2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：銳角三角函數(shù)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：銳角三角函數(shù)（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?南通）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為m．2．（2024?茌平區(qū)一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為．3．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度為1：3，壩高BC＝3m，則AB的長(zhǎng)度為4．（2024?高新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知傳送帶AB與地面AC所成斜面坡度為i=1：2，如果它把物體送到離地面3米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為5．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是6．（2024?廣西三模）如圖，某小區(qū)物業(yè)想對(duì)小區(qū)內(nèi)的三角形廣場(chǎng)ABC進(jìn)行改造，已知AC與BC的夾角為120°，AC＝10m，BC＝14m，請(qǐng)你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場(chǎng)面積是m2（結(jié)果保留根號(hào)）．7．（2024?吉林二模）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合思想．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)線段CB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，可得∠D＝15°，所以∠CAD＝75°．利用此圖形可以得出tan75°=2+3．通過(guò)類(lèi)比這種方法，可以得出tan67.5°＝8．（2024?湖北模擬）學(xué)生甲在涼亭A處測(cè)得湖心島C在其南偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛300米到達(dá)涼亭B處，測(cè)得湖心島C在其南偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為．9．（2024?當(dāng)陽(yáng)市模擬）為了給山頂供水，決定在山腳A處開(kāi)始沿山坡AB鋪設(shè)水管．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角為18°，為使出水口高度為35m，那么需要準(zhǔn)備長(zhǎng)的水管．（結(jié)果保留整數(shù)）（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95°，tan18°≈0.32）10．（2024?八步區(qū)三模）如圖，某商場(chǎng)為了方便消費(fèi)者購(gòu)物，準(zhǔn)備將原來(lái)的階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡式自動(dòng)扶梯，原階梯式自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為a米，坡角∠ABD＝45°，已知改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB＝15°，改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的水平距離增加了BC的長(zhǎng)度且BC的長(zhǎng)度為20米，則a的值為．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos25°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：銳角三角函數(shù)（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?南通）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為63m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】63．【分析】依據(jù)題意，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系即可計(jì)算得解．【解答】解：由題意可得：BC＝6m，又tan60°=AC∴AC＝63m．故答案為：63．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．2．（2024?茌平區(qū)一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為12【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】12【分析】作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)等積法求出BD的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理及正切定義直接求解即可得到答案．【解答】解：作BD⊥AC于點(diǎn)D，由圖形可得，BC=32+12=10∴12解得：BD=2，CD=∴tan∠故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握三角函數(shù)，勾股定理是關(guān)鍵．3．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度為1：3，壩高BC＝3m，則AB的長(zhǎng)度為6m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】6m．【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理求出AB．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比為1：∴BCAC=1解得，AC=33由勾股定理得，AB=B故答案為：6m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．4．（2024?高新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知傳送帶AB與地面AC所成斜面坡度為i=1：2，如果它把物體送到離地面3米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為33【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】33．【分析】先根據(jù)坡度的概念求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AB．【解答】解：∵BC＝3米，斜坡AB的坡度是1：2，∴AC＝32米，∴AB=AC2則物體所經(jīng)過(guò)的路程為33米，故答案為：33．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．5．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，若|sinA-12|+（22-cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinA-12=0，22-cosB＝0，即sinA=12，cosB=【解答】解：∵|sinA-12|+（22-cosB）∴sinA-12=0，22-即sinA=12，cosB∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．6．（2024?廣西三模）如圖，某小區(qū)物業(yè)想對(duì)小區(qū)內(nèi)的三角形廣場(chǎng)ABC進(jìn)行改造，已知AC與BC的夾角為120°，AC＝10m，BC＝14m，請(qǐng)你幫助物業(yè)計(jì)算出需要改造的廣場(chǎng)面積是353m2（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，先利用平角定義可得∠ACD＝60°，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，從而利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°，在Rt△ACD中，AC＝10m，∴AD＝AC?sin60°＝10×32=53∵BC＝14m，∴△ABC的面積=12BC?AD=12×14×53=∴需要改造的廣場(chǎng)面積是353m2，故答案為：353【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024?吉林二模）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合思想．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)線段CB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，可得∠D＝15°，所以∠CAD＝75°．利用此圖形可以得出tan75°=2+3．通過(guò)類(lèi)比這種方法，可以得出tan67.5°＝2【考點(diǎn)】解直角三角形；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】2+1【分析】在Rt△ACB中，使得∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠D＝∠BAD＝22.5°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠CAD＝67.5°，最后設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD=2AC=2，從而可得CD=2+1，在【解答】解：如圖：在Rt△ACB中，使得∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，∵∠ABC是△ABD的一個(gè)外角，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°，∵BA＝BD，∴∠D＝∠BAD＝22.5°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝67.5°，設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD=2AC=∴CD＝BC+BD=2+在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan67.5°=CDAC故答案為：2+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2024?湖北模擬）學(xué)生甲在涼亭A處測(cè)得湖心島C在其南偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛300米到達(dá)涼亭B處，測(cè)得湖心島C在其南偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為(150+1503)【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】(150+1503【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)BC＝BD+CD，再分別利用正弦余弦三角函數(shù)求出BD和AD的值即可得到本題答案．【解答】解：點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由題意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，∴∠DAB＝60°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴CD＝AD；在△ABD中，AB＝300米，∴BD=ABsin60°AD=CD=ABcos60°∴CD＝AD＝150米，∵BC＝BD+CD，∴BC=BD+CD=(1503故答案為：(150+1503【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形方向角的應(yīng)用，關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．9．（2024?當(dāng)陽(yáng)市模擬）為了給山頂供水，決定在山腳A處開(kāi)始沿山坡AB鋪設(shè)水管．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角為18°，為使出水口高度為35m，那么需要準(zhǔn)備113長(zhǎng)的水管．（結(jié)果保留整數(shù)）（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95°，tan18°≈0.32）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】113．【分析】由題意得：∠ACB＝90°，∠A＝18°，BC＝35，根據(jù)正弦定義即可求解AB．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°，∠A＝18°，BC＝35，∴AB=BC故答案為：113．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解直角三角形ABC進(jìn)行求解即可．10．（2024?八步區(qū)三模）如圖，某商場(chǎng)為了方便消費(fèi)者購(gòu)物，準(zhǔn)備將原來(lái)的階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡式自動(dòng)扶梯，原階梯式自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為a米，坡角∠ABD＝45°，已知改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB＝15°，改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的水平距離增加了BC的長(zhǎng)度且BC的長(zhǎng)度為20米，則a的值為10.5米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos25°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】10.5米．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用a表示出AD、BD，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝a米，∠ABD＝45°，則AD＝BD=22AB=∵BC＝20米，∴CD＝（20+22在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，∵tan∠ACD=AD∴22a解得：a≈10.5，經(jīng)檢驗(yàn)：a≈10.5是原方程的解，故答案為：10.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．3．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類(lèi)型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．6．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°=12；cos30°=32；sin45°=22；cos45°=22；sin60°=32；cos60°=12；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA