專題03 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

第三講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn).................................................................................................................1

考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形.......................................................................................................................7

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的應(yīng)用

1.利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題

在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定

出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此

在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．

2.幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的

最值的討論．

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)

1．某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)

過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)

關(guān)系．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），

由所給函數(shù)圖象可知：，

解得：，

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+500；

（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)為w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x2+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）2+720，

∵﹣20＜0，

∴當(dāng)x＜19時(shí)，w隨x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴當(dāng)x＝18時(shí)，w有最大值，最大值為700，

∴售價(jià)定為18元/件時(shí)，每天最大利潤(rùn)為700元．

2．如圖①是氣勢(shì)如弘、古典凝重的開封北門，也叫安遠(yuǎn)門，有安定遠(yuǎn)方之寓意．其主門洞的截面

如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處

點(diǎn)E到地面AB的距離為8米．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式．

第2頁共21頁.

（2）該主門洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線．車輛必須在雙黃線兩側(cè)行駛，不

能壓雙黃線，并保持車輛最高點(diǎn)與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離），試判斷一輛大型貨運(yùn)

汽車裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過該主門洞？并說明理由．

【解答】解：（1）建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示，

由題意可得，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣8，6），

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+8，

∵點(diǎn)D在該函數(shù)圖象上，

∴6＝a×（﹣8）2+8，

解得a＝﹣，

∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+8；

（2）這輛大型貨運(yùn)汽車能安全通過該主門洞，

理由：將x＝3.7+0.3＝4代入y＝﹣x2+8，

得：y＝﹣×42+8＝7.5，

∵7.5＞6.6+0.6，

∴這輛大型貨運(yùn)汽車能安全通過該主門洞．

3．某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30元，每月可賣出180件，該商品每臺(tái)售價(jià)（元）與月

銷量（臺(tái)）滿足的函數(shù)關(guān)系式如下表所示．已知該商品計(jì)劃漲價(jià)銷售，但每件售價(jià)不能高于35

元．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為整數(shù)）時(shí)，月銷售利潤(rùn)為w元．

每臺(tái)售價(jià)（元）303132…30+x

月銷售量（臺(tái)）180170160…y

（1）上述表格中，y＝180﹣10x（用含x的代數(shù)式表示）；

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（2）若銷售該商品每月所獲利潤(rùn)為1920元，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)上漲多少元？

（3）當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每月銷售該商品所獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得，y與的函數(shù)解析式為：y＝180﹣10x，

故答案為：y＝180﹣10x；

（2）由題意得：1920＝（30﹣20+x）（180﹣10x），

即x2﹣8x+12＝0（0≤x≤5，且x為整數(shù)），

解得：x＝2或x＝6，

∵0≤x≤5，

∴x＝2，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為1920；

（3）由題意得：w＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x為整數(shù)）；

∵﹣10＜0，

∴當(dāng)x＝＝4時(shí)，y最大＝1960元；

∴每件商品的售價(jià)為34元．

答：每件商品的售價(jià)為34元時(shí)，商品的利潤(rùn)最大，為1960元．

4．隨著國(guó)內(nèi)疫情得到有效控制，某產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)逐漸回暖．某經(jīng)銷商與生產(chǎn)廠家簽訂了一份該產(chǎn)

品的進(jìn)貨合同，約定一年內(nèi)進(jìn)價(jià)為0.1萬元/臺(tái)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得知，一年內(nèi)該產(chǎn)品的售價(jià)y（萬

元/臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)x（1≤x≤12且為整數(shù)）滿足關(guān)系式：y＝．

估計(jì)這一年實(shí)際每月的銷售量p（臺(tái)）與月份x之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)．

（1）求實(shí)際每月的銷售量p（臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)估計(jì)這一年中簽約后的第幾月實(shí)際銷售利潤(rùn)W最高，最高為多少萬元？

