shù)（與a無關(guān)）時，

稱y有“極差常函數(shù)”．

（1）判斷下列函數(shù)是否有“極差常函數(shù)”？如果是，請在對應(yīng)（）內(nèi)畫“√”，如

果不是，請在對應(yīng)（）內(nèi)畫“×”．

①y＝2x（√）；

②y＝﹣2x+2（√）；

③y＝x2（×）．

（2）y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝px+q，它與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為1，且它有“極差常函數(shù)”

h＝3，求一次函數(shù)解析式；

（3）若，當(dāng)a≤x≤b（b＝a+3）時，寫出函數(shù)y＝ax2﹣bx+4的“極差

函數(shù)”h；并求4ah的取值范圍．

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【分析】（1）①由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，則y＝2x是“極差常函數(shù)”；

②由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，則y＝﹣2x+2是“極差常函

數(shù)”；

③由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a+3≤0時，h＝﹣9﹣6a不是常數(shù)，則y＝x2不是“極差

常函數(shù)”，

（2）根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得＝2，再分兩種情況討論：當(dāng)p＞0時，h＝p

（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；當(dāng)p＜0時，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分別求出p、q的

值即可求函數(shù)的解析式；

（3）函數(shù)的對稱軸為直線x＝+，由a的范圍確定≤+≤，

≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到對稱軸

的距離大于a到對稱軸的距離，則當(dāng)x＝a+3時，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，

當(dāng)x＝時，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范圍確定4ah的范圍

即可．

【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而增大，

∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，

∴y＝2x是“極差常函數(shù)”，

故答案為：√；

②∵y＝﹣2x+2是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而減小，

∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，

∴y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”，

故答案為：√；

∵y＝x2是二次函數(shù)，函數(shù)的對稱軸為直線x＝0，

當(dāng)a+3≤0時，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；

當(dāng)a≥0時，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；

∴y＝x2不是“極差常函數(shù)”，

故答案為：×；

（2）當(dāng)x＝0時，y＝q，

∴函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0，q），

當(dāng)y＝0時，x＝﹣，

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∴函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（﹣，0），

∴S＝×|q|×|﹣|＝1，

∴＝2，

當(dāng)p＞0時，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，

∴p＝1，

∴q＝±，

∴函數(shù)的解析式為y＝x；

當(dāng)p＜0時，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，

∴p＝﹣1，

∴q＝±，

∴函數(shù)的解析式為y＝﹣x；

綜上所述：函數(shù)的解析式為y＝x或y＝﹣x；

（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，

∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝，

∵b＝a+3，

∴x＝＝+，

∵，

∴≤+≤，≤a+3≤，

∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，

∵，

∴2a+2﹣＞0，

∴a+3到對稱軸的距離，大于a到對稱軸的距離，

∴當(dāng)x＝a+3時，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，

當(dāng)x＝時，y有最小值4﹣＝4﹣，

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∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），

∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，

∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，

∴≤2a2+5a﹣3≤9，

∴≤4ah≤81．

【例4】（2022?武侯區(qū)校級模擬）【閱讀理解】

定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于一個動點(diǎn)P（x，y），若x，y都可以用同一個字母

表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動路徑所對應(yīng)的關(guān)系

式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過程叫做將點(diǎn)“去隱”．

例如，將點(diǎn)M（m+1，﹣m+1）（m為任意實(shí)數(shù)）“去隱”的方法如下：

設(shè)x＝m+1①，y＝﹣m+1②

由①得m＝x﹣1③

將③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2

則直線y＝﹣x+2是點(diǎn)M的運(yùn)動路徑．

【遷移應(yīng)用】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動點(diǎn)Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動路

徑是拋物線．

（1）請將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；

（2）記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為

點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線W'始終過點(diǎn)A，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'．

ⅰ）試確定點(diǎn)C'運(yùn)動路徑所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

ⅱ）在直線x＝﹣2的左側(cè)，是否存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)

C'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）設(shè)x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；

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（2）?。┰O(shè)拋物線W'的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）

2；

ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，則C點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣2的對稱點(diǎn)為C'（﹣6，4），

此時AC＝AC'，△ACC'為等腰三角形；設(shè)C'（m，m2+m+1），當(dāng)AC'＝CC'時，C（﹣4

﹣2，6+2）；當(dāng)CA＝CC'時，C'只能在x＝﹣2右側(cè)不符合題意．

【解答】解：（1）設(shè)x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，

由①得a＝﹣x③，

∴y＝﹣x2+x+3；

（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，

∴C（2，4），

令y＝0，則﹣x2+x+3＝0，

解得x＝﹣2或x＝6，

∴A（﹣2，0），B（6，0），

ⅰ）設(shè)拋物線W'的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，

∴C'（h，k），

∵經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），

∴k＝（2+h）2，

令x＝h，y＝k＝（2+h）2，

∴y＝（x+2）2；

ⅱ）存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形，理由如下：

∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，

∴C點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣2的對稱點(diǎn)為C'（﹣6，4），

此時AC＝AC'，△ACC'為等腰三角形；

設(shè)C'（m，m2+m+1），

當(dāng)AC'＝CC'時，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，

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解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），

∴C（﹣4﹣2，6+2）；

當(dāng)CA＝CC'時，C'只能在x＝﹣2右側(cè)，此時不符合題意；

綜上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．

一．解答題（共20題）

o

1．（2022?甘井子區(qū)校級模擬）定義：將函數(shù)C1的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180，得到新

的函數(shù)C2的圖象，我們稱函數(shù)C2是函數(shù)C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．

例如：當(dāng)m＝1時，函數(shù)y＝（x﹣3）2+9關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+1）2

﹣9．

（1）當(dāng)m＝0時，

①一次函數(shù)y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7．

②點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，

求a的值．

（2）函數(shù)y＝（x﹣2）2+6關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，則m＝6．

（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時，函數(shù)y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大

值為8，求m的值．

【分析】（1）①由相關(guān)函數(shù)的定義，將y＝﹣x+7旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7；

②先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，然后求出相關(guān)函數(shù)，再把點(diǎn)A代入，即可得到答案；

（2）兩函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式獲得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而獲得m的

值；

（3）先確定相關(guān)函數(shù)，然后根據(jù)m的取值范圍，對m進(jìn)行分類討論，以對稱軸在給定

區(qū)間的左側(cè)，中部，右側(cè)，三種情況分類討論，獲得對應(yīng)的m的值．

【解答】解：（1）①根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，

y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7，

故答案為：y＝﹣x﹣7；

②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，

∴y＝ax2﹣2ax+a關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣a（x+1）2，

∵點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝﹣a（x+1）2的圖象上，

∴﹣6＝﹣a（5+1）2，

解得：a＝；

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（2）y＝（x﹣2）2+6的頂點(diǎn)為（2，6），

y＝﹣（x﹣10）2﹣66的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10，﹣6）；

∵兩個二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（m，0）成中心對稱，

∴m＝＝6，

故答案為：6；

（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，

∴y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+m）2+5m2．

①當(dāng)﹣m≤m﹣1，即m≥時，當(dāng)x＝m﹣1時，y有最大值為8，

∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，

解得m1＝﹣2﹣（不符合題意，舍去），m2＝﹣2+；

②當(dāng)m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜時，當(dāng)x＝﹣m時，y有最大值為8，

∴5m2＝8，

解得：m＝±（不合題意，舍去）；

③當(dāng)﹣m＞m+2，即m＜﹣1時，當(dāng)x＝m+2，y有最大值為8，

∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，

解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合題意，舍去），

綜上，m的值為﹣2+或4﹣2．

2．（2022?江都區(qū)二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這

個函數(shù)圖象的“梅嶺點(diǎn)”．

（1）若點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝﹣1；

若點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝3或﹣1；

（2）若點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，求這個二次

函數(shù)的表達(dá)式；

（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），且圖象上存

在兩個不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如

果k＝﹣b2+2b+2，請直接寫出k的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)“梅嶺點(diǎn)”的定義，P（3．p）的橫縱坐標(biāo)相等，即p＝3m+6＝3；P

（m，m）的橫縱坐標(biāo)相等，即m＝，分別求解即得答案；

（2）由題意得：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c

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22

＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，即方程x+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）＝0，對比兩個方程

的系數(shù)，即可求出b，c，進(jìn)而得出答案：y＝x2+5x+4；

2

（3）先由“梅嶺點(diǎn)”的定義證明x1、x2是方程ax+（b﹣1）x+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，利

2

用根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝，x1?x2＝，進(jìn)而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b+2b+2

22

＝﹣4a﹣8a+3＝﹣4（a+1）+7，再由﹣1＜x1＜1計算出a的取值范

圍，即可求出k的取值范圍．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的梅嶺點(diǎn)，

∴p＝3m+6＝3，

解得：m＝﹣1，

∵點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，

∴m＝，

整理得：m2﹣2m﹣3＝0，

解得：m1＝3，m2＝﹣1，

經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，

∴m＝3或﹣1；

故答案為：﹣1；3或﹣1；

（2）點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，

即拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），

2

∴方程x+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，

即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）2＝0，

∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．

∴b﹣1＝4，c＝4，

∴b＝5，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+5x+4；

（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），

∴c＝2，

∴y＝ax2+bx+2，

2

∵y＝ax+bx+2圖象上存在兩個不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），

22

∴x1＝ax1+bx1+2，x2＝ax2+bx2+2，

22

∴ax1+（b﹣1）x1+2＝0，ax2+（b﹣1）x2+2＝0，

2

∴x1、x2是方程ax+（b﹣1）x+2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，

第11頁共46頁.

∴x1+x2＝，x1?x2＝，

∵|x1﹣x2|＝2，

2

∴（x1﹣x2）＝4，

22

∴（x1+x2）﹣4x1x2＝（）﹣4×＝4，

∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，

∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，

∵|x1﹣x2|＝2，

∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，

∵﹣1＜x1＜1，

∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3

∴﹣3＜x1?x2＜3，

∴﹣3＜＜3，

∵a＞0，

∴a＞，

∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，

∴．

3．（2022?梁子湖區(qū)二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為

這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（2，2）是函數(shù)y＝2x﹣2的圖象的“等值點(diǎn)”．

（1）函數(shù)y＝2x+2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是（﹣2，﹣2）；

函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是（0，0）或（4，4）；（直接填結(jié)果）

（2）設(shè)函數(shù)y＝，y＝﹣x+b圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC

⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為4時，求b的值．

【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；

（2）先根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義求出函y＝的圖象上有“等值點(diǎn)”A（2，2），

同理求出B（b，b），根據(jù)△ABC的面積為4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分類求解

即可．

【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2

∴函數(shù)y＝2x+2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是（﹣2，﹣2）；

第12頁共46頁.

在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上有兩個“等值點(diǎn)”（0，0）或（4，4）；

故答案為：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；

（2）在函數(shù)y＝中，令x＝，

解得：x＝2，

∴A（2，2），

在函數(shù)y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，

解得：x＝b，

∴B（b，b），

∵BC⊥x軸，

∴C（b，0），

∴BC＝|b|，

∵△ABC的面積為4，

∴×|b|×|2﹣b|＝4，

當(dāng)b＜0時，b2﹣4b﹣32＝0，

解得b＝﹣4，

當(dāng)0≤b＜2時，b2﹣4b+32＝0，

∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，

∴方程b2﹣4b+32＝0沒有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)b≥2時，b2﹣4b﹣32＝0，

解得：b＝8，

綜上所述，b的值為﹣4或8．

4．（2022?洛陽模擬）定義：如果兩個函數(shù)代入同一個自變量，可以得到兩個相等的函數(shù)值，

我將這樣的函數(shù)稱為“鳳凰函數(shù)”，對應(yīng)的自變量的值稱為這兩個函數(shù)的“鳳凰根”．

（1）函數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣是否互為“鳳凰函數(shù)”？如果是，求出當(dāng)m＝1時，兩

函數(shù)的“鳳凰根”；如果不是，請說明理由．

（2）如圖所示的是y＝|x2+2x|的圖象，它是由二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象x軸下方的

第13頁共46頁.

