2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：四邊形（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：四邊形（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，連接DG，∠CDG=14∠AOB，點(diǎn)E為DG的中點(diǎn)，連接OE交CD于點(diǎn)F，若AO＝6EF，DE=23，則DF的長(zhǎng)為2．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，∠AFE＝45°，則CF的長(zhǎng)是．3．（2024?蘭州）如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD＝4，則EF＝．4．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，CM平分∠DCE，過點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF＝1，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是．5．（2024?甘肅一模）已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E、F分別在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為．6．（2024?海安市二模）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l3，l4，l2，l1上．若直線l1∥l2∥l3∥l4且間距相等，AB＝4，BC＝3，則tanα的值為．7．（2024?山西模擬）如圖是一個(gè)風(fēng)車圖案，它由4個(gè)全等的平行四邊形葉片和1個(gè)正方形按如圖方式拼接而成，以正方形的中心為原點(diǎn)O，對(duì)角線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中一個(gè)平行四邊形葉片的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．8．（2024?東河區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F、G分別為AB、CD上的點(diǎn)，連接FG，CF，取CG、CF的中點(diǎn)M、N，連接MN，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若FG⊥AE，則MN的長(zhǎng)為．9．（2024?南明區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝10．（2024?鼓樓區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動(dòng)，∠ABC＝60°，則OC的最大值是．

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：四邊形（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，連接DG，∠CDG=14∠AOB，點(diǎn)E為DG的中點(diǎn)，連接OE交CD于點(diǎn)F，若AO＝6EF，DE=23，則DF的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】11．【分析】連接CE，設(shè)EF＝x，證△DOE∽△CEG，得出成比例線段，求出EF，即可．【解答】解：連接CE，設(shè)EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，則∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中點(diǎn)，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC=12∠COD=12∠AOB，EF∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG=14∠∴∠CEG=∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴DECG∵AO＝6EF＝OD，DE=23∴23∴EF＝1，∴DF=D【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．2．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，∠AFE＝45°，則CF的長(zhǎng)是3．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】3．【分析】作EG⊥AF于G，設(shè)AE＝x，解直角三角形得出AG=x2，EG=FG=3x2，從而推出AF=3+12x，作GH⊥BC于H，作GM⊥CD于M，延長(zhǎng)MG交AB于N，證明出四邊形GHCM為正方形，再證明△GFM∽△AFD，由相似三角形的性質(zhì)得出GMAD=MFDF=GFAF=【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，如圖：作EG⊥AF于G，則∠AGE＝∠EGF＝90°，設(shè)AE＝x，在Rt△AEG中，∠EAF＝60°，則AG=AE?cos60°在Rt△EGF，∠AFE＝45°，則EG=FG=3∴AF=AG+GF=x作GH⊥BC于H，作GM⊥CD于M，延長(zhǎng)MG交AB于N，則∠GHC＝∠C＝∠GMC＝90°，∴四邊形GHCM為矩形，∴∠MGH＝90°，∵∠EGH+∠HGF＝90°，∠MGF+∠HGF＝90°，∴∠EGH＝∠MGF，∵∠GHE＝∠GMF＝90°，EG＝FG，∴△EGH≌△FGM（AAS），∴GH＝GM，∴四邊形GHCM為正方形，∵∠FMG＝∠D＝90°，∠GFM＝∠AFD，∴△GFM∽△AFD，∴GMAD∴GM=6-∴GH=GM=6-同理可得：四邊形ANMD、BHGN為矩形，∴BN=GH=6-∴DM=AN=AB-∴MFMF+DM=3∴MF=6-∴CF=CD-故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．3．（2024?蘭州）如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD＝4，則EF＝2．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由等邊三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．【解答】解：∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF=12AE＝故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含有30°的直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，CM平分∠DCE，過點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF＝1，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是23．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】23．【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，由直角三角形的性質(zhì)得出DC＝2，求出OD的長(zhǎng)，則可得出答案．【解答】解：連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，∵CM平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∵DF＝1，∴DC＝2DF＝2，∴OC=12CD＝∴OD=C∴BD＝2OD＝23．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024?甘肅一模）已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E、F分別在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為5．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB＝AD，每一個(gè)角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，進(jìn)一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，從而知GH=12BF，利用勾股定理求出【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，∴GH=12∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6∴BF=BC∴GH＝5故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024?海安市二模）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l3，l4，l2，l1上．若直線l1∥l2∥l3∥l4且間距相等，AB＝4，BC＝3，則tanα的值為38【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；解直角三角形．