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第1頁(yè)(共1頁(yè))2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題(解答題):四邊形(10題)一.解答題(共10小題)1.(2024?哈爾濱)四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.(1)如圖1,求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如圖2,AB=AC,CH⊥AD于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)E,連接AE,點(diǎn)G在AB上,連接EG交AC于點(diǎn)F,若∠FEC=75°,在不添加任何輔助線的情況下,直接寫(xiě)出四條與線段CE相等的線段(線段CE除外).2.(2024?湖南)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點(diǎn)E在邊AB上,.請(qǐng)從“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件,填在橫線上(填序號(hào)),再解決下列問(wèn)題:(1)求證:四邊形BCDE為平行四邊形;(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長(zhǎng).3.(2024?清水縣校級(jí)三模)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,且DE=12AC,連接AE(1)求證:四邊形OCED為矩形;(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BCD=60°,求AE的長(zhǎng).4.(2024?太原二模)已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接BE,DE,且BE=DE.求證:四邊形ABCD是菱形.5.(2024?大荔縣二模)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且AE=CF,連接ED,DF,以及BE,BF.求證:四邊形BEDF為菱形.6.(2024?建始縣一模)如圖,在△ABC中,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接EF,過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CD,與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接CE、BD.(1)求證:四邊形DBEC是平行四邊形.(2)若∠ABC=120°,AB=BC=4,則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:①當(dāng)BE=時(shí),四邊形BECD是矩形;②當(dāng)BE=時(shí),四邊形BECD是菱形.7.(2024?市南區(qū)校級(jí)三模)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=5,BD=2,求OE8.(2024?莒縣二模)在平行四邊形ABCD中,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD上且DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,AF平分∠DAB,求DF的長(zhǎng).9.(2024?仁壽縣模擬)問(wèn)題:如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為.探索:如圖②,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;應(yīng)用:如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長(zhǎng).10.(2024?武漢模擬)在正方形ABCD中,E為正方形內(nèi)部的一點(diǎn),AE=AB,連接BE.圖形介紹如圖1,若∠EAB=30°,連接CE、DE,求證:BE=CE;圖形研究將△ABE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△GFE,連接BG.(1)如圖2,連接CE、CF,若∠EAB=30°,∠CEF=60°,試判斷四邊形CBGF的形狀,并說(shuō)明理由;(2)如圖3,若點(diǎn)B在△AEG內(nèi)部且∠GEB=∠GAB,求∠BGA的度數(shù).
2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題(解答題):四邊形(10題)參考答案與試題解析一.解答題(共10小題)1.(2024?哈爾濱)四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.(1)如圖1,求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如圖2,AB=AC,CH⊥AD于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)E,連接AE,點(diǎn)G在AB上,連接EG交AC于點(diǎn)F,若∠FEC=75°,在不添加任何輔助線的情況下,直接寫(xiě)出四條與線段CE相等的線段(線段CE除外).【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).【專題】圖形的全等;等腰三角形與直角三角形;矩形菱形正方形;運(yùn)算能力;推理能力.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)與線段CE相等的線段有:AE,DE,AG,CF.理由見(jiàn)解析.【分析】(1)利用菱形的判定定理解答即可;(2)利用菱形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的三線合一的性質(zhì),等腰三角形的判定定理和等腰直角三角形的判定定理解答即可.【解答】(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△ADO和△CBO中,∠ADO=∴△ADO≌△CBO(AAS),∴OD=OB,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形;(2)解:與線段CE相等的線段有:AE,DE,AG,CF.理由:由(1)知:四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∵AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC,∴△ABC和△ADC為等邊三角形,∵CH⊥AD,∴AH=DH,即CH為AD的垂直平分線,∴AE=DE.同理:CE=AE,∴AE=DE=EC.∵△ADC為等邊三角形,CH⊥AD,∴∠ACH=12∠ACD=∵∠FEC=75°,∴∠EFC=180°﹣∠ACH=∠FEC=75°,∴∠EFC=∠FEC,∴CF=CE.∵△ABC和△ADC為等邊三角形,∴∠BAC=CAD=60°,∵CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30,∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ECA=120,∴∠AEG=∠AEC﹣∠FEC=45°,∴△AGE為等腰直角三角形,AE=AG,∴AG=EC.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),全是三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的三線合一的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2024?湖南)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點(diǎn)E在邊AB上,①或②.請(qǐng)從“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件,填在橫線上(填序號(hào)),再解決下列問(wèn)題:(1)求證:四邊形BCDE為平行四邊形;(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長(zhǎng).【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì);勾股定理.【專題】等腰三角形與直角三角形;多邊形與平行四邊形;運(yùn)算能力;推理能力.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】(1)證明BC∥DE或BE=CD,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論;(2)由平行四邊形的性質(zhì)得DE=BC=10,再由勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可.【解答】解:(1)選擇①或②,證明如下:選擇①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,∵AB∥CD,∴四邊形BCDE為平行四邊形;選擇②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,∵AB∥CD,∴四邊形BCDE為平行四邊形;故答案為:①或②;(2)由(1)可知,四邊形BCDE為平行四邊形,∴DE=BC=10,∵AD⊥AB,∴∠A=90°,∴AE=DE即線段AE的長(zhǎng)為6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理得知識(shí),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2024?清水縣校級(jí)三模)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,且DE=12AC,連接AE(1)求證:四邊形OCED為矩形;(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BCD=60°,求AE的長(zhǎng).【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).【專題】等腰三角形與直角三角形;多邊形與平行四邊形;矩形菱形正方形;運(yùn)算能力;推理能力.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】(1)先證四邊形OCED是平行四邊形,再由∠DOC=90°,即可得出結(jié)論;(2)證△BCD是等邊三角形,得BD=BC=4,再由勾股定理得OC,求得AC=2OC,然后由矩形的性質(zhì)得CE=OD=2,∠OCE=90°,最后由勾股定理即可得出答案.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=12∴∠DOC=90°,∵DE∥AC,DE=12∴DE=OC,DE∥OC,∴四邊形OCED是平行四邊形,又∵∠DOC=90°,∴平行四邊形OCED是矩形;(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD=4,OB=OD,AO=OC=12∵∠BCD=60°,∴△BCD是等邊三角形,∴BD=BC=4,∴OD=OB=2,∴OC=CD2∴AC=2OC=43,由(1)得:四邊形OCED為矩形,∴CE=OD=2,∠OCE=90°,在Rt△ACE中,由勾股定理得:AE=AC2即AE的長(zhǎng)為213.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì),證明四邊形OCED為矩形是解題的關(guān)鍵.4.(2024?太原二模)已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接BE,DE,且BE=DE.求證:四邊形ABCD是菱形.【考點(diǎn)】菱形的判定;等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).【專題】矩形菱形正方形;推理能力.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】證明△OBE≌△ODE(SSS),得出∠BOE=∠DOE,證出AC⊥BD,由菱形的判定可得出結(jié)論.【解答】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,又∵OE=OE,BE=DE,∴△OBE≌△ODE(SSS),∴∠BOE=∠DOE,∵∠BOE+∠DOE=180°,∴∠BOE=90°,∴AC⊥BD,∴平行四邊形ABCD是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定,等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.(2024?大荔縣二模)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且AE=CF,連接ED,DF,以及BE,BF.求證:四邊形BEDF為菱形.【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定.【專題】矩形菱形正方形;推理能力.【答案】見(jiàn)解答.【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O,由四邊形ABCD是正方形得OB=OD,OA=OC,由AE=CF得OE=OF,故四邊形BEDF是平行四邊形,再由對(duì)角線互相垂直即可.【解答】證明:如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是正方形∴OB=OD,OA=OC∵AE=CF∴OE=OF∴四邊形BEDF是平行四邊形∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD∴平行四邊形BEDF是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì),平行四邊形的判定,菱形的判定,掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵.6.(2024?建始縣一模)如圖,在△ABC中,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接EF,過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線CD,與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接CE、BD.(1)求證:四邊形DBEC是平行四邊形.(2)若∠ABC=120°,AB=BC=4,則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:①當(dāng)BE=2時(shí),四邊形BECD是矩形;②當(dāng)BE=4時(shí),四邊形BECD是菱形.【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì);菱形的判定.【專題】圖形的全等;等腰三角形與直角三角形;多邊形與平行四邊形;矩形菱形正方形;推理能力.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】(1)證△EBF≌△DCF(AAS),得DC=BE,再由DC∥AB,即可得出結(jié)論;(2)①由矩形的在得∠CEB=90°,再求出∠ECB=30°,則BE=12BC=②由菱形的性質(zhì)得BE=CE,再證△CBE是等邊三角形,即可得出BE=BC=4.