部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變得到的．若y1＝﹣x+m與y2＝

|x2+2x|互為“鳳凰函數(shù)”，且有兩個“鳳凰根”，求m的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)“鳳凰函數(shù)”的定義，當(dāng)數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣有兩個交點(diǎn)，即可

判定函數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣互為“鳳凰函數(shù)”，當(dāng)m＝1時，解方程即可求得；

（2）由圖象可知直線在l1和l2之間平移（不含兩條直線）或在直線l3的右側(cè)平移時，直

2

線y1＝﹣x+m與y＝|x+2x|的圖象有兩個交點(diǎn)，據(jù)此即可求得m的取值范圍．

【解答】解：（1）由y1＝y(tǒng)2得，

整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2+8＞0，

∴y1＝﹣x+m與是互為“鳳凰函數(shù)”，

2

當(dāng)m＝1時，x﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，

∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x+m與的“鳳凰根”．

（2）如圖：y1＝﹣x+m與有兩個的“鳳凰根”，

則直線在l1和l2之間平移（不含兩條直線）或在直線l3的右側(cè)平移．

解方程，得x1＝﹣4，x2＝0，

第14頁共46頁.

故y與x軸交點(diǎn)P和交點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）和（0，0）．

將（﹣4，0）和（0，0）代入y1＝﹣x+m，

得m＝﹣4和m＝0．

故當(dāng)﹣4＜m＜0時，y1與y2有兩個的“鳳凰根”；

當(dāng)y1＝﹣x+m與相切時，

聯(lián)立可得方程，

整理，得，

∴．

當(dāng)y1＝﹣x+m在直線l3的右側(cè)平移，

即時，y1與y2有兩個“鳳凰根”．

綜上所述，當(dāng)﹣4＜m＜0或時，y1與y2互為“鳳凰根”，且有兩個“鳳凰根”．

5．（2022?淮安二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個函數(shù)圖

象上的“互反點(diǎn)”．例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點(diǎn)P（﹣1，1），則P為二次

函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點(diǎn)”．

（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在“互反點(diǎn)”？如果存在，求出“互

反點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y＝（x＜0），y＝x+b的圖象上的“互反點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，

過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時，求b的值；

（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動點(diǎn)，過Q作直線l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x

≥m）的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的

圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”時，直接寫出m的取值范圍．

第15頁共46頁.

【分析】（1）由定義可知，函數(shù)與y＝﹣x的交點(diǎn)即為“互反點(diǎn)”；

（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，

求出b的值；

（3）函數(shù)y＝﹣x2+2關(guān)于直線x＝m的對稱拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2，聯(lián)立

方程組，當(dāng)Δ＝0時，m＝﹣，因此當(dāng)m＜﹣時，W1，W2兩部分

組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”；函數(shù)y＝﹣x2+2與直線x＝m的交點(diǎn)為（m，﹣m2+2），

當(dāng)點(diǎn)（m，﹣m2+2）在直線y＝﹣x上時，解得m＝﹣1或m＝2，結(jié)合圖象可知：﹣1＜m

＜2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”．

【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，

∴y＝﹣x+3的圖象上不存在“互反點(diǎn)”；

y＝x2+x中，當(dāng)y＝﹣x時，﹣x＝x2+x，

解得x＝0或x＝﹣2，

∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的圖象上的“互反點(diǎn)”；

（2）y＝（x＜0）中，當(dāng)y＝﹣x時，﹣x＝，

解得x＝﹣，

∴A（﹣，），

y＝x+b中，當(dāng)y＝﹣x時，﹣x＝x+b，

解得x＝﹣b，

∴B（﹣b，b），

∴BC＝|b|，

∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，

解得b＝4或b＝﹣2；

（3）函數(shù)y＝﹣x2+2關(guān)于直線x＝m的對稱拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2，

由定義可知，“互反點(diǎn)”在直線y＝﹣x上，

聯(lián)立方程組，

整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，

Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，

第16頁共46頁.