【專題】推理填空題；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】38【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長(zhǎng)，再根據(jù)∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG＝∠α，從而可以得到tanα的值．【解答】解：作CF⊥l4于點(diǎn)F，交l3于點(diǎn)E，設(shè)CB交l3于點(diǎn)G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴CECF∵BC＝3，∴CG=3∴GB=3∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG=BG∴tanα的值為38故答案為：38【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2024?山西模擬）如圖是一個(gè)風(fēng)車圖案，它由4個(gè)全等的平行四邊形葉片和1個(gè)正方形按如圖方式拼接而成，以正方形的中心為原點(diǎn)O，對(duì)角線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中一個(gè)平行四邊形葉片的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)確定位置；全等圖形．【專題】平面直角坐標(biāo)系；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由正方形的性質(zhì)得OC＝OA＝OF＝1，則C（0，1），F(xiàn)（﹣1，0），所以HG＝BC＝2，由DF∥y軸，且DF＝HG＝2，得D（﹣1，﹣2），于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ACFG是正方形，A（1，0），B（0，3），∴OC＝OG=12CG，OA＝OF=12AF，且∴OC＝OA＝OF＝1，∴C（0，1），F(xiàn)（﹣1，0），∵圖中的四個(gè)平行四邊形全等，∴HG＝BC＝3﹣1＝2，∴DF∥y軸，且DF＝HG＝2，∴D（﹣1，﹣2），故答案為：（﹣1，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，正確地求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．（2024?東河區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F、G分別為AB、CD上的點(diǎn)，連接FG，CF，取CG、CF的中點(diǎn)M、N，連接MN，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若FG⊥AE，則MN的長(zhǎng)為5．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】5．【分析】解法一：過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，易得△ABE≌△GHF，所以GF＝AE＝25，再結(jié)合點(diǎn)M、N分別是線段CG、CF的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得答案．解法二：過點(diǎn)D作DH∥FG交AB于H，易證DHFG是平行四邊形，再證三角形ADH≌三角形ABE，根據(jù)三角形中位線定理可得結(jié)論．【解答】解法一：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，∴∠AHG＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∴∠BAD＝∠D＝∠AHG＝90°，∴四邊形AHGD是矩形，∴AD＝GH，∠GHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝4，∴∠GHF＝∠B＝90°，GH＝AD＝AB，∵GF⊥AE，∴∠AOF＝90°，∴∠AFO+∠OAF＝90°，∵∠OAF+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AFO，∴△ABE≌△GHF（AAS），∴FG＝AE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=12BC＝由勾股定理得：AE=42+∴FG＝AE＝25，∵CG、CF的中點(diǎn)M、N，∴MN是△CFG的中位線，∴MN=12FG解法二：過點(diǎn)D作DH∥FG交AB于H，易證DHFG是平行四邊形，∴DH＝FG，同理得：△ADH≌△ABE（AAS），∴AE＝FG＝DH＝25，最后同理得：MN=12FG故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024?南明區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝2-【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】2-2【分析】證明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，設(shè)BG＝a，則AE＝2a，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△BFG，∴AFBF∵AF＝2BF，∴AE＝2BG，設(shè)BG＝a，則AE＝2a，∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，∵AD∥CG，∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，∴CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=2∴a+2a+32=6∴a＝2-2∴GB＝2-2故答案為：2-2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用角平分線的定義和平行線得等腰是本題的關(guān)鍵．10．（2024?鼓樓區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動(dòng)，∠ABC＝60°，則OC的最大值是3+1【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】3+1【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接CE，OE，AC，先證明△ABC是等邊三角形，即可求出CE的長(zhǎng)，再在Rt△ABO中利用斜邊中線性質(zhì)求出OE，最后根據(jù)OE+CE≥OC確定當(dāng)C、O、E三點(diǎn)共線時(shí)OC最大，最大值為OC＝OE+CE．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，OE，AC，∵邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AB的中點(diǎn)E，∴BE=12BA=1，∴CE=B在Rt△ABO中，OE=1∴OC≤∴當(dāng)C、O、E三點(diǎn)共線時(shí)OC最大，最大值為3+1故答案為：3+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．坐標(biāo)確定位置平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（1）各象限內(nèi)點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標(biāo)軸上點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①x軸上：a為任意實(shí)數(shù)，b＝0；②y軸上：b為任意實(shí)數(shù)，a＝0；③坐標(biāo)原點(diǎn)：a＝0，b＝0．（3）兩坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．3．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．4．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號(hào)“全等”用符號(hào)“≌”表示．注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上．（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．6．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決．7．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．8．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．9．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．10．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．12．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=1213．平行四