專(zhuān)題27以相似為載體的幾何綜合問(wèn)題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專(zhuān)題27以相似為載體的幾何綜合問(wèn)題

【例1】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在A(yíng)B、AD上，且

MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

????

(3)若?M?N∥BE，??求的值．

??

??

【例2】（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)O，記的面積為，

的面積為．????????△????1

△（1?）??問(wèn)題解決：?如2圖①，若AB//CD，求證：

?1?????

（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（?12）=中??的??結(jié)?論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在??上?取?一點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，

交于點(diǎn)G，且，?若?，求值．??=????∥????????

??5?1

????=2????=6?2

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【例3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平行四邊形中，是一條對(duì)角線(xiàn)，且，，

，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，連接??，??的延?長(zhǎng)?線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相??交=于?點(diǎn)?=．5??=6

????????=?????????

(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．

①若?，求??的長(zhǎng)；?????????

3

②在滿(mǎn)??足=①2的條?件?下，若，求證：；

(2)如圖2，連接，是??上=一?點(diǎn)?，連接?．?若⊥??，且，求的長(zhǎng)．

???????∠???=∠???+∠?????=2????

【例4】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；

(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在A(yíng)C邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

(3)如圖③，點(diǎn)F在A(yíng)C邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，

1

試判斷直線(xiàn)BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.2?????

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【例5】（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，

，，．△???△????∠???=∠???=90°∠???=∠???=

30°??=3??=2

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)

??

系是______；????????=????

(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上，連接，（1）中的結(jié)論

是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；△若?不?成?立，?請(qǐng)說(shuō)明理由；?????

(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于

點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求△???的值．??(19°<?<60°)????

???=??tan60°??

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一、解答題【共20題】

1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．

????????????????

(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；

(2)如圖2，已知????，，當(dāng)、?的?+大?小?有=__?_?______關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；

(3)如圖3，??=，??、??相=交??于點(diǎn)?，???，已知正方形的邊長(zhǎng)為??16?，?長(zhǎng)為20，當(dāng)

的面積取最?大?值=時(shí)?，?判?斷?四?邊?形是?怎?樣?的:?四?邊=形4:？5證明你的結(jié)論?．?????△???

????

2．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的

速度沿、運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)△B、??C?停止△.???

????

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線(xiàn)段、的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是

____________；????

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案；此時(shí)，四邊形

是哪種特殊四邊形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出??圖?形?并給予證△明?.??????

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3．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，連接，將

繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，連△接???，?．?=??∠???=120°???????

?120°??????

(1)求證：；

(2)當(dāng)點(diǎn)在??線(xiàn)=段3?上?（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）時(shí)，求的值；

??

(3)過(guò)點(diǎn)?作??交于?點(diǎn)，若??，請(qǐng)直接??寫(xiě)出的值．

??

???∥???????=2????

4．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對(duì)角線(xiàn).點(diǎn)E是邊AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，

連結(jié)交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)G．

???????∠?????

(1)求證：.

(2)若∠?，??=90°．

①求菱??形=6?的?面=積2?.?

②求????的值.

(3)若tan∠???，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時(shí)（＜＜），在上找一點(diǎn)，使為定值，說(shuō)明理由并求

出?的?值=．??∠???0°∠???180°?????

??

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5．（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以

每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間2為t秒．

(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？

6．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接???．???=4,??=3?????

??∠?????

(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；

(2)當(dāng)??時(shí)，求?的?長(zhǎng)⊥；????=??

(3)連?接?=，3點(diǎn)2E從點(diǎn)?B?運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．

????

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7．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，

連接BE、CE．△???∠???=45°,??⊥????=??

(1)直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；

(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接、，在旋轉(zhuǎn)

′′′′′

的過(guò)程中與△??的?位置關(guān)系與（1）中△的?C?E?與AB?的位?置′關(guān)系是否一致?請(qǐng)說(shuō)明理由；????△???

′

(3)如圖3，??當(dāng)′??繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線(xiàn)與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求

′

的長(zhǎng)．△?????′????=??,??=3

′

??

8．（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線(xiàn)BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，

以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接DG．

(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE與線(xiàn)段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

????

(2)如圖2，當(dāng)??＝??＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線(xiàn)段BE與線(xiàn)段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

????

