2023-2024學年廣東省湛江市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省湛江市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.以2i?5的虛部為實部，以5i+2A.2?2i B.2+i C.?5+2.如圖，下邊長方體中由右邊的平面圖形圍成的是(

)A.B.

C.D.3.下列各組數(shù)的方差從小到大排序是(

)

(1)6，6，6，6，6，6，6，6，6；(2)5，5，5，6，6，6，7，7，7；

(3)4，4，5，5，6，7，7，8，8；(4)3，3，3，3，6，9，9，9，9．A.(1)(2)(3)(4) B.(4)(3)(2)(1) C.(3)(1)(2)(4) D.(2)(1)(3)(4)4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(

)A.7 B.6 C.5 D.35.已知點O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且|OA|=|OB|=|OC|，NA+NB+NC=0，PAA.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心6.在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點D，則向量BD在BA上的投影向量為(

)A.32BA B.34BA C.7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設事件A=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則A與B的關系是(

)A.互斥 B.互為對立 C.相互獨立 D.相等8.已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是(

)A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b?β

C.a//α，a//β D.a//α，a⊥β二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且ccosB+bcosC=a2，則下列說法正確的是A.a=2

B.若B+C=2A，則△ABC面積的最大值為34

C.△ABC不可能為銳角三角形

D.若O為△ABC10.已知a，b∈R，方程x2+ax?b=0有一個虛根為1+i，i為虛數(shù)單位，另一個虛根為z，則(

)A.該方程存在實數(shù)根 B.a=?2 C.z=1?i D.z11.已知一個不透明袋子中裝有大小、質(zhì)地完全一樣的1個白球、1個紅球、2個黑球，現(xiàn)從中依次不放回地隨機抽取2個小球，事件A=“取到紅球和黑球”，事件B=“第一次取到黑球”，事件C=“第二次取到黑球”，則下列結論正確的是(

)A.P(B)+P(C)=1 B.P(A+B)=56

C.P(BC)=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數(shù)z1=a+bi，z2=4+ai(a,b∈R)，若|z13.已知e1和e2是兩個不共線的向量，a=e1?2e2，b=214.如圖，透明塑料制成的長方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，有下面五個命題：

①有水的部分始終呈棱柱形；

②沒有水的部分始終呈棱柱形；

③水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

④棱A1D1始終與水面所在平面平行；

⑤四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F．

(1)求證：AE⊥平面PBC；

(2)設平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD．16.(本小題15分)

已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

(1)已知a=33,b=4,c=5，求BC邊上中線長．

(2)請用a，b，c表示BC17.(本小題15分)

為檢測同學體能，學校從高一年級隨機抽取了100名同學參加體能測試，并將成績分數(shù)分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計這100名同學體能成績分數(shù)的平均分和第66百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人進行成績分析，第二組同學成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組同學成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有同學成績的方差．18.(本小題17分)

Matlab是一種數(shù)學軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學習、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領域，推動了人類基礎教育和基礎科學的發(fā)展，某中學舉行了Matlab科普講座后進行了問答比賽，已知甲乙兩個同學互不影響地參加比賽，甲、乙答對每一道題的概率分別為12與p，乙連續(xù)2次答錯的概率為116．

(1)求乙答對題的概率；

(2)若甲、乙兩人各回答2次，求兩人共答對3次的概率．19.(本小題17分)

如圖1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°.過頂點C作對角線BD的垂線，交對角線BD于點O，交邊AD于點Q，現(xiàn)將△ABD沿BD翻折，形成四面體PBCD，如圖2．

(1)求四面體PBCD外接球的體積；

(2)求證：平面PBD⊥平面OCQ；

(3)若點G為棱BC的中點，請判斷在將△ABD沿BD翻折過程中，直線PG能否平行于面OCQ.若能請求出此時的二面角P?BD?C的大小；若不能，請說明理由．

答案解析1.A

【解析】解：2i?5的虛部為2，以5i+2i2=?2+5i的實部為?2，2.B

【解析】解：根據(jù)長方體的平面展開圖知，長方體中有4個面是陰影部分，兩個空白部分是相對部分，

剩余是4個陰影部分，所以圍成的長方體如圖所示：

故選：B．

3.A

【解析】解：根據(jù)方差的意義，方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，故可先求出各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

(1)組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為0；

(2)組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為23；

(3)組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為209；

(4)組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為8，

所以0<23<209<8，

4.A

【解析】解：設上底面半徑為r，

因為圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，

所以π(r+3r)l=84π，解得r=7，

所以圓臺較小底面的半徑為7．

故選：A．

5.C

【解析】證明：∵|OA|=|OB|=|OC|，

∴O到三角形三個頂點的距離相等，

∴O是三角形的外心，

根據(jù)所給的四個選項，第一個判斷為外心的只有C，D兩個選項，

∴只要判斷第三個條件可以得到三角形的什么心就可以，

∵PA?PB=PB?PC=PC?PA，

∴PB6.B

【解析】解：如圖，根據(jù)題意，∠B=30°，AD⊥BC，

∴BD在BA上的投影向量為：|BD|?cos30°?BA|BA7.C

【解析】解：由題可知，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，第一枚和第二枚出現(xiàn)點數(shù)的分類情況如下，

