初中幾何中線段和差的最大值與最小值典型分析-5.15

初中幾何中線段和（差）的最值問題淺析一、兩條線段和的最小值問題基本圖形解析：（對稱軸為：動點所在的直線上）一）、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：A’是關于A直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內側，一個點在外側：（3）兩個點都在內側：（4）、臺球兩次碰壁模型=1\*GB3①：已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.

=2\*GB3②：已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二）、一個動點，一個定點：（一）動點在直線上運動：點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）1、兩點在直線兩側：2、兩點在直線同側：（二）動點在圓上運動點B在⊙O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）1、點與圓在直線兩側：2、點與圓在直線同側：三）、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）點A、B在直線m同側：一、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1在銳角三角形中探求線段和的最小值例題1如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為

．分析：在這里，有兩個動點，所以在解答時，就不能用我們常用對稱點法．我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決．解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE．因為∠BAC的平分線交BC于點D，所以∠EAM=∠NAM，又因為AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因為BM+MN有最小值．當BE是點B到直線AC的距離時，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值例2如圖2所示，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,EM+CM的最小值為

.分析：要求線段和最小值，關鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段，后應用所學的知識求出這條線段的長度即可．解：因為等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點C與點B關于AD對稱，連接BE交AD于點M，這就是EM+CM最小時的位置，如圖2所示，因為CM=BM，所以EM+CM=BE，過點E作EF⊥BC，垂足為F，因為AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因為EC=4,∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因為BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1在直角梯形中探求線段和的最小值例3如圖3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點P是AB上一個動點，當PC＋PD的和最小時，PB的長為__________．分析：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法．解：如圖3所示，作點D關于直線AB的對稱點E，連接CE，交AB于點P，此時PC＋PD和最小，為線段CE．因為AD＝4，所以AE=4．因為∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因為∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因為AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因為AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值例4如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中點EF直線上的一點，則PA+PB的最小值為

．分析：根據等腰梯形的性質知道，點A的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點．其次運用好直角三角形的性質是解題的又一個關鍵．解：如圖4所示，因為點D關于直線EF的對稱點為A，連接BD，交EF于點P，此時PA＋PB和最小，為線段BD．過點D作DG⊥BC，垂足為G，因為四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因為∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因為AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值為．2.3在菱形中探求線段和的最小值例5如圖5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為

．分析：根據菱形的性質知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點．解：如圖5所示，因為點B關于直線AC的對稱點為D，連接DE，交AC于點P，此時PE＋PB和最小，為線段ED．因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形．因為E是AB的中點，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值為．2.4在正方形中探求線段和的最小值例6如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為

．分析：根據正方形的性質知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點．解：如圖6所示，因為點D關于直線AC的對稱點為B，連接BM，交AC于點N，此時DN＋MN和最小，為線段BM．因為四邊形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因為DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值為10.例7如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為

cm．（結果不取近似值）．分析：在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉化成使得PB+PQ的和最小問題．因為題目中有一個動點P，兩個定點B,Q符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可用對稱法．解:如圖7所示，根據正方形的性質知道點B與點D關于AC對稱，連接DQ，交AC于點P，連接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案為+1．

三、在圓背景下探求線段和的最小值例8如圖8，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為(

)(A)2

(B)

