專題26以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問題 （原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題26以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段

AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點F．

①如圖2，當(dāng)點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；

②如圖3，當(dāng)點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．

【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，

連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥????=??

(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應(yīng)），連接、，在旋轉(zhuǎn)

′′′′′

的過程中與△??的?位置關(guān)系與（1）中△的?C?E?與AB?的位?置′關(guān)系是否一致?請說明理由；????△???

′

(3)如圖3，??當(dāng)′??繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求

′

的長．△?????′????=??,??=3

′

??

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【例3】（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公

共點．???????????????

?

(1)如圖1，當(dāng)點在上，在上，求的值為多少；

2??

(2)將正方形?繞??點逆時?針方??向旋轉(zhuǎn)2??，如圖2，求：的值為多少；

??

(3)?，????，將正方形?(0繞°<逆?<時針90方°)向旋轉(zhuǎn)??，當(dāng)，，三點共線時，請直

2

接寫??出=8的2長度??．=2????????(0°<?<360°)???

??

【例4】（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時

針旋轉(zhuǎn)一個銳角45到°圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，

交于E，交于F，通過證明，可得．??,????

請你??證明：????．△???≌△?????=??

??=??

【遷移應(yīng)用】

延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位．置．關(guān)系．

【拓?展?延伸】??,??????

小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其

他條件不變，請你猜想并證明30與°的數(shù)．量．關(guān)系．??,??

????

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【例5】（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為

的中點，連接．△?????=??=25,??=4??,??,??

??,??

(1)如圖1，求證：；

5

(2)如圖2，將?繞?點=D2?順?時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點G，射線交于點N時，

連接并延長∠交??射?線于點M，判斷與的數(shù)量關(guān)∠?系?，?并說明理?由?；??????

(3)如?圖?3，在（2）的?條?件下，當(dāng)??時?，?求的長．

??⊥????

一、解答題【共20題】

1．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉(zhuǎn)（），，，

連接，．????△??????<??∠???=90°??=??

????

(1)如圖，求證：≌；

(2)直線1與相交△于?點??．△???

如圖??，??于點?，于點，求證：四邊形是正方形；

①如圖2，連??接⊥?，?若??，?⊥??，直?接寫出在?旋?轉(zhuǎn)??的過程中，線段長度的最小值．

②3????=4??=2△?????

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2．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運(yùn)動，將繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接???．???=4,??=3?????

??∠?????

(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證；

(2)當(dāng)??時，求?的?長⊥；????=??

(3)連?接?=，3點2E從點?B?運(yùn)動到點D的過程中，試探究的最小值．

????

3．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E

在BC上，點F在CD上，P為EF中點，連接AF，G為AF中點，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點C順時針旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．

(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，DG與PG的關(guān)系為；

(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時

①求證：△AGD≌△FGM；

②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

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4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點A按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．R點t△P?從?點?B出∠發(fā)??，?沿=90方°,?向?勻=速5運(yùn)cm動,?，?速=度3c為m△；??同?時，點Q從

點A出發(fā)，沿90方°向勻△速?運(yùn)??動，速度?為?．交于點F?，?連接．設(shè)運(yùn)動時間1為cm/s．解

答下列問題：??1cm/s??????,???(s)(0<?<5)

(1)當(dāng)時，求t的值；

(2)設(shè)?四?邊⊥形??的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

2

(3)是否存在某??一??時刻t，使?(cm)？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

??∥??

5．（2022·遼寧·本溪市教師進(jìn)修學(xué)院中考真題）在中，，線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平△分??線?與∠射?線??=相90交°,于??點=E?，?連接?．?

???????∠?????????

(1)如圖①，當(dāng)時，的度數(shù)是_____________；

(2)如圖②，當(dāng)?=20°∠時??，?求證：；

(3)當(dāng)0°<?<90°時，請直?接?寫+出2??的=值．2??

??

0°<?<180°,??=2????

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6．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋

4

物線恰好經(jīng)過這兩點．?=?3??4

52

?=18?+??+?

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點C的坐標(biāo)是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．

①寫出點E的坐標(biāo)，0并,6判斷點△E??是?否在此拋物線上；△???

②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標(biāo)．

3

5??+??

7．（2022·湖南岳陽·中考真題）如圖，和的頂點重合，，，

，．△???△????∠???=∠???=90°∠???=∠???=30°

??=3??=2

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)

??

系是______；????????=????

(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論

是否仍然成立？若成立，請證明；△若?不?成?立，?請說明理由；?????

(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于

點，當(dāng)時，求△?的?值?．??(19°<?<60°)????

