高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

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準(zhǔn)則I(夾擠定理)

則

極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

這一節(jié)介紹極限存在的兩個(gè)充分條件,稱之為滿足:極限存在準(zhǔn)則,并用它們證明兩個(gè)重要的極限.證所以是無窮小，所以由有由有如果數(shù)列及滿足以下條件:則準(zhǔn)則I’(數(shù)列夾擠定理)

例2.21求為正整數(shù).

解有由夾擠定理，有練習(xí)

求

解由夾擠定理得例2.22求其中.

解有由夾擠定理，有練習(xí)證明

證則從而即故而所以第一個(gè)重要極限:證于是作單位圓O,作單位圓的切線AC,即由夾擠定理而再由夾擠定理第一個(gè)重要極限對(duì)于復(fù)合函數(shù)有其中的非零無窮小.同除以得上式對(duì)于也成立.解例2.23求下列極限:

單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿足:第二個(gè)重要極限:

我們利用不等式

從而該數(shù)列有極限.證明數(shù)列單調(diào)增加,并且有上界,(1)數(shù)列形式(2)函數(shù)形式解解例2.24求

例2.25求

解于是練習(xí)

求

令準(zhǔn)則II’

如果函數(shù)在開區(qū)間I

上單調(diào),例2.26求

則在I內(nèi)每一點(diǎn)的左、右極限都存在.由準(zhǔn)則II’,存在.所以令則所以*柯西極限存在準(zhǔn)則夾擠定理和單調(diào)有界數(shù)列必有極限都是數(shù)列

極限存在的充分條件,數(shù)列

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