(C)1

(D)2分析：根據圓的對稱性，作出點A的對稱點D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度．解：如圖8，作出點A的對稱點D，連接DB，OB,OD．因為∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，所以弧AB的度數為30°，弧AB的度數為30°，弧AN的度數為60°．根據圓心角與圓周角的關系定理得到：∠BON＝30°．由垂徑定理得：弧DN的度數為60°．所以∠BOD＝∠BON+∠DON=30°+60°=90°.所以DB==.所以選擇B．四、在反比例函數圖象背景下探求線段和的最小值例9如圖9，正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.（1）求反比例函數的解析式；（2）如果B為反比例函數在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標為1，在x軸上求一點P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面積和交點坐標的意義，確定出點A的坐標是解題的第一個關鍵．要想確定出PA+PB的最小值，關鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學們可以聯想我們以前學過的對稱作圖問題，明白了最小的內涵，解題的過程就迎刃而解了．解：（1）設點A的坐標為（x，y），且點A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因為三角形OAM的面積為1，所以所以xy=2，所以反比例函數的解析式為y=．（2）因為y=x與y=相交于點A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因為x＞0，所以x=2，所以y=1，即點A的坐標為（2，1）．因為點B的橫坐標為1，且點B在反比例函數的圖像上，所以點B的縱坐標為2，所點B的坐標為（1，2），所以點B關于x軸的對稱點D的坐標為（1，-2）．設直線AD的解析式為y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函數的解析式為y=3x-5，當y=0時，x=，所以當點P在（，0）時，PA+PB的值最?。?/p>

五、在二次函數背景下探求線段和的最小值例10如圖10，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是.（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；分析：在這里△AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點，所以AO是一個定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉化成使得AC+CO的和最小問題．因為題目中有一個動點C，兩個定點A,O符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法．解：（1）由題意得:所以OB=2．因為點B在x軸的負半軸上，所以點B的坐標為（-2，）；（2）因為B(-2,0),O(0,0),所以設拋物線的解析式為：y=ax（x+2），將點A的坐標為（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函數的解析式為y=+x．（3）存在點C.如圖10，根據拋物線的性質知道點B與點O是對稱點，所以連接AB與拋物線的對稱軸x=-1交AC于C，此時△AOC的周長最小.設對稱軸與x軸的交點為E．過點A作AF垂直于x軸于點F，則BE=EO=EF=1.因為△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因為點C在第二象限，所以點C的坐標為（-1，）．六、在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值例11如圖11，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.分析：本題的最大亮點是將一個動點求最小值和兩個動點求最小值問題糅合在一起，并很好的運用到平面直角坐標系中．解：（1）如圖12，作點D關于x軸的對稱點，連接C與x軸交于點E，連接DE.若在邊OA上任取點（與點E不重合），連接C、D、.由D+C=+C＞C=D+CE=DE+CE，所以△的周長最小.因為在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D為OB的中點，所以BC=3，DO=O=2.所以點C的坐標為（3，4），點的坐標為（0，-2），設直線C的解析式為y=kx+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點E的坐標為（1，0）；（2）如圖13，作點D關于x軸的對稱點，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點E，在EA上截EF=2.因為GC∥EF，GC=EF，所以四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF.又DC、EF的長為定值，所以此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.因為在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D為OB的中點，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以點G的坐標為（1，4），點的坐標為（0，-2），設直線G的解析式為y=kx+b，則，解得k=6，b=-2，所以函數的解析式為y=6x-2，令y=0，則x=，所以點E的坐標為（，0）,所以點F的坐標為（+2，0）即F的坐標為（，0）二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：解析：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：解析：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’例題1如圖，拋物線y＝－eq\f(1,4)x2－x＋2的頂點為A，與y軸交于點B．(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PA－PB≤AB；(3)當PA－PB最大時，求點P的坐標.2.如圖，已知直線y＝x＋1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，B點坐標(1，0)．（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在x軸上移動，當是直角三角形時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM－MC|的值最大，求出點M的坐標．3、在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（－4，－1）和（－2，－5）；點P是y軸上的一個動點，⑴點P在何處時，PA＋PB的和為最??？并求最小值。⑵點P在何處時，∣PA—PB∣最大？并求最大值。4.如圖，直線y＝－eq\r(,3)x＋2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，⊙A經過點B和點O，直線BC交⊙A于點D．（1）求點D的坐標；（2）過O，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標．若不存在，請說明理由．6、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．

（1）試直接寫出點D的坐標；

（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．

①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO-TB|的值最大？三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯起來，再連接首尾端點，根據兩點之間線段最短以及點到線的距離垂線段最短的基本依據解決。1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C