解得m＝﹣，

當(dāng)m＜﹣時，y＝﹣（x﹣2m）2+2與y＝﹣x沒有交點(diǎn)，此時y＝﹣x與y＝﹣x2+2有兩

個交點(diǎn)，

∴m＜﹣時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”；

當(dāng)x＝m時，y＝﹣m2+2，

∴函數(shù)y＝﹣x2+2與直線x＝m的交點(diǎn)為（m，﹣m2+2），

當(dāng)點(diǎn)（m，﹣m2+2）在直線y＝﹣x上時，﹣m2+2＝﹣m，

解得m＝﹣1或m＝2

當(dāng)m＝﹣1時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個“互反點(diǎn)”，

∴m＞﹣1時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”；

當(dāng)m＝2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個“互反點(diǎn)”，

∴m＜2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”；

∴﹣1＜m＜2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”；

綜上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點(diǎn)”．

第17頁共46頁.

2

6．（2022?荷塘區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax+bx+c（a＜0）與x軸交于A（x1，0），B

（x2，0）兩點(diǎn)，且（x1＜0＜x2），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，

①求該二次函數(shù)的對稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②定義：若點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點(diǎn)P為這個函數(shù)

的“零和點(diǎn)”，求證：此二次函數(shù)有兩個不同的“零和點(diǎn)”；

（2）如圖，過D、C兩點(diǎn)的直線交x軸于點(diǎn)E，滿足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

【分析】（1）①運(yùn)用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案；

②由y＝﹣x與y＝ax2+bx+c聯(lián)立可得x2﹣3x﹣4＝0，運(yùn)用根的判別式可得Δ＞0，即可

得出結(jié)論；

（2）如圖，連接AC，先求出直線CD的解析式為y＝x+c，可得E（﹣，0），再利

用求根公式可得：A（，0），B（，0），再證明△EAC∽△

ECB，可得CE2＝AE?BE，即c2+＝（+）（+），

化簡即可得出答案．

【解答】解：（1）①當(dāng)a＝﹣1，b＝2，c＝4時，

拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+4，

∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為D（1，5）；

第18頁共46頁.

②當(dāng)y＝﹣x時，﹣x2+2x+4＝﹣x，

整理得：x2﹣3x﹣4＝0，

∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，

∴二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4有兩個不同的“零和點(diǎn)”；

（2）如圖，連接AC，

∵y＝ax2+bx+c，

∴C（0，c），頂點(diǎn)D（﹣，），

設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+n，

則，

解得：，

∴直線CD的解析式為y＝x+c，

∴E（﹣，0），

∵A（，0），B（，0），

∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣

）＝+，

∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，

∴△EAC∽△ECB，

∴＝，

∴CE2＝AE?BE，

第19頁共46頁.

在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，

∴c2+＝（+）（+），

化簡得：ac＝﹣1，

故ac的值為﹣1．

7．（2022秋?海安市校級月考）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該

點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（1，1）是函數(shù)y＝x+的圖象的“等值點(diǎn)”．

（1）判斷函數(shù)y＝x+2的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐

標(biāo)；如果不存在，說明理由；

（2）求函數(shù)y＝x2﹣2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)；

2

（3）若函數(shù)y＝x﹣2（x≥m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2．當(dāng)

W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個“等值點(diǎn)”時，求出m的值．

【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；

（2）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；

（3）根據(jù)（2）中求出的y＝x2﹣2的圖象上有兩個“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或（2，2），

再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．

【解答】解：（1）不存在，理由：

在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，

∴函數(shù)y＝x+2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”；

（2）令x＝x2﹣2，

解得：x1＝﹣1，x2＝2，

∴函數(shù)y＝x2﹣2的圖象上有兩個“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或（2，2）；

（3）①當(dāng)m＜﹣1時，W1，W2兩部分組成的圖象上必有2個“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或

（2，2），

2

W1：y＝x﹣2（x≥m），

2

W2：y＝（x﹣2m）﹣2（x＜m），

令x＝（x﹣2m）2﹣2，

整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，

∵W2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，

∴Δ＜0，

∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，

第20頁共46頁.