【解答】(1)證明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF,∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),∴BF=CF,在△DCF和△EBF中,∠CDF=∴△EBF≌△DCF(AAS),∴DC=BE,又∵DC∥AB,∴四邊形BECD是平行四邊形;(2)解:①BE=2;∵四邊形BECD是矩形,∴∠CEB=90°,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°,∴∠ECB=30°,∴BE=12BC=故答案為:2;②BE=4,∵四邊形BECD是菱形,∴BE=CE,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°,∴△CBE是等邊三角形,∴BE=BC=4.故答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握矩形的判定與性質(zhì),證明∴△EBF≌△DCF是解題的關(guān)鍵.7.(2024?市南區(qū)校級(jí)三模)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=5,BD=2,求OE【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).【專題】矩形菱形正方形;推理能力.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】(1)先判斷出∠OAB=∠DCA,進(jìn)而判斷出∠DCA=∠DAC,得出CD=AD=AB,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出OE=OA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出OA,即可得出結(jié)論.【解答】(1)證明:∵AB∥DC,∴∠OAB=∠DCA,∵AC為∠DAB的平分線,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥DC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AD=AB,∴平行四邊形ABCD是菱形;(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,∵BD=2,∴OB=1在Rt△AOB中,AB=5,OB=1∴OA=A∴OE=OA=2.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì),掌握平行四邊形的判定和性質(zhì),角平分線的定義,勾股定理,判斷出CD=AD=AB是解答本題的關(guān)鍵.8.(2024?莒縣二模)在平行四邊形ABCD中,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD上且DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,AF平分∠DAB,求DF的長(zhǎng).【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).【專題】多邊形與平行四邊形;矩形菱形正方形;運(yùn)算能力;推理能力.【答案】(1)證明見(jiàn)解答;(2)DF的長(zhǎng)為5.【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得CD∥AB,所以DF∥BE,而DF=BE,則四邊形BFDE是平行四邊形,因?yàn)椤螧ED=90°,所以四邊形BFDE是矩形;(2)由CF=3,BF=4,∠BFC=90°,根據(jù)勾股定理求得BC=5,則AD=BC=5,再證明∠DAF=∠DFA,則DF=AD=5.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD∥AB,∵DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD上,∴DF∥BE,∵DF=BE,∴四邊形BFDE是平行四邊形,∵∠BED=90°,∴四邊形BFDE是矩形.(2)解:∵∠BFD=90°,CF=3,BF=4,∴∠BFC=90°,∴BC=CF∴AD=BC=5,∵AF平分∠DAB,∴∠DAF=∠BAF,∵∠DFA=∠BAF,∴∠DAF=∠DFA,∴DF=AD=5,∴DF的長(zhǎng)為5.【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí),證明DF∥BE且DF=BE是解題的關(guān)鍵.9.(2024?仁壽縣模擬)問(wèn)題:如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC=DC+CE.探索:如圖②,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;應(yīng)用:如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長(zhǎng).【考點(diǎn)】四邊形綜合題.【專題】幾何綜合題;圖形的全等;等腰三角形與直角三角形;推理能力.【答案】(1)BC=DC+EC;(2)BD2+CD2=2AD2,理由見(jiàn)解析;(3)6.【分析】(1)證明△BAD≌△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;(2)連接CE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可;(3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,使AE=AD,連接CE,DE,證明△BAD≌△CAE,得到BD=CE=9,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【解答】解:(1)BC=DC+EC,理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,∴BC=BD+CD=EC+CD,故答案為:BC=DC+EC;(2)BD2+CD2=2AD2,理由如下:連接CE,由(1)得,△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ACE=∠B,∴∠DCE=90°,∴CE2+CD2=ED2,在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2;(3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,使AE=AD,連接CE,DE,∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD與△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=9,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,∴∠EDC=90°,∴DE=CE2∵∠DAE=90°,∴AD=AE=22DE=【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.10.(2024?武漢模擬)在正方形ABCD中,E為正方形內(nèi)部的一點(diǎn),AE=AB,連接BE.圖形介紹如圖1,若∠EAB=30°,連接CE、DE,求證:BE=CE;圖形研究將△ABE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△GFE,連接BG.(1)如圖2,連接CE、CF,若∠EAB=30°,∠CEF=60°,試判斷四邊形CBGF的形狀,并說(shuō)明理由;(2)如圖3,若點(diǎn)B在△AEG內(nèi)部且∠GEB=∠GAB,求∠BGA的度數(shù).【考點(diǎn)】四邊形綜合題.【專題】圖形的全等;多邊形與平行四邊形;矩形菱形正方形;平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱;推理能力.【答案】圖形介紹:見(jiàn)解析過(guò)程;圖形研究:(1)四邊形CBGF是平行四邊形,理由見(jiàn)解析過(guò)程;(2)30°.