2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：三角形（10題）

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：三角形（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2024?濱州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy，點A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是（）A．32 B．1 C．833 2．（2024?海南）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（0＜x＜90），另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝180+x B．y＝180﹣x C．y＝90+x D．y＝90﹣x3．（2024?開陽縣一模）如圖，MC是∠AMB的角平分線，P為MC上任意一點，PD⊥MA，垂足為點D，且PD＝3，則點P到射線MB的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．不能確定4．（2024?長春一模）三角形結(jié)構(gòu)在生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的斜拉索橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性 C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．三角形的內(nèi)角和等于180°5．（2024?宣城模擬）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1＝（）A．45° B．50° C．60° D．75°6．（2024?河口區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長是（）A．4 B．5 C．1 D．27．（2024?武威二模）如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，則∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．12∠8．（2024?東河區(qū)校級一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，將△ABC按如圖方式進(jìn)行折疊，使點A與BC邊上的點F重合，折痕分別與AC、AB交于點D、點E．下列結(jié)論：①∠3+∠B＝90°；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝∠2；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2024?古浪縣三模）如圖，△ABC≌△AED，點E在線段BC上，∠1＝40°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°10．（2024?望城區(qū)模擬）小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：三角形（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?濱州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy，點A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是（）A．32 B．1 C．833 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；垂線段最短．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】連接AF，以O(shè)A為邊作等邊△AOC，連接CF，則AO＝AC＝4，∠OAC＝60°，∠APF＝60°，AP＝FP，可得△APF是等邊三角形，可證明△AOP≌△ACF，從而得到∠AOP＝∠ACF＝90°，進(jìn)而得到點P在x軸上運(yùn)動時，點F在直線CF上運(yùn)動，作OF′⊥CF，交直線CF于點F′，OE⊥AC于點E，則∠AOE＝∠COE＝30°，即當(dāng)F在直線上運(yùn)動到點F′的位置時，線段OF取得最小值，即可求解．【解答】解：連接AF，以O(shè)A為邊作等邊△AOC，連接CF，則AO＝AC＝4，∠OAC＝60°，∠APF＝60°，AP＝FP，，∴△APF是等邊三角形，∴AF＝AP，∠PAF＝∠OAC＝60°，∴∠OAP＝∠CAF，在△AOP和△ACF中，AO=AC∠OAP=∠CAF∴△AOP≌△ACF（SAS），∴∠AOP＝∠ACF＝90°，∴點P在x軸上運(yùn)動時，點F在直線CF上運(yùn)動，作OF′⊥CF，交直線CF于點F′，OE⊥AC于點E，則∠AOE＝∠COE＝30°，即當(dāng)F在直線上運(yùn)動到點F′的位置時，線段OF取得最小值，∴AE=EC=1∵OF′⊥CF，∠ACF＝90°，OE⊥AC，∴四邊形OECF′是矩形，∴OF′＝EC＝2，即線段OF的最小值為2．故選：D．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2024?海南）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（0＜x＜90），另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝180+x B．y＝180﹣x C．y＝90+x D．y＝90﹣x【考點】直角三角形的性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到x+y＝90，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出x的范圍．【解答】解：在Rt△ABC中，已知其中一個銳角為y°，另一個銳角為x°，則x+y＝90，∴y＝90﹣x，由題意得：90﹣x≥x，解得：x≤45，∴y＝90﹣x（0＜x≤45），故選：D．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)自變量的取值范圍，熟記直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（2024?開陽縣一模）如圖，MC是∠AMB的角平分線，P為MC上任意一點，PD⊥MA，垂足為點D，且PD＝3，則點P到射線MB的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．不能確定【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等求解即可．【解答】解：如圖，過點P作PN⊥MB于點N，又∵M(jìn)C是∠AMB的角平分線，PD⊥MA，PD＝3，∴PD＝PN＝3，即點P到射線MB的距離是3，故選：C．【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2024?長春一模）三角形結(jié)構(gòu)在生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的斜拉索橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性 C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．三角形的內(nèi)角和等于180°【考點】三角形內(nèi)角和定理；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；三角形的穩(wěn)定性．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】由三角形的穩(wěn)定性，即可得到答案．【解答】解：斜拉索橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．故選：B．【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是掌握三角形的穩(wěn)定性．5．（2024?宣城模擬）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1＝（）A．45° B．50° C．60° D．75°【考點】三角形的外角性質(zhì)；垂線．【專題】三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】如圖（見解析），先根據(jù)三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根據(jù)角的和差可得∠3＝45°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【解答】解：如圖，由題意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，∵兩個三角板中有刻度的邊互相垂直，∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，故選：D．【點評】本題考查了三角板中的角度計算、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2024?河口區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長是（）A．4 B．5 C．1 D．2【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【答案】C【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定義得到一對角為直角，再由一對對頂角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得到一對角相等，再由一對直角相等，以及一對邊相等，利用AAS得到三角形AEH與三角形EBC全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE＝EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的長．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠BAD＝∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD=∠BCE∠AEH=∠BEC∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE＝EC＝4，則CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．故選：C．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2024?武威二模）如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，則∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．12∠【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ACB與∠DBE的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEB中，AC=BDAB=ED∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB＝∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，∠ACB=12∠故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．8．（2024?東河區(qū)校級一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，將△ABC按如圖方式進(jìn)行折疊，使點A與BC邊上的點F重合，折痕分別與AC、AB交于點D、點E．下列結(jié)論：①∠3+∠B＝90°；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝∠2；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】直角三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；平行線的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，由直角三角形的性質(zhì)得到∠A+∠B＝90°，推出∠3+∠B＝90°，由△ABC是等腰直角三角形，得到∠A＝45°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED＝180°﹣45°＝135°，得到∠EDF+∠DEF＝135°，于是得到∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED＝135°×2＝270°，因此∠1+∠2＝360°﹣（∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED）＝90°，由條件得不到∠1＝∠2，DF∥AB．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠3+∠B＝90°，故①符合題意；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDF+∠DEF＝∠ADE+∠AED＝135°，∴∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED＝135°×2＝270°，∵∠1＝180°﹣（∠ADE+∠EDF），∠2＝180°﹣（∠AED+∠DEF），∴∠1+∠2＝360°﹣（∠EDF+∠DEF+∠ADE+∠AED）＝90°，故②符合題意；由條件只能推出∠1+∠2＝90°，得不到∠1＝∠2，故③不符合題意；當(dāng)∠1＝∠A＝45°時，DF∥AB，但由條件求不出∠1＝45°，不能判定DF∥AB，故④不符合題意，∴其中一定正確的結(jié)論有2個．故選：B．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到：∠3＝∠A，∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF．9．（2024?古浪縣三模）如圖，△ABC≌△AED，點E在線段BC上，∠1＝40°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°【考點】全等三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等．【答案】A【分析】依據(jù)△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出∠AED的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B=180°-40°2∴∠AED＝70°，故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10．（2024?望城區(qū)模擬）小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C處接住小麗時，小麗距離地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m【考點】全等三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的全等；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出∠COE＝∠OBD，根據(jù)AAS可證明△COE≌△OBD，由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的長則可得出答案．【解答】解：由題意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODB∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分別為1.4m和1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），∵AD＝1m，∴AE＝AD+DE＝1.4（m），答：爸爸是在距離地面1.4m的地方接住小麗的．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，證明△COE≌△OBD是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．函數(shù)關(guān)系式用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y＝x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．2．線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．3．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．4．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．5．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．6．三角形的穩(wěn)定性當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實際生活中．7．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．8．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．9．全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．10．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．11．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短