【解答】解：（1）由題意得p＝，

（2）①當(dāng)1≤x＜4時(shí)，

W＝（﹣0.05x+0.4﹣0.1）×（﹣5x+40）

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＝（x﹣6）（x﹣8）＝x2﹣x+12

∵a＝＞0，﹣＝7＞4，

∴當(dāng)1≤x＜4時(shí)，W隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝1時(shí)取得W的最大值為：

×12﹣×1+12＝8.75（萬元）．

②當(dāng)4≤x≤12時(shí)，

W＝（0.2﹣0.1）×（2x+12）＝x+，

∵k＝＞0，

∴當(dāng)4≤x≤12時(shí)，W隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝12時(shí)取得W的最大值為3.6：

×12+＝3.6（萬元）．

綜上得：全年中1月份的實(shí)際銷售利潤(rùn)W最高為8.75萬元．

5．某大型農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)新建了100個(gè)固定攤位，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，去年1月至12月，每個(gè)固定攤位的

租金y（元）與月份x之間滿足關(guān)系式如下表，每月租出的固定攤位的個(gè)數(shù)p（個(gè)）與月份x之間

的函數(shù)圖象如圖所示．每個(gè)固定攤位租用者支付月租金給市場(chǎng)管理公司，由市場(chǎng)管理公司為每個(gè)

攤位支付管理費(fèi)，管理費(fèi)m（元）與月份x之間關(guān)系滿足m＝20x（1≤x≤12，且x為正整數(shù)）．

x（x為正整數(shù)）1≤x≤67≤x≤12

y/元400﹣40x+820

（1）試求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別時(shí)算3月份和8月份市場(chǎng)管理公司的收益（收益＝租金﹣攤位管理費(fèi)）；

（3）請(qǐng)你通過計(jì)算說明市場(chǎng)管理公司哪個(gè)月的收益最大？

【解答】解：（1）當(dāng)1≤x≤6時(shí)，圖象過（0，100），（6，40），

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設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx+b，

則，

解得：，

∴p＝﹣10x+100；

當(dāng)7≤x≤12時(shí)，圖象過（12，100），（6，40），

設(shè)函數(shù)解析式為y＝k1x+b1，

則，

解得：，

∴p＝10x﹣20．

綜上所述，p＝；

（2）當(dāng)x＝3時(shí)，市場(chǎng)管理公司的收益為：（400﹣20×3）×（﹣10×3+100）＝23800（元），

當(dāng)x＝8時(shí)，市場(chǎng)管理公司的收益為：（﹣40×8+820﹣20×8）×（10×8﹣20）＝20400（元）；

（3）設(shè)市場(chǎng)管理公司某月的收益為W元．

當(dāng)1≤x≤6時(shí)，

W＝（400﹣20x）（﹣10x+100）

＝200x2﹣6000x+40000

＝200（x﹣15）2﹣5000，

∵200＞0，

∴W隨x：的增大而減小，I≤x≤6，且x為整數(shù)，

∴當(dāng)x＝1時(shí)W最大，W＝200×1﹣6000×1+40000＝34200；

當(dāng)7≤x≤12時(shí)，

W＝（﹣40x+820﹣20x）（10x﹣20）

＝﹣600x2+9400x﹣16400，

∵x＝﹣＝＝7，

∵﹣600＜0，7≤x≤12，且x為整數(shù)，

∴當(dāng)x＝8時(shí)W最大，

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∴W＝﹣600×82+9400×8﹣16400＝20400，

∵34200＞20400，

∴市場(chǎng)管理公司的收益在1月份收益最大．

考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形

6．在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的

底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)

EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，

并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，

∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，

FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，

矩形EFGD的面積y＝x（20﹣2x）

＝﹣2x2+20x，

由0＜20﹣2x＜20，

解得0＜x＜10，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x2+20x，

定義域是0＜x＜10，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣2×42+20×4＝48，

即當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)，所截得的矩形的面積為48平方厘米．

7．問題探究

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，連接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四邊形ABCD＝72，求△ABC

的面積；

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問題解決

（2）如圖2，有一個(gè)菱形廣場(chǎng)ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，連接AC．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)這