【分析】圖形介紹:根據(jù)正方形的性質(zhì)找出相等的邊,再根據(jù)角度關(guān)系推出△ADE為等邊三角形,最后判定△ABE≌△DCE即可證明結(jié)論;圖形研究:(1)先推出BC=GF,再根據(jù)已知條件求出∠GEB的大小,判定△BCE≌△EGB后得到CF=BG,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判定結(jié)論;(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出各角之間的關(guān)系,求出∠GEB的度數(shù)后根據(jù)①的結(jié)論可以求出∠BGE的度數(shù),即可求出∠BGA的度數(shù).【解答】圖形介紹:證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°,∵∠EAB=30°,∴∠EAD=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴AE=AD=DE,∠ADE=30°,∴DE=CD,∠CDE=30°,又∵AE=CD,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE;圖形研究:(1)四邊形CBGF是平行四邊形,理由如下:由旋轉(zhuǎn)可知,AB=GF,AE=EG,BE=EF,∠EAB=∠EGF=30°,又∵BE=CE,∴CE=EF,又∵∠CEF=60°,∴△CEF是等邊三角形,又∵AB=BC,AB=GF,∴BC=GF=GE,在△ABE中,AB=AE,∠EAB=30°,∴∠ABE=∠AEB=75°,∴∠GEF=75°,∠CBE=15°,∵BE=CE,∴∠CBE=∠BCE=15°,∴∠CEB=150°,∴∠GEB=∠BEC﹣∠CEF﹣∠GEF=150°﹣60°﹣75°=15°,在△BCE與△EGB中,BE=EB∠CBE=∠GEB∴△BCE≌△EGB(SAS),∴CE=BG,∴CF=BG,在四邊形CBGF中,CF=BG,BC=GF,∴四邊形CBGF為平行四邊形;(2)解:在△ABE與△AEG中,∠EAB+∠AEB+∠ABE=180°,∠EAB+∠AEB+∠GEB+∠GAB+∠AGE=180°,又∵∠GEB=∠GAB,∴2∠GAB+∠AGE=∠ABE=75°,∵AE=EG,∴∠EAG=∠AGE,即∠GAB+30°=∠AGE,∴3∠GAB+30°=75°,∴∠GAB=∠GEB=15°,∵△BCE≌△EGB,△EGB為等腰三角形,∴∠BGE=15°,∴∠BGA=∠AGE﹣∠BGE=30°.【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題,主要考查正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn),深入理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)卡片1.全等三角形的判定與性質(zhì)(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.2.角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.注意:①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng);②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù),有時(shí)不必證明全等;③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線,有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言:如圖,∵C在∠AOB的平分線上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE3.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】(3)在①等腰;②底邊上的高;③底邊上的中線;④頂角平分線.以上四個(gè)元素中,從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件,就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.4.等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段.2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中,會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題,其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線,雖然“三線合一”,但添加輔助線時(shí),有時(shí)作哪條線都可以,有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同,需要具體問(wèn)題具體分析.3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決,但要注意糾正不顧條件,一概依賴全等三角形的思維定勢(shì),凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題,應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.5.等邊三角形的判定與性質(zhì)(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形,它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,同樣具備三線合一的性質(zhì),解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.(2)等邊三角形的特性如:三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.(3)等邊三角形判定最復(fù)雜,在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn),選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?,若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想法獲取一個(gè)60°的角判定.6.勾股定理(1)勾股定理:在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的變形有:a=c2-b2,b(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊.7.平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的概念:有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.(2)平行四邊形的性質(zhì):①邊:平行四邊形的對(duì)邊相等.②角:平行四邊形的對(duì)角相等.③對(duì)角線:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.(3)平行線間的距離處處相等.(4)平行四邊形的面積:①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.8.平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)角線互相平分及它的判定,是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法,若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等,可考慮
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