(3)如圖3，在（??2）??的條件下，連接BG，EG，分別取線(xiàn)段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB

＝，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MND的面積．

5

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9．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線(xiàn)段AD繞

點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，連接BD，DE，CE．

(1)判斷線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長(zhǎng)ED交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線(xiàn)段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

10．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），

作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．

(1)直接寫(xiě)出圖中與AFB相似的一個(gè)三角形；

(2)若四邊形AFCC′△是平行四邊形，求CE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)CE的長(zhǎng)為多少時(shí)，以C′，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

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11．（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A

點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的2路線(xiàn)3勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交

2

于點(diǎn)P，求線(xiàn)段EP與CP長(zhǎng)度的比值；3

(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，

求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大3，最大值為多少？

(3)如圖3，H在線(xiàn)段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、

1

F在什么位置能使EM＝HM．并說(shuō)明3理由．

12．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，△AOB是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線(xiàn)，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，）．P是直線(xiàn)AB上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，

作DM⊥3AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．

(1)填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時(shí)的m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第9頁(yè)共14頁(yè).

13．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．

(2)【類(lèi)比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接

寫(xiě)出的值．

??

(3)【?拓?展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．

????3

①求的值；????4

??

②延長(zhǎng)??CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．

14．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)以每秒個(gè)?單?位??長(zhǎng)?度的速??度=向4終點(diǎn)??B=運(yùn)?動(dòng)?，=連結(jié)13．作點(diǎn)A關(guān)??于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)，連結(jié)、?．?設(shè)?點(diǎn)??P的運(yùn)動(dòng)時(shí)13間為t秒．????

?′?′??′?

(1)點(diǎn)D到邊的距離為_(kāi)_________；

(2)用含t的代?數(shù)?式表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)，當(dāng)線(xiàn)段最短?時(shí)?，求的面積；

(4)當(dāng)M?、′?、C三點(diǎn)?共′?線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)△出??t?的′值．

?′

第10頁(yè)共14頁(yè).

15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線(xiàn)上，正方形與正方形有公共點(diǎn)

．???????????????

?

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；

2??

(2)將正方形?繞??點(diǎn)逆時(shí)?針?lè)??向旋轉(zhuǎn)2??，如圖2，求：的值為多少；

??

(3)?，????，將正方形?(0繞°<逆?<時(shí)針90方°)向旋轉(zhuǎn)??，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直

2

接寫(xiě)??出=8的2長(zhǎng)度??．=2????????(0°<?<360°)???

??

16．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E

不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)E作，交AB于?點(diǎn)?=F．4??=6

??⊥??

(1)求證：；

(2)如圖2，△連??接?C∽F△，?過(guò)?點(diǎn)?B作，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，連接GM．

①求的最小值；??⊥??

②當(dāng)??+??取最小值時(shí)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．

??+??

第11頁(yè)共14頁(yè).

17．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線(xiàn)l的上方，與都是直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段，且在

的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．????????

??=2??????

(1)如圖1，若連接，則的形狀為_(kāi)_____，的值為_(kāi)_____；

??

(2)若將沿直線(xiàn)l?平?移，△并?以??為一邊在直線(xiàn)l的?上?方作等邊．

①如圖?2，?當(dāng)與重合時(shí)，連??接，若，求的長(zhǎng)；△???

3

②如圖3，當(dāng)????時(shí)，連接??并延長(zhǎng)??交=直2線(xiàn)l于?點(diǎn)?F，連接．求證：．

∠???=60°??????⊥??

18．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．Rt點(diǎn)△P?從??點(diǎn)B出∠?發(fā)?，?沿=90°方,?向?勻=速5c運(yùn)m動(dòng),?，?速=度3c為m△?；?同?時(shí)，點(diǎn)Q

從點(diǎn)A出發(fā)，沿90方°向勻△速?運(yùn)??動(dòng)，速度?為?．交于點(diǎn)F，?連?接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1cm/s．解

答下列問(wèn)題：??1cm/s??????,???(s)(0<?<5)

(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；

(2)設(shè)?四?邊⊥形??的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

2

(3)是否存在某??一??時(shí)刻t，使?(cm)？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

??∥??

第12頁(yè)共14頁(yè).

19．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，