個(gè)廣場(chǎng)進(jìn)行綠化．在△DMP和△DNP區(qū)域種植綠植，且滿足點(diǎn)P、M、N分別在AC、AB、CB

上，PM∥AD，PN∥CD，為了節(jié)省成本，要求種植綠植的區(qū)域面積盡可能的小，問△DMP與△

DNP的面積之和是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，

∵AD＝CD＝10，AC＝12，

∴AE＝EC＝6，

∴DE＝8，

∴S△ACD＝?AC?DE＝×12×8＝48，

∴S△ABC＝S四邊形ABCD﹣S△ACD＝72﹣48＝24．

（2）存在，理由如下：

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC＝30°，

∵PM∥AD，PN∥CD，

∴PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，且∠APM＝∠DAC＝30°，

∴S△AMP＝S△DMP，S△CPN＝S△DPN，四邊形MBNP是平行四邊形，

∵PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，

∴∠APM＝∠DAC＝30°，∠NPC＝∠DCA＝30°，

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∴△APM和△CPN是等腰三角形，

設(shè)AM＝a，米則PM＝BN＝a米，CN＝（60﹣a）米，

22

∴S△AMP＝?a?a＝a，S△CPN＝?（60﹣a）?（60﹣a）＝（60﹣a），

222

∴S△AMP+S△CPN＝a+（60﹣a）＝（a﹣30）+450，

∵＞0，

∴當(dāng)a＝30時(shí)，△AMP與△CNP的面積之和最小為450平方米．

∴當(dāng)a＝30時(shí)，△DMP與△DNP的面積之和最小為450平方米．

8．問題提出：（1）如圖①，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，D是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE?AB，

垂足為E，設(shè)線段AE的長(zhǎng)度為x，Rt△EBD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

問題解決：（2）某路口拐角處有一個(gè)五邊形空地，為方便市民出行的需要，市政局準(zhǔn)備在這片空

地上給廣大來往群眾搭建一個(gè)既能遮陽又能避雨的遮陽棚．經(jīng)過勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，在如圖②所示的五邊

形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根據(jù)該路

口的實(shí)際條件限制，需將遮陽棚形狀設(shè)計(jì)為三角形，且△FGH的頂點(diǎn)F、G、H分布在邊AB、

CD、DE上，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，DH＝DG，為進(jìn)一步提升市民的出行體驗(yàn)，想讓遮陽棚面積盡可

能大．請(qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的△FGH？若存在，求△FGH面積的最大值，若

不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）設(shè)線段AE的長(zhǎng)度為x，則BE＝1﹣x，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

在Rt△EBD中，tan60°＝，

∴，

第9頁共21頁.

∴DE＝（1﹣x），

∴Rt△EBD的面積為y＝BE?DE＝（1﹣x）?（1﹣x）＝x2﹣x+；

（2）存在，理由如下：

如圖2，過點(diǎn)B作BI⊥CD，過點(diǎn)F作FJ⊥CD，過點(diǎn)A作AK⊥CD，過點(diǎn)E作EL⊥CD，過點(diǎn)H

作HM⊥CD，過點(diǎn)B作BN⊥AK，

則四邊形AKLE是矩形，四邊形FJMH是直角梯形，

∵∠C＝∠D＝60°，且DE＝2AE＝8，

在Rt△ELD中，DL＝DE＝4，EL＝LD＝4，

設(shè)BC＝a，則AB＝a，

在Rt△BCI中，CI＝BC＝a，BI＝a，

在Rt△ABN中，AN＝AB＝a，

∴a+a＝4，

解得：a＝4，

∴BC＝4，AB＝4，CI＝2，IK＝BN＝6，

∴JD＝11，

設(shè)DG＝DH＝b，

∴△DGH是等邊三角形，

∴DM＝GM＝b，

∴S梯形FGMH＝（FJ+HM）?JM

＝（b+3）（11﹣b）

＝﹣b2+2b+，

第10頁共21頁.

