2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專題26 雙曲線（七大題型+模擬精練）（解析版）

專題26雙曲線（七大題型+模擬精練）目錄：01雙曲線的的定義02雙曲線的的標(biāo)準(zhǔn)方程03雙曲線的的頂點(diǎn)，虛、實(shí)軸，漸近線方程等04雙曲線的的離心率05等軸雙曲線06雙曲線的應(yīng)用07解答綜合題01雙曲線的的定義1．設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【分析】先求出，然后根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合可求得.【解析】雙曲線的，由雙曲線的定義可得．因?yàn)?，所以，得?7，若，則在右支上，應(yīng)有，不成立；若，則在左支上，應(yīng)有，成立．故選：B．2．若點(diǎn)P是雙曲線C：上一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【答案】D【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.【解析】，當(dāng)點(diǎn)在左支時(shí)，的最小值為，當(dāng)點(diǎn)在右支時(shí)，的最小值為，因?yàn)?，則點(diǎn)在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義，解得；當(dāng)，點(diǎn)在左支時(shí)，；在右支時(shí)，；推不出；故為充分不必要條件，故選：D.3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過F1的弦AB的長(zhǎng)為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)是（）A．16 B．18 C．21 D．26【答案】D【分析】如圖，根據(jù)題意和雙曲線的定義直接得出結(jié)果.【解析】如圖所示，由雙曲線的定義知，，(1)，(2)又，(3)所以由(1)，(2)，(3)得，故的周長(zhǎng)為.故選：D.4．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則與的周長(zhǎng)之差為（）A．8 B．16 C．或8 D．或16【答案】D【分析】將雙曲線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，根據(jù)雙曲線的定義得出結(jié)論.【解析】的方程可化為，所以，易知與周長(zhǎng)差的絕對(duì)值為，故與的周長(zhǎng)之差為或16.故選：D.02雙曲線的的標(biāo)準(zhǔn)方程5．已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【解析】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為在縱軸上，所以，且雙曲線C方程滿足，故，則C的方程為．故選：D．6．若曲線表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到不等式，求出答案.【解析】根據(jù)題意，若曲線表示雙曲線，則有，解得.故選：C7．若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【解析】由題可得，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.03雙曲線的的頂點(diǎn)，虛、實(shí)軸，漸近線方程等8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的方程可求得，計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【解析】由雙曲線，可得，所以，所以雙曲線的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；虛軸長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；離心率，故D正確.故選：D.9．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知先求得參數(shù)，進(jìn)一步即可得解.【解析】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.10．已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)焦距可求，從而可求漸近線的方程.【解析】因?yàn)榻咕酁?，故，故，故故漸近線方程為，故選：C.11．已知雙曲線的焦距為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，，由，解得，可得，求出漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到．【解析】由題意可得，，焦點(diǎn)為，則，解得，又，則雙曲線的漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為．故選：B．12．已知雙曲線：與：，則（

