2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量m=(?3,2,4)，n=(1,?3,?2)，則|mA.22 B.8 C.3 2.直線2x+y+7=0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則a、b的值是(

)A.a=?7，b=?7 B.a=?7，b=?72

C.a=?72，b=7 3.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1A.16 B.56 C.764.方程x2+y2+ax?2by+c=0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a，b，A.4、2、4 B.?4、2、4 C.?4、2、?4 D.4、?2、?45.已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若a//α，a//b，則b//α B.若a//α，a//β，則α//β

C.若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β D.若a⊥α，b⊥α，則a//b6.若直線l1：ax+3y+1=0與直線l2：2x+(a+1)y+1=0互相平行，則a的值是(

)A.?3 B.2 C.?3或2 D.3或?27.一個封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài)).將容器放倒(如圖乙，一個側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時水面所在的平面與各棱交點E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為(

)

A.3 B.2 C.338.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤1，若將軍從點A(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為A.10?1 B.25?1 9.已知動直線l與圓O：x2+y2=16交于A、B兩點，且∠AOB=120°.若l與圓(x?2)2+A.1 B.2 C.3 D.410.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，曲線W的方程是x2+y2+|y|=1，P為W上的任意一點，給出下面四個命題：

①曲線W上的點關(guān)于x軸、y軸對稱；

②曲線W上兩點間的最大距離為22；

③|OP|的取值范圍為[12,1]；

A.①② B.①③ C.①④ D.③④二、填空題：本題共5小題，每小題6分，共30分。11.直線l：x+3y?1=0的傾斜角為______，經(jīng)過點(1,312.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為13.直線l過點(?4,0)且與圓(x+1)2+(y?2)2=9相切，那么直線14.設(shè)m∈R，過定點M的直線l1：x+my?3m?1=0與過定點N的直線l2：mx?y?3m+1=0相交于點P，則點M坐標(biāo)為______，|PM|+|PN|的最大值為______．15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，點P在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論：

①平面CMN截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；

②直線B三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC，AD⊥AB，AB=2，AD=2，BC=4，AA1=2，點E是DD1的中點，點F是平面B117.(本小題12分)

已知圓C過原點O和點A(1,3)，圓心在x軸上．

(1)求圓C的方程；

(2)直線l經(jīng)過點(1,1)，且l被圓C截得的弦長為6，求直線l的方程；

(3)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量OQ=OM+ON，求動點18.(本小題12分)

圖1是邊長為2的正方形ABCD，將△ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐P?ABC，且PB=2．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)棱PA上是否存在一點M，使得二面角M?BC?A的余弦值為539參考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.D

10.B

11.5π6

12.點A(A,B1,D113.x=4或5x+12y+20=0

14.(1,3)

4

15.①③

16.(1)證明：因為C1B1//A1D1，C1B1?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1，

所以則C1B1/?/平面ADD1A1，

又因為C1B1?平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，所以C1B1//EF，

所以EF//A1D1；

(2)因為BB1⊥平面A1B1C1D1，A1B1⊥A1D17.解：(1)已知圓C過原點O和點A(1,3)，圓心在x軸上，

設(shè)圓心為C(a,0)，由題意可得|OC|=|AC|，

則|a|=(a?1)2+(0?3)2，解得a=5，所以圓C的半徑為|a|=5，

故圓C的方程為(x?5)2+y2=25；

(2)直線l經(jīng)過點(1,1)，且l被圓C截得的弦長為6，

由題意可知，圓心C到直線l的距離為d=52?32=4，

當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，

此時，圓心C到直線l的距離為4，合乎題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?1)，即kx?y+1?k=0，

由題意可得|5k+1?k|k2+1=|4k+1|k2+1=4，解得k=158，

此時，直線l的方程為y?1=158(x?1)，即15x?8y?7=0；

綜上所述，直線l的方程為x=1或15x?8y?7=0；

(3)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量OQ=OM+ON，

設(shè)點18.(1)證明：在圖1中，連接BD，交AC于點O，

因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以AC⊥BD，AC=2，

在圖2中，有AC⊥PO，AC⊥BO，PO=BO=12AC=1，

因為PB=2，所以PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB，

又AC∩BO=O，PO∩AC=O，PO、AC?平面PAC，

所以PO⊥平面ABC，

因為PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．

(2)解：由(1)知，OB，OA，OP兩兩垂直，

故以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,1,0)，C(0,?1,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，

所以AP=(0,?1,1)，AB=(1,?1,0)，CB=(1,1,0)，

假設(shè)在棱PA上存在點M，滿足AM=λAP,λ∈[0,1]，使