工程力學I課件：簡單超靜定問題

簡單超靜定問題11.1超靜定結(jié)構的基本概念11.2拉壓超靜定問題11.3扭轉(zhuǎn)超靜定問題11.4超靜定梁11.5溫度應力和裝配應力未知力數(shù)3獨立平衡方程數(shù)3靜定問題未知力數(shù)4獨立平衡方程數(shù)3靜不定問題（超靜定）11.1超靜定結(jié)構的基本概念靜定結(jié)構：全部約束反力和內(nèi)力均可以通過靜力平衡方程求得的結(jié)構超靜定結(jié)構：若無法通過靜力平衡方程求出全部約束反力或內(nèi)力的結(jié)構，稱之為11.1超靜定結(jié)構的基本概念雖然在工程實際中，很多復雜結(jié)構的約束反力或內(nèi)力都是無法通過靜力平衡方程直接求得的，如何求解是屬于結(jié)構力學或彈性力學的內(nèi)容，但是一些簡單問題我們依然可以通過已有的材料力學知識加以解決。外力超靜定結(jié)構支座反力不能全部由靜力平衡方程求出內(nèi)力超靜定結(jié)構結(jié)構內(nèi)力不能全部由靜力平衡方程求出混合超靜定結(jié)構結(jié)構內(nèi)力不能全部由靜力平衡方程求出一、靜不定結(jié)構的分類二、超靜定次數(shù)在靜定結(jié)構上增加的約束稱為多余約束，相應的約束力稱為多余約束力。為了提高安全度或者是增加結(jié)構剛性等，往往需要增加一些額外的約束，這些約束雖然被稱為“多余”，但是在工程意義上并非多余。超靜定結(jié)構的內(nèi)外約束力總數(shù)或者內(nèi)力數(shù)與可列的獨立靜力平衡方程的個數(shù)的差值稱為超靜定次數(shù)。由于存在多余約束力，可列的獨立靜力平衡方程個數(shù)要少于未知量的個數(shù)。為求解全部的未知量，還需要建立與超靜定次數(shù)相等數(shù)量的補充方程，11.2拉壓超靜定問題如圖示的三桿桁架，設桿1和桿2的橫截面積、桿長、材料均相同，即A1=A2，l1=l2，E1=E2，桿3的橫截面積和彈性模量分別為A3和E3，分析在垂直作用載荷F下各桿的軸力。1.靜力分析研究A,受力分析,列出平衡方程：存在三個未知力和兩個獨立的平衡方程，因此是一

次超靜定，需要建立一個補充方程。2.幾何分析三桿原交于點A，受力作用后，由于結(jié)構對稱、剛度對稱、受力對稱，節(jié)點A只能沿垂直方向發(fā)生位移?？紤]結(jié)構只發(fā)生非常微小的變形，即小變形假設，可以認為桿3的軸向變形桿1和桿2的變形為采用了“以弦代弧”的近似方法。三桿變形后交于一點A'，因此必須滿足以下關系：變形協(xié)調(diào)關系3.物理關系變形協(xié)調(diào)關系三桿均處于彈性范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律，各桿的軸力與其變形之間存在以下關系：

得到以軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程，即補充方程為：(11-7)(11-1)

(11-2)

(11-9)(11-8)為什么剛度越大的桿件所受的力越大？4.求解一般求解拉壓超靜定問題的基本步驟如下：1)列出靜力學平衡方程；2)根據(jù)變形與約束應相互協(xié)調(diào)的要求列出變形幾何方程；3)列出物理關系，通常是胡克定律；4)由2)、3)兩項得到補充方程；5)聯(lián)立求解平衡方程和補充方程，得到問題的解答。例11-1如圖所示的結(jié)構，設橫梁AB為剛性桿（沒有變形，只存在有剛體位移），桿1、2的橫截面積相等，均為A，材料相同，彈性模量均為E，試求桿1，2的內(nèi)力。解：（1）靜力平衡方程本問題有4個未知量，只能列3個獨立平衡方程，是一次超靜定問題。剛性桿：在力作用下，桿既不伸長也不縮短，如果原來是直線還保持直線。（2）形協(xié)調(diào)關系桿軸線處于AB'，且為直線，桿1的變形根據(jù)“以弦代弧”的方法，桿2的變形由變形幾何關系，又因為桿1、2的變形關系：(3)物理關系由胡克定律代入式(d)，得

由式(e)和式(a)解出將上述結(jié)果代入式(b)、(c)可解出A

處的約束反力。11.3扭轉(zhuǎn)超靜定問題例題11-2如圖所示圓軸，AC段為實心圓截面，直徑，CB段為空心圓截面，內(nèi)徑。軸兩端A、B為固定端，已知材料的剪切模量，求軸兩端的約束力偶矩的大小

在實心和空心交界截面C處受外力偶扭轉(zhuǎn)超靜定問題限制扭轉(zhuǎn)角，因此變形協(xié)調(diào)關系是建立在求扭轉(zhuǎn)角的基礎上；(1)靜力平衡方程去掉軸兩端的約束，代之以待求的約束反力偶MA和MB，如圖(b)?？纱笾碌玫捷S的扭矩圖如圖(c)，且解：1個平衡方程，未知約束力個數(shù)為2,