∴m＜﹣，

②當(dāng)m＝﹣1時，有3個“等值點(diǎn)”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），

③當(dāng)﹣1＜m＜2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點(diǎn)”，

④當(dāng)m＝2時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個“等值點(diǎn)”（2，2），

⑤當(dāng)m＞2時，W1，W2兩部分組成的圖象上沒有“等值點(diǎn)”，

綜上所述，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個“等值點(diǎn)”時，m＝1．

8．（2022秋?長沙期中）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做

這個函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)

（﹣1，1）是函數(shù)y＝﹣x圖象的“1階方點(diǎn)”．

（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三點(diǎn)中，是正比例函數(shù)y＝﹣2x圖

象的“1階方點(diǎn)”的有②③（填序號）；

（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，求a的值；

（3）若函數(shù)圖象恰好經(jīng)過“n階方點(diǎn)”中的點(diǎn)（n，n），則點(diǎn)（n，n）稱為此函數(shù)圖象的

“不動n階方點(diǎn)”，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的圖象上存在唯

一的一個“不動n階方點(diǎn)”，且當(dāng)2≤p≤3時，q的最小值為t，求t的值．

【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

（2）在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)

時，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，結(jié)合圖象求a的值即可；

（3）在以O(shè)為中心，邊長為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分

時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解

即可．

【解答】解：（1）（﹣1，2）到x軸距離為2，不符合題意，

（0，0）到兩坐標(biāo)軸的距離都等于0，符合題意，

③（，﹣1）到x軸距離為1，到y(tǒng)軸距離為，符合題意，

故答案為：②③．

（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，

∴函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（3，1），

在以O(shè)為中心，邊長為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時，圖

象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

第21頁共46頁.

由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C（2，﹣2）時，﹣2＝2a﹣3a+1，

解得a＝3，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D（2，2）時，2＝2a﹣3a+1，

解得a＝﹣1，此時圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個，

綜上所述：a的值為3或a＝﹣1．

（3）∵點(diǎn)（n，n）在直線y＝x上，

∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的圖象上存在唯一的一個“不動n階方點(diǎn)”時，方程x2+

（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有兩個相等實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，

∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，

∵當(dāng)2≤p≤3時，q的最小值為t，

若p＝t，則q的最小值為﹣t+2，則﹣t+2＝t，

解得t＝p＝1，不符合題意．

當(dāng)t＜2時，若p＝2，則q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t

解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，

當(dāng)t＞3時，若p＝3，則q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t

第22頁共46頁.

解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，

綜上所述，t＝3﹣或4+．

9．（2022秋?如皋市校級月考）定義：一個函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該

點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“1倍點(diǎn)”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函

數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，﹣1）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“1倍點(diǎn)”，點(diǎn)（，

﹣3）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“2倍點(diǎn)”．

（1）函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上是否存在“2倍點(diǎn)”？如果存在，求出“2倍點(diǎn)”；

（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“1倍點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩

點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時，求：c的取值范圍．

2

（3）將函數(shù)y＝x﹣8（x≥m）的圖象記為W1，其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2，

W1和W2構(gòu)成的整體記為W，若W恰有2個“2倍點(diǎn)”，請直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1）聯(lián)立方程求解．

（2）令ax2+5x+c＝x，根據(jù)根的判別式Δ＝0可得ac的值，進(jìn)而求解．

（3）令x2﹣8＝2x，求出拋物線y＝x2﹣8與直線y＝2x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由函數(shù)y＝x2﹣8

（x≥m）求出翻折后函數(shù)解析式，結(jié)合圖象求解．

【解答】解：（1）由題意可得“2倍點(diǎn)”在直線y＝2x上，

聯(lián)立方程，

解得，，

∴函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上存在“2倍點(diǎn)”，點(diǎn)（﹣2，﹣4），（4，8）是該圖象的“2倍點(diǎn)”．

（2）令ax2+5x+c＝x，整理得ax2+4x+c＝0，

由題意得Δ＝42﹣4ac＝0，

∴ac＝4，

∴c＝，

∵a＞1，

∴0＜c＜4．

（3）圖象y＝x2﹣8（x≥m）關(guān)于直線x＝m翻折后解析式為y＝（x﹣2m）2﹣8（x＜m），

令x2﹣8＝2x，

解得x＝﹣2或x＝4，

當(dāng)m＝4時，如圖，

第23頁共46頁.