???=??tan60°??

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8．（2022·湖北十堰·中考真題）已知，在內(nèi)部作等腰，，

．點為射線∠???上=任9意0°一點（∠?與?點?不重合），△連?接??，??將=線?段?繞點逆時針旋轉(zhuǎn)

∠得?到??線=段?0，°<連?接≤9并0°延長交?射線?于?點．???????

???????

(1)如圖1，當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；

(2)如圖2，當(dāng)?=90°時，（??1）?中?的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若，0°<?<90，°，過點作，垂足為，請直接寫出的長（用含有的式子表示）．

?=60°??=43??=????⊥??????

9．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐

問題情境：在RtABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D

放在RtABC斜△邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，

N，猜想△證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠A?M=A∠N?時?，?直接寫出線段AN的長．

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10．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．

的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成9畫×圖6，畫圖過程用虛線表示．△???

(1)在圖（1）中，，分別是邊，與網(wǎng)格線的交點．先將點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，畫出點，再在

上畫點，使?；???????180°????

(2)在圖?（2）中??，∥??是邊上一點，．先將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，畫出線段，再畫

點，使，兩點?關(guān)于直??線對稱．∠???=????2?????

?????

11．（2022·四川廣元·中考真題）在RtABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，

連接AD、BD．△

(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；

(2)將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；

②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明．

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12．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按

照如圖1所示的方式擺放．其中，，．

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板∠???繞=點∠B?按??順=時9針0°方向∠?旋=轉(zhuǎn)3．0°??=??=3

???

(1)如圖2，當(dāng)點落在邊上時，延長交于點，求的長．

(2)若點、、?在同一條?直?線上，求點??到直?線?的?距離．??

(3)連接?，?取?的中點，三角板?由初始位?置?（圖1），旋轉(zhuǎn)到點、、首次在同一條直線上（如圖3），

求點所?經(jīng)?過的?路?徑長．???????

(4)如?圖4，為的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點到直線的距離的最大值是_____．

??????

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13．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角

形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將

繞點??C?按逆時針方向旋轉(zhuǎn)??（?），連接，∠??，?延=長∠???交=90于°點F，連接△?．?該?數(shù)學(xué)興趣△小?組?進(jìn)?

行如下探究，請你幫忙解答?：0°<?<90°??????????

(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時，則_____；

(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點??E∥?，?F重合時?，=請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；

(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)??論是??否仍?然?成立？若成立，請給出推理過程；若不成

立，請說明理由．

(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保

持不動，將繞△點?C??按逆△時?針??方向旋∠?轉(zhuǎn)??（=∠???=90°），連?接?=，???，?延?長=??交?于點F，連接

△，?如?圖?6．試探△究??，?，之間的數(shù)量關(guān)系，?并0說°明<理?由<．90°????????

????????

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14．（2021·遼寧沈陽·中考真題）在中，，中，（），，，

，點B，C，△E不??共?線，點??P=為?直?線△?上??一點，?且?=????．≥????=??∠?=?

∠（?1?）?如+圖∠?1?，?點=D18在0°線段延長線上，則______?__?，__?_?__=__?_?，（用含的代數(shù)式表示）；

??∠???=∠???=?

（2）如圖2，點A，E在直線同側(cè)，求證：平分；

????∠???

（3）若，，將圖3中的繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，直線交

于點G，∠點??M?=是60°中點??，=請直3接+寫1出的長．△?????⊥??????

????

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15．（2021·山東日照·中考真題）問題背景：

如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，過點作交于點．

??????=23∠???=30°??????⊥?????

實驗探究：

（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：

①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為△__?_?_?__．?90°

??

（2??）=小王同學(xué)繼續(xù)將???繞?點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然

成立？并說明理由．△????

拓展延伸：

在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點共線時，則的面積為______．

△??????△???

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16．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測）（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，

OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，連接AC，BD交于點M．填空：的值為，∠AMB的度數(shù)為；

??

（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠?O?BA＝∠ODC＝60°，連接AC交BD的延長線

于點M．請判斷的值，并說明理由；

??

（3）在（2）的條??件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若OD＝1，OB＝；

點Q為CD的中點，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，AQ的最大值為．6

17．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．

(1)【實踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是______．

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，

1

求證：M是CD的中點．=3

(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知

∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長是______．

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18．（2021·四川樂山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，

將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

(1)觀察猜想

如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．

??

(2)類比探究??

如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出，并就圖2的情形說明理由．

??

(3)解決問題??

當(dāng)α＝90°時，若點