2-1=1，超靜定次數(shù)為1次?？傻闷胶夥匠虨?2)變形協(xié)調(diào)關系解：由于軸兩端A、B固定，因此A、B的相對扭轉(zhuǎn)角即變形協(xié)調(diào)條件為

(3)物理關系根據(jù)相對扭轉(zhuǎn)角代入(b)式得代入數(shù)據(jù)得

解得

(4)聯(lián)合求解根據(jù)式(a)聯(lián)立(e)、(f)兩式，解得11.4超靜定梁

在工程中有大量超靜定梁結(jié)構，例如多跨連續(xù)橋梁，水利工程中的鋼閘門的主梁都可以視為多跨連續(xù)梁，這些都屬于多次超靜定結(jié)構。

在結(jié)構力學中有專門的章節(jié)講述多跨連續(xù)梁的求解方法，比如力法、位移法、三彎矩方程等，通過已有的一些結(jié)構力學求解器，也可以很方便地直接求出多跨連續(xù)梁的剪力圖和彎矩圖。

在本節(jié)，我們僅介紹可以用已有的材料力學知識解決的簡單超靜定梁問題。對于超靜定梁的求解，除應建立平衡方程以外，還需要利用變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移之間的物理關系，建立補充方程。這是一個一次超靜定梁問題，設想去掉多余約束支座B，相應地在B處施加多余約束力FB，系統(tǒng)的受力不變，如圖(b)所示，此時系統(tǒng)變?yōu)殪o定結(jié)構，此靜定結(jié)構稱為原超靜定結(jié)構的相當系統(tǒng)。在圖(b)中由于載荷q單獨引起的點B的撓度由于集中力FB單獨引起的B的撓度根據(jù)疊加原理，有

求解，得到多余束力

截面A的束力FB、MA可由靜力平衡方程計算得到，進而可以畫出梁的剪力圖和彎矩圖、計算應力、撓度，進行強度和剛度分析。考慮原系統(tǒng)支座B處撓度必定為零，即變形協(xié)調(diào)條件若以圖(c)所示的簡支梁為該結(jié)構的相當系統(tǒng)，則對應的變形協(xié)調(diào)條件為。

例題11-3圖示的雙跨簡支梁，受到集中力F作用，求約束反力，并畫出剪力圖和彎矩圖，設梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：(1)相當系統(tǒng)解除約束B，代之以多余未知力，得到相當系統(tǒng)，如圖11-7(b)。(2)靜力平衡方程研究梁，受力分析列出平衡方程在集中力F、FB單獨作用時，截面B的撓度根據(jù)表10-1，分別有(3)變形協(xié)調(diào)條件

原系統(tǒng)中支座B沒有垂直方向的位移,因此有根據(jù)疊加原理即

（4）繪出梁的剪力圖、彎矩圖

11.5溫度應力和裝配應力當溫度變化時，桿件的變形為材料的熱膨脹系數(shù)，其單位為；是桿件的長度。一、溫度應力1、溫度變形計算由于溫度變化引起的桿件內(nèi)部的應力稱為溫度應力。靜定結(jié)構由于可以自由變形，因此，當溫度均勻變化時，不會引起構件的內(nèi)力。超靜定結(jié)構的熱變形由于受到部分或全部約束，不能自由變形，往往就要引起內(nèi)力。2、溫度應力1）拆除約束B，溫度變形為2）桿件因為FB作用發(fā)生的變形為3）實際上，桿件長度不變，必有變形協(xié)調(diào)方程溫度應力彈性模量碳鋼的在我國大部分地區(qū)，一年中的最高溫度和最低溫度大約相差30以上，按照式11-17，超靜定結(jié)構中的碳鋼構件由于溫度變化引起的應力變化可達到75MPa！在日常生活中，為了避免過高的溫度應力，我們通常在管道中增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫，以保證削弱對膨脹自由變形的約束，從而降低溫度應力。二、裝配應力如圖桿件名義長度l

,加工誤差為

，桿件的實際長度為l

，要將桿件裝進距離為l固定支座間，必然要把桿件拉長才能裝進去，這將引起桿件內(nèi)的拉應力，這種應力稱為裝配應力。裝配后，內(nèi)力引起的變形與加工誤差相抵消，可得：工程中有時會有意制造這種加工誤差，使桿件在實際受工作載荷之前內(nèi)部事先存在一定的應力，這種應力常常被稱為預應力。加工誤差將引起桿件內(nèi)的拉應力相互抵消桿件環(huán)境溫度將升高，會引起壓應力不利強度安全有利強度安全`在機械、建筑工程中，為了增強連接的可靠性和緊密性，在受到工作載荷之前，預先增加一部分力，使得構件先發(fā)生一定的變形，使其內(nèi)部產(chǎn)生一定的應力，從而防止結(jié)構在受到工作載荷后連接件間出現(xiàn)縫隙或者相對滑移，這種預先增加的力，我們稱為預緊力。其對構件產(chǎn)生的應力實際上就是裝配應力。我國古代建筑工匠中流傳這樣一句俗話：“緊車鉚子邋遢房，桌子板凳手摁上”也是指在工作中容易松動連接部位應該施加預緊力。例題11-4吊橋鏈條的一節(jié)由三根長l的鋼桿組成，簡化為如圖所示的超靜定結(jié)構，兩端約束視為不變形的剛體，若三桿的橫截