圖象W有1個“2倍點(diǎn)”，

∴m＜4時符合題意，

當(dāng)m＝﹣2時，如圖，

圖象W有3個“2倍點(diǎn)”，

∴﹣2＜m＜4符合題意．

令（x﹣2m）2﹣8＝2x，整理得x2﹣（4m+2）x+4m2﹣8＝0，

當(dāng)Δ＝（4m+2）2﹣4（4m2﹣8）＝0時，

解得m＝﹣，

第24頁共46頁.

∴m＜﹣時符合題意．

綜上所述，﹣2＜m＜4或m＜﹣．

10．（2022秋?通州區(qū)校級月考）定義：將函數(shù)C的圖象繞點(diǎn)P（0，n）旋轉(zhuǎn)180°，得到新

的函數(shù)C1的圖象，我們稱函數(shù)C1是函數(shù)C關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．例如：當(dāng)n＝1時，函

數(shù)關(guān)于點(diǎn)P（0，1）的相關(guān)函數(shù)為．

（1）當(dāng)n＝0時．

①二次函數(shù)y＝x2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x2；

②點(diǎn)A（2，3）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a

的值．

（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是，則n＝﹣．

【分析】（1）①n＝0時，點(diǎn)P（0，0），則相關(guān)函數(shù)為：y＝﹣x2，即可求解；

②二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a的頂點(diǎn)為：（1，0），新函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣1，0），則新函數(shù)的

表達(dá)式為：y＝﹣a（x+1）2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣；

（2）兩個函數(shù)的頂點(diǎn)分別為：（0，3）、（0，﹣5），由中點(diǎn)公式即可求解．

【解答】解：（1）①n＝0時，點(diǎn)P（0，0），則相關(guān)函數(shù)為：y＝﹣x2，

故答案為：y＝﹣x2；

②二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a的頂點(diǎn)為：（1，0），新函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣1，0），

則新函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣a（x+1）2，

將點(diǎn)A（2，3）代入得3＝﹣a（2+1）2，

解得：a＝﹣；

（2）兩個函數(shù)的頂點(diǎn)分別為：（0，3）、（0，﹣5），

由中點(diǎn)公式得：n＝＝﹣，

第25頁共46頁.

故答案為：﹣．

11．（2022秋?如皋市校級月考）定義：一個函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱

該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“1倍點(diǎn)”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個

函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，﹣1）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“1倍點(diǎn)”，點(diǎn)（﹣

，﹣3）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“2倍點(diǎn)”．

（1）函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上是否存在“2倍點(diǎn)”？如果存在，求出“2倍點(diǎn)”；

（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“1倍點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩

點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時，求：

①c的取值范圍；

②直接寫出∠EMN的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)“2倍點(diǎn)”的概念直接作答即可；

（2）①根據(jù)有且只有一個“1倍點(diǎn)”求出a與c的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)a的取值范圍求出c

的取值范圍；

②先求點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后比較線段長度，最后求出∠EMN

的度數(shù)．

【解答】解：（1）存在，

設(shè)“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x，2x），

則2x＝x2﹣8，

解得：x＝﹣2或4，

∴“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）或（4，8）；

（2）①由題意可知，

y＝ax2+5x+c與y＝x有且只有交點(diǎn)，

則x＝ax2+5x+c，

整理得：ax2+4x+c＝0，則該方程有兩個相同的實(shí)數(shù)根，

即Δ＝16﹣4ac＝0，

∴ac＝4，

∴a＝，

∵a＞1，

∴0＜c＜4；

②如圖，過點(diǎn)E作EF⊥OM于點(diǎn)F，

第26頁共46頁.

由根與系數(shù)的關(guān)系可知，ax2+4x+c＝0，

，

又∵兩個根相等，

∴，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），

∴EF＝OF＝，

由①可知，a＝，

則c＝，

∴y＝ax2+5x+c可以寫成y＝ax2+5x+，

令y＝0，

則ax2+5x+＝0，

由求根公式可得，

x＝，

解得：，，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），

∴OM＝，

∴MF＝OM﹣OF＝，

∴MF＝EF，

第27頁共46頁