2

S△HMG＝GM?HM＝×b×b＝b，

S△FJG＝JG?FJ＝×7×3＝，

22

∴S△FGH＝﹣b+2b+﹣b﹣

＝﹣b2+2b+6

＝﹣（b﹣4）2+10，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)b＝4時(shí)，S△FGH有最大值為10．

9．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AE→EC運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s，點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)同時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為S（cm2）．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)E

時(shí)，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝4cm，CE＝10cm；

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

【解答】解：（1）由題意得，

6×（12﹣t）＝24，解得t＝4，

∴AE＝PB＝t＝4cm，DE＝AD﹣AE＝8cm，

∴CE＝＝10（cm），

故答案為：4，10；

（2）分兩種情況：

第11頁共21頁.

①如圖1，

當(dāng)0≤t≤4時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F，

矩形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，

∴QF＝6，

∵BC＝12，PC＝t，

∴BP＝12﹣t，

∴S＝BP×QF＝（12﹣t）×6＝﹣3t+36；

②如圖2，

當(dāng)4＜t≤12時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥BC于點(diǎn)M，

∴∠QMC＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠D＝90°，

∴∠DEC＝∠QCM，∠D＝∠QMC，

∴△QMC∽△CDE，

∴，

∵CQ＝14﹣t，CD＝6，DE＝8，

∴QM＝（14﹣t），

∴S＝BP×QM＝×（12﹣t）×（14﹣t）＝t2﹣t+．

綜上，S＝．

10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以每秒5個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度沿折線BA﹣AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線BC﹣CA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

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點(diǎn)P，Q相遇時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為S．

（1）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t＝3秒；

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，

∴AB＝＝10，

∴5t+3t＝24，解得t＝3．

∴當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t＝3秒，

故答案為：3；

（2）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，當(dāng)2≤t＜時(shí)，

在△ABC中，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，

∴∠PHB＝∠C＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△PBH，

∴，

∵BP＝5t，AC＝6，AB＝10，

∴PH＝3t，

∵BQ＝3t，

∴S＝3t×3t＝t2；

當(dāng)2≤t＜時(shí)，如圖，

第13頁共21頁.

PC＝16﹣5t，

S＝PQ×PC＝3t×（16﹣5t）＝﹣t2+24t；

當(dāng)≤t≤3時(shí)，如圖，

PQ＝24﹣8t，

S＝．

綜上，S＝．

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的長(zhǎng)恰好為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，且AC﹣

BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．

（1）求a的值．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C的路線

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P速度變

為每秒3單位，同時(shí)點(diǎn)Q速度變?yōu)槊棵?個(gè)單位．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并

指出自變量t的取值范圍．

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【解答】解：（1）∵AC、BC的長(zhǎng)為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48；

（2）作PH⊥BC，垂足為H，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝＝10．

又∵D為AB的中點(diǎn)，

∴CD＝AB＝5．

當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)，由PH∥AC得＝，即＝，

解得PH＝（10﹣2t），

S＝×CQ×PH＝（6﹣2t）×（10﹣2t）＝1.6t2﹣12.8t+24，

當(dāng)2.5＜t≤3.5時(shí)，CQ＝1﹣（t﹣2.5），PD＝5﹣3（t﹣2.5），PH＝（12.5﹣3t），

得S＝1.2t2﹣t+．

12．問題探究

（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，點(diǎn)P為邊CD的中點(diǎn)，Q為邊AD上一點(diǎn)，

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且DP+DQ＝5，連接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面積；

問題解決

（2）為響應(yīng)市政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號(hào)召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊

形ABCD休閑廣場(chǎng)，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照規(guī)劃要求，點(diǎn)P、

Q分別在邊CD、AD上，滿足DP+DQ＝40米，連接BP、PQ、BQ，其中△PBQ為健身休閑區(qū)，

其他區(qū)域?yàn)榫坝^綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此

要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時(shí)DP的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，

