2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知實(shí)數(shù)x，y，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】由充分必要條件的概念判斷，【詳解】由可得且，當(dāng)時(shí)，，故“”是“”的必要不充分條件，故選：A2．若是的充分不必要條件，則下列判斷正確的是（）A．是的必要不充分條件B．是的必要不充分條件C．是的必要不充分條件D．是的必要不充分條件【正確答案】C【難度】0.85【詳解】試題分析：由是的充分不必要條件可知.由互為逆否命題的等價(jià)性，可知.所以是的必要不充分條件.故選：C.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.3．已知枝玫瑰與枝康乃馨的價(jià)格之和大于元，而枝玫瑰與枝康乃馨的價(jià)格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的價(jià)格的比較結(jié)果是．A．枝玫瑰的價(jià)格高 B．枝康乃馨的價(jià)格高C．價(jià)格相同 D．不確定【正確答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【詳解】試題分析：設(shè)1枝玫瑰與1枝康乃馨的價(jià)格分別為元，則，因此，因此2枝玫瑰的價(jià)格高，選A.考點(diǎn)：不等式比較大小4．已知集合，，則（

）A．（－1，0） B． C． D．（0，1）【正確答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，，故.故選：B本題考查集合的運(yùn)算、一元二次不等式的解法，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.5．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有（）①②；③函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【正確答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、判斷全稱命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假【詳解】分別判斷出①②③的真假，即可得到結(jié)論.對(duì)于①②：用配方法證明；對(duì)應(yīng)③：由在定義域R上單調(diào)遞減直接判斷.【分析】對(duì)都成立，命題①正確；對(duì)都成立，命題②不正確；在定義域R上單調(diào)遞減，命題③不正確．所以真命題有1個(gè).故選：B6．已知集合，，則A． B． C． D．【正確答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，然后即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以故選：B本題考查的是集合的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.7．函數(shù)的最大值是：（

）A． B． C． D．【正確答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】函數(shù)式的分母是二次函數(shù)，求出分母的取值范圍后利用不等式的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，最大值為．故選：A.本題考查求函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)易得．8．下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【正確答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】空集的概念以及判斷、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】分析是否有元素在各選項(xiàng)的集合中，再作出判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，不是空集；B選項(xiàng)：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項(xiàng)：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D二、多選題9．已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為16C．的最小值為9 D．的最小值為2【正確答案】ABD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，A選項(xiàng)中由已知條件化為可求，B選項(xiàng)利用基本不等式可求最小值，C選項(xiàng)可求的最小值，再求的最小值，D選項(xiàng)把兩個(gè)變量化為一個(gè)變量求解即可.【詳解】A選項(xiàng)，由已知得，因?yàn)?，所?解得或，又，所以，故A正確.B選項(xiàng)，由已知得.故(當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立).所以，得，故B正確.C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C不正確.D選項(xiàng)，由已知得，因?yàn)?，所以，即，又，所?又，所以，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，故D正確.10．已知條件p：；條件q.若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】BC【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【分析】根據(jù)p是q的必要條件得出的取值，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】由，得或，由，得.因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，可知或，解得或.故選：BC.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．D．【正確答案】ACD【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】采用賦值法為突破口，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).【詳解】對(duì)A：令x=1，，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)B：令x=0得：，結(jié)合可得，所以fx對(duì)C：令可得：，因?yàn)?，所以，進(jìn)一步可得：，又，，故，故，依次有,所以，故C正確；對(duì)D：令可得：;用代替，得：，結(jié)合C的結(jié)果，可得：，故D正確.故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)睛：如何賦值是解決問題的關(guān)鍵.AB相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)C，令得到后進(jìn)一步可得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可求結(jié)果，對(duì)D，用和用代替，是解決問題的關(guān)鍵.12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，若，則有（

）A． B． C． D．【正確答案】AD【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】比較函數(shù)值的大小關(guān)系、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小即可.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，.故選：AD三、填空題13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【正確答案】44【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得.故44.14．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時(shí)，；③；【正確答案】（答案不唯一）；【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式、由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)即可寫出符合要求的解析式.【詳解】由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.故（答案不唯一）15．已知集合，，則.【正確答案】【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】利用集合的交運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，.故四、解答題16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，用分點(diǎn)，將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得和（）恒成立，則稱為上的有界變差函數(shù)．(1)函數(shù)在上是否為有界變差函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明：為上的有界變差函數(shù)；(3)若定義在上的函數(shù)滿足：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的時(shí)，．證明：為上的有界變差函數(shù)．【正確答案】(1)是有界變差函數(shù)，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義【分析】（1）利用函數(shù)在是增函數(shù)，去掉絕對(duì)值，將連和符號(hào)用函數(shù)值的和表示出來(lái)，求出值，取M大于等于此值，滿足有界變差函數(shù)的定義；（2）利用函數(shù)為減函數(shù)，將連和符號(hào)中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，將連和用函數(shù)值的差表示出，求出連和的值，將M取此值，滿足有界變差函數(shù)的定義；（3）利用已知不等式，將函數(shù)值差的連和表示成自變量差的連和，去掉絕對(duì)值，將連和寫成自變量差的和形式，求出連和的值，找到M，滿足有界變差函數(shù)的定義．【詳解】（1）在上是增函數(shù)，故對(duì)任意劃分，，取常數(shù)，則和式恒成立．故函數(shù)在是有界變差函數(shù)．（2）函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，任意的劃分，一定存在一個(gè)常數(shù)，使，故為上有界變差函數(shù)．（3），故對(duì)任意的劃分，，取常數(shù)，由有界變差函數(shù)定義知為有界變差函數(shù)．17．已知，，.(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的分布問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，由，所以不等式的解集為（2），該函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，不存在實(shí)數(shù)，使得成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然在上也單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故不存在，使得成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)也單調(diào)遞增，而，所以此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要想在有解，只需，或，而，因此，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要想在有解，只需，即，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、分類討論解絕對(duì)值不等式（1）分類討論，求解不等式即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立的問題，列出不等式組即可求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得；綜上所述，不等式的解集為.（2）不等式的解集包含，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，也等價(jià)于在區(qū)間恒成立.則只需滿足：且即可.即，解得.本題考查絕對(duì)值不等式的求解，以及二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立的問題，屬綜合基礎(chǔ)題.19．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式（1）直接利用換元法的應(yīng)用求出不等式的解集．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的證明過(guò)程，設(shè)任取．所以在上恒成立，則恒成立，參變分離即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得，令，則，即，即，則所求的不等式的解為.（2）任取，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則恒成立，即，，又，則，即對(duì)恒成立，又，即，則所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的解法及應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．20．對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍、絕對(duì)值的三角不等式應(yīng)用、函數(shù)綜合【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可證明；（2）根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的最值關(guān)系，即可求出結(jié)果；（3）去絕對(duì)值化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，取，因?yàn)槌闪?，求出的范圍，然后證明對(duì)任意的，恒成立，即可求出結(jié)論.【詳解】證明：（1）任取正常數(shù)，存在，所以，因?yàn)?，即不恒成立，所以不是“同比不減函數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“同比不減函數(shù)”，所以恒成立，即恒成立，對(duì)一切成立.所以.（3）設(shè)函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌闪?，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以有成?（Ⅱ）當(dāng)x∈?1,+∞因?yàn)椋?，即成?綜上，恒有有成立，所以的取值范圍是.本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查從特殊到一般的解決問題方法，屬于較難題.21．已知，，.（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）證明.【正確答案】（1）.（2）證明見解析.【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、分類討論解絕對(duì)值不等式、利用基本不等式證明不