2025年高考一輪復習 專題26 雙曲線（思維導圖+知識清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專題26雙曲線目錄01思維導圖02知識清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一.雙曲線的定義平面內與兩個定點F1，F2的距離差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.(1)若a<c，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；(3)若a>c，則集合P為空集.二．雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性質圖形焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b；實半軸長：a，虛半軸長：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c關系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).四．直線與雙曲線的位置關系和弦長1.判斷直線與雙曲線交點個數的方法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關于x或y的一元二次方程．當二次項系數等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數不等于0時，用判別式Δ來判定．2.弦長公式設直線y＝kx＋b與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).溫馨提示：一．求標準方程1.定義法：根據雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置，求出雙曲線方程，即“先定型，再定量”2.待定系數法：先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據條件求解．3.常用設法：①與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線的方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．二.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法1.直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.3.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.4.雙曲線的漸近線的相關結論(1)若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于虛半軸長b.(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝±eq\f(b,a)x的斜率k與離心率e的關系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).三.圓錐曲線的焦點三角形的相關結論(1)焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①當P為短軸端點時，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.③焦點三角形的周長為2(a＋c).(2)若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.雙曲線是高考考查的重點和熱點，其中雙曲線的方程、漸近線與離心率等幾何性質常以選擇題、填空題形式出現；直線與雙曲線的綜合問題定點、定值問題等常常以解答題形式出現。題型一雙曲線的定義及應用例1（1）．已知定點，動點滿足，則動點的軌跡為（

）A．雙曲線的上支 B．雙曲線的下支C．雙曲線的左支 D．軸負半軸上的射線答案A分析根據題意，得到，結合雙曲線的定義，即可得到答案.解析由定點且在y軸上，可得，因為，即，根據雙曲線的定義得，點的軌跡為雙曲線的上支.故選：A.（2）．設，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16答案B分析根據雙曲線的定義及等邊三角形的性質計算可得.解析對于雙曲線，則，根據雙曲線定義有，又，，故．故選：B

方法歸納：在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系．題型二雙曲線的標準方程過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．答案D分析求出橢圓的焦點可得雙曲線的焦點，結合雙曲線經過點，可求得雙曲線方程.解析由，得，所以焦點在y軸上，且．設雙曲線的方程為，所以解得，，所以雙曲線的方程為．故選：D．方法歸納：求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據條件求λ的值．題型三雙曲線的幾何性質命題點1漸近線例34．已知雙曲線：（，）的右焦點為，左、右頂點分別為，，點在上且軸，直線，與軸分別交于點，，若（為坐標原點），則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．答案C分析由題意求出直線和直線的方程，分別令，可求出，結合代入化簡即可得出答案.解析由題意知，因為軸，所以令，可得，解得：，設，直線的斜率為：，所以直線的方程為：，令可得，所以，直線的斜率為：所以直線的方程為：，令可得，所以，由可得，解得：,所以，解得：，即所以的漸近線方程為，故選：C.方法歸納：(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關系式e2＝1＋k2.命題點2離心率例4．已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，為漸近線上一動點，且在第一象限內，為坐標原點，當最大時，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．答案D分析設出點的坐標，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后結合基本不等式求出取得最大值時的條件，