延長(zhǎng)MP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，

在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P為邊CD的中點(diǎn)，

∴DP＝CP＝2，

∵DP+DQ＝5，

∴DQ＝3，

∴AQ＝1，

在Rt△ABE中，BE＝AB?sin60°＝2，

在Rt△CPN中，PN＝CP?sin60°＝，

在Rt△DPM中，PM＝DP?sin60°＝，

∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

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＝4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×

＝．

（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，

設(shè)DP＝x米，則CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，

∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

＝40×60﹣×40（20+x）﹣×60×（40﹣x）﹣x（40﹣x）

＝x2﹣10x+800

＝（x﹣10）2+750．

∴當(dāng)x＝10時(shí)，S△BPQ的最小值為750．

∴按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）存在最小面積，最小面積為750平方米，此時(shí)DP

的長(zhǎng)為10米．

13．問題提出：

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，點(diǎn)E在線段BC上，且

BE＝5，連接DE，作EF⊥DE，交AB于點(diǎn)F，求四邊形ADEF的面積；

問題解決：

（2）精密儀器廠要生產(chǎn)一種特殊的四邊形ABCD金屬部件，如圖②所示，部件要求是：BC＝4cm，

點(diǎn)D到BC的距離為5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生產(chǎn)這種金屬部件的材料每平方厘米

造價(jià)60元，在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，請(qǐng)你幫忙求出一個(gè)這種四

邊形金屬部件的最低造價(jià)．

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，

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∴四邊形ADHB是矩形，

∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝11，

∵BE＝5，

∴HE＝6，

∵∠B＝∠DEF＝90°，

∴∠BFE＝90°﹣∠BEF＝∠DEH，

又∵∠B＝∠DHE＝90°，

∴△BFE∽△HED，

∴＝，即＝，

∴BF＝，

∴S四邊形ADEF＝S四邊形ADHB﹣S△BFE﹣S△DHE

＝8×11﹣×5×﹣×6×8

＝，

答：四邊形ADEF的面積是；

（2）過點(diǎn)D作EF∥BC，過點(diǎn)A作EF的垂線交EF于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作

CF⊥EF于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D到BC的距離為5cm，

∴FC＝EH＝5cm，

同（1）可得△EDA∽△FCD，

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∴＝＝＝，

∴ED＝cm，

設(shè)AE＝xcm，則DF＝2xcm，HA＝（5﹣x）cm，HB＝ED+DF﹣BC＝+2x﹣4＝（2x﹣）cm，

∴S四邊形ABCD＝5×（+2x）﹣×5?2x﹣x×﹣×（5﹣x）?（2x﹣）

＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2+，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，S四邊形ABCD最小為，

∴四邊形金屬部件的最低造價(jià)為×60＝915（元），

答：這種四邊形金屬部件的造價(jià)最低是915元．

14．為了提高巴中市民的生活質(zhì)量，巴中市對(duì)老舊小區(qū)進(jìn)行了美化改造．如圖，在老舊小區(qū)改造中，

某小區(qū)決定用總長(zhǎng)27m的柵欄，再借助外墻圍成一個(gè)矩形綠化帶ABCD，中間用柵欄隔成兩個(gè)小

矩形，已知房屋外墻長(zhǎng)9m．

（1）當(dāng)AB長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶ABCD的面積為42m2？

（2）當(dāng)AB長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是多少？

【解答】解：（1）設(shè)AB長(zhǎng)為xm時(shí)，綠化帶ABCD的面積為42m2，

x（27﹣3x）＝42，

解得x1＝2，x2＝7，

當(dāng)x＝2時(shí)，27﹣3x＝21＞9，不合題意，舍去；

當(dāng)x＝7時(shí)，27﹣3x＝6，符合題意；

答：當(dāng)AB長(zhǎng)為7m時(shí)，綠化帶ABCD的面積為42m2；

（2）設(shè)綠化帶ABCD的面積為Sm2，AB長(zhǎng)為am，

S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，

∴該函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝，

∵，

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解得6≤a＜9，

∴當(dāng)a＝6時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝54，

答：當(dāng)AB長(zhǎng)為6m時(shí)，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是54m2．

15．如圖