①(奇數(shù)，奇數(shù))，②(奇數(shù)，偶數(shù))，③(偶數(shù)，奇數(shù))，④(偶數(shù)，偶數(shù))，

事件A=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”={①,②}，

事件B=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”={②,④}，

兩個事件不相等，排除D，

A∩B≠?，所以不是互斥事件，排除A，B，

C選項，事件A=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，P(A)=36=12，

事件B=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，P(B)=36=12，

事件AB=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，P(AB)=3×336=148.D

【解析】解：A：由α⊥γ，β⊥γ，得α與β可能平行，∴A錯誤，

B：當α與β相交但不垂直時，也會有b⊥a，b?β，∴B錯誤，

C：當a/?/α，a/?/β時，α與β可能平行，∴C錯誤，

D：當a/?/α，a⊥β時，過直線a做平面與平面α交于直線b，∴a/?/b，又∵a⊥β，∴b⊥β，又∵b?α，∴α⊥β，∴D正確，

故選：D．

9.BD

【解析】解：對于A.∵ccosB+bcosC=a2，由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=sinA=asinA，

∵0<A<π，可得sinA>0，

∴a=1，故A錯誤；

對于B.若B+C=2A，且B+C+A=π，

∴A=π3，

由余弦定理得cosA=cosπ3=b2+c2?a22bc=b2+c2?12bc=12，

由b>0，c>0，可得b2+c2=bc+1≥2bc，當且僅當b=c時，等號成立，

∴bc≤1，

∴△ABC面積12bcsinA≤12×32=34，可得△ABC面積的最大值為34，故B正確；

對于C.若A=B=C，且a=110.BCD

【解析】解：a，b∈R，方程x2+ax?b=0有一個虛根為1+i，i為虛數(shù)單位，另一個虛根為z=1?i，所以C正確；

所以A不正確；

a=?[(1+i)+(1?i)]=?2，所以B正確；

z2024=(1?i)2024=[11.ACD

【解析】解：由題意可知，P(B)=P(C)=12，

則P(B)+P(C)=1，故A正確；

P(A)=14×23+12×13=13，P(AB)=24×13=16，12.(?4,4)

【解析】解：∵z1=a+bi，z2=?4+ai(a,b∈R)，且|z1|<|z2|，

∴a2+b13.?4

【解析】解：以e1和e2為基底，利用坐標表示a=e1?2e2=(1,?2)，b=2e1+ke2=(2,k)14.①②④⑤

【解析】解：∵棱柱特征：有兩個面是相互平行且是全等的多邊形，

其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形

∴通過棱柱特征，①②正確．

∵水面EFGH所在四邊形的面積，

從圖2，圖3我們發(fā)現(xiàn)，有條邊長不變，而另外一條長隨傾斜度變化而變化，

∴EFGH所在四邊形的面積是變化的．③不對

∵棱A1D1

始終與BC平行，BC與水面始終平行，∴④正確．

∵水的體積是不變的，高始終是BC也不變．底面也不會，即BE?BF是定值．

∴⑤正確．

所以正確的是：①②④⑤．15.證明：(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴BC⊥PA，

又∵PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

又∵AE?平面PAB，

∴AE⊥BC，

又AE⊥PB，PB∩BC=B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，

∴AE⊥平面PBC；

(2)∵PC?平面PBC，

∴AE⊥PC，

又AF⊥PC，AE∩AF=A，AE?平面AEF，AF?平面AEF，

∴PC⊥平面AEF，

∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，

∵PC⊥平面AEF，

∴PC⊥AG，

∴AG⊥平面PCD，

∴AG⊥PD．

【解析】(1)利用線面垂直的判定定理可證得BC⊥平面PAB，所以AE⊥BC，又因為AE⊥PB，從而證得AE⊥平面PBC；

(2)先證PC⊥平面AEF，所以可得PC⊥AG，再證CD⊥平面PAD，所以CD⊥AG，進而證得AG⊥平面PCD，16.解：(1)如圖所示，取BC中點為D，連接AD交BC于點D，

∵a=33，b=4，c=5，

∴cosB=a2+c2?b22ac=33+25?161033=73355，

又AD為BC邊的中線，

∴BD=a2=332，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=c2+(a2)【解析】(1)根據(jù)所給信息可求出cosB的值與BC半邊長的值，再利用余弦定理便可求得BC中線長；

(2)根據(jù)(1)，將所給條件代入到余弦公式中去，即可求解．

17.解：(1)由題意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得：a=0.005b=0.025，

則每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均數(shù)為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因為0.05+0.25=0.30<0.66，0.05+0.25+0.45=0.75>0.66，

設第66百分位數(shù)為x，則x∈[65,75)，

則0.30+(x?65)×0.045=0.66，解得：x=73，

故第66百分位數(shù)為73；

(2)設第二組、第四組同學成績的平均數(shù)與方差分別為x1?,x2?，s1，s2，

且兩組頻率之比為0.250.20=54，

所以第二組和第四組所有同學成績的平均數(shù)x?=5×62+4×80【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)并結合題意即可列方程求得a，b，然后利用平均數(shù)和百分位數(shù)的公式結合頻率分布直方圖即可求解；

(2)利用分層抽樣中平均數(shù)及方差的公式結合題意即可求解．

18.解：(1)設“甲答對每題的概率”為事件A，“乙答對每題的概率”為事件B，

由已知P(A)=12，P(B)=p，

則乙連續(xù)2次答錯的概率P=(1?p)2，

由題意得(1?p)2=116，解得p=34或(舍去)，

∴乙答對題的概率為34．

(2)事件甲、乙兩人各回答2次，兩人共答對3次，可表示為事件甲答對一次、乙2次全部答對，

與事件乙只答對一次、甲2次全部答對的和事件．

甲答對一次、乙2次全部答對的概率為2×12×(1?12)×(34)2【解析】(1)先計算“甲答對每題的概率”，“乙答對每題的概率”，再根據(jù)題意求乙答對題的概率即可