）A．與的實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．與的漸近線相同C．與的焦距相等 D．與的離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出兩條雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，漸近線方程及離心率即可判斷得解.【解析】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，漸近線方程為，離心率，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，漸近線方程為，離心率，因此與的焦距都是，只有C正確，ABD錯(cuò)誤.故選：C13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為D．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】A【分析】根據(jù)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可知漸近線方程，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線方程，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【解析】由直線過點(diǎn)，得，，所以，又直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，，可得，雙曲線方程為，當(dāng)直線與雙曲線漸近線不平行時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線，得，，即，又，則，無解，所以雙曲線方程為，A選項(xiàng)正確；離心率，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；實(shí)軸長(zhǎng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.04雙曲線的的離心率14．雙曲線的一條漸近線為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.【解析】由雙曲線方程易知C的漸近線為，所以，則.故選：C15．設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得橢圓的離心率，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率，可求的值.【解析】由橢圓，可得，所以，所以橢圓的離心率，又，所以雙曲線的離心率為，又雙曲線，所以，所以，解得.故選：B.16．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程及離心率公式可得解.【解析】雙曲線的漸近線方程為，又漸近線過點(diǎn)，即，則，所以離心率，故選：A.17．已知雙曲線方程為，，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線上任意一點(diǎn)，若A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度是8，則雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】分析可知，即可得，，進(jìn)而可得離心率.【解析】由題意可知：、分別為、的中點(diǎn)，則，即半焦距，由方程可知：，則，所以離心率.故選：B.18．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，再根據(jù)雙曲線的定義求出，從而求出離心率.【解析】設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，，又，所以雙曲線的離心率.故選：A05等軸雙曲線19．已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為，，由得，則，，不妨假設(shè)，則，由圖象的對(duì)稱性可知，可化為，即，解得，故雙曲線方程為：，故選：C20．已知雙曲線，點(diǎn)、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【分析】首先根據(jù)定義得到，再結(jié)合勾股定理求出，最后平方即可求解.【解析】雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由定義知①，又因?yàn)?，由勾股定理可知，②，①式平方得③，?lián)立②③得，則，則.故答案為：21．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．若，且的面積為2，則的焦距為．【答案】【分析】由題意可知雙曲線為等軸雙曲線，四邊形為矩形，設(shè)雙曲線的半焦距為，利用雙曲線的定義和勾股定理，及的面積為2，求出與的值即可得雙曲線的焦距.【解析】雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的半焦距為，則由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，，不妨設(shè)點(diǎn)在的右支上，，則，所以，得，所以，得，又，所以的焦距為．故答案為：．22．已知反比例函數(shù)的圖象是以軸與軸為漸近線的等軸雙曲線.設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)、是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).則直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為；【答案】【分析】設(shè)直線與交點(diǎn)為，通過和可構(gòu)造等式，將代入等式且進(jìn)行消即可求解【解析】由題意可得雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，，因?yàn)辄c(diǎn)、是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則且，設(shè)直線與交點(diǎn)為，，且，，所以，①，，且，，所以，②，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，且，將代入①式化簡(jiǎn)可得③，將代入②式化簡(jiǎn)可得④，③式與④式相乘可得，可得，因此，軌跡的方程為.故答案為：06雙曲線的應(yīng)用23．阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，利用雙曲線的定義、勾股定理可得方程，解得，進(jìn)而得出結(jié)論．【解析】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.24．在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時(shí)（其中為入射點(diǎn)），的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，結(jié)合雙曲線的定義和勾股定理求出m，即可求解.【解析】因?yàn)椋?，得，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則．所以，解得或（舍去）．所以．故選：D．25．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)、的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒：若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出橢圓方程和雙曲線方程，由橢圓定義和雙曲線定義得到相關(guān)方程，求出的周長(zhǎng)和的周長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)題意得到方程，求出，得到答案.【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，由圖①可得，其中，故上面兩式相減得，由圖②可得，故，由題意得，即，即，解得，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為.故選：C07解答綜合題26．求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知橢圓與圓，雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓相切，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，得到雙曲線的焦點(diǎn)，然后，列出的相關(guān)方程進(jìn)行求解即可.【解析】（1）對(duì)雙曲線：，其左頂點(diǎn)為.對(duì)拋物線，焦點(diǎn)為，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，.如圖：直線與圓：相切，設(shè)直線的傾斜角為，則.所以對(duì)雙曲線焦點(diǎn)在軸上，且.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.27．已知雙曲線的焦距為為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)到漸近線的距離為4．(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)23【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程得到，根據(jù)焦距得到，然后根據(jù)得到即可得到雙曲線的方程；（2）根據(jù)雙曲線的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可.【解析】（1）的一條漸近線的方程為，即，點(diǎn)Fc,0到的距離，又因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的方程為．（2）記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為．故的最小值為．28．已知在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：過和兩點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，為雙曲線上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且為圓的一條非直徑的弦，記斜率為，斜率為，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線上兩點(diǎn)，代入方程解方程組即可得解；（2）利用“點(diǎn)差法”可得直線斜率與斜率關(guān)系，再由圓的性質(zhì)可得斜率的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得證.【解析】（1）代入雙曲線上兩點(diǎn)得，，故，解得，，故雙曲線C標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖，設(shè)，，由題知，相減得，又，所以，由為圓的一條非直徑的弦，為中點(diǎn)得，故，因此為定值.一、單選題1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）以為漸近線的雙曲線可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個(gè)選項(xiàng)的漸近線方程，即可求解.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由得漸近線方程為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由得漸近線方程為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由得漸近線方程為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由得漸近線方程為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程解得，再由離心率公式求解即可.【解析】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為()，即,所以漸近線的斜率為，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求出，在和中，求出，利用余弦相反構(gòu)造的齊次式，即可得解.【解析】，點(diǎn)到漸近線的距離為，即，因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理得?在中，由余弦定理得：.因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所?故選：D4．（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式、焦點(diǎn)、漸近線以及的關(guān)系即可求解.【解析】由對(duì)稱性，不妨設(shè)，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.5．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.【解析】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內(nèi)切，則，，可得；綜上所述：，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：B.6．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過的直線與軸和的右支分別交于點(diǎn)，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算可得.【解析】對(duì)于雙曲線，則，根據(jù)雙曲線定義有，又，，故．故選：B

7．（2024·河南·二模）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過作圓：的切線，切點(diǎn)為，該切線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，則，，由，得，，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在漸近線上求解即可．【解析】如圖，連接，則，，

，為的中點(diǎn)，，，，設(shè),，，，，點(diǎn)在漸近線上，，離心率．故選：B．8．（2024·福建泉州·二模）雙曲線，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．存在直線l，使得B．當(dāng)且僅當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，C．存在過的直線l，使得取到最大值D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為【答案】D【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)A項(xiàng)判斷；設(shè)直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出和坐標(biāo)，從而可對(duì)B、C項(xiàng)判斷；根據(jù)，求出，從而可對(duì)D項(xiàng)判斷.【解析】解：對(duì)于A項(xiàng)：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，其中，設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系得：，所以線段PQ中點(diǎn)，將直線，與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)S坐標(biāo)為，將直線與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)R坐標(biāo)為，所以線段RS中點(diǎn)，所以線段PQ與線段RS的中點(diǎn)重合．所以，對(duì)任意的直線l，都有，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)k越來越接近漸近線的斜率時(shí)，趨向于無窮，所以會(huì)趨向于無窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線l與漸近線，解得，聯(lián)立直線l與漸近線，解得由題可知，，，解得，所以，故D項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、多選題9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點(diǎn) B．焦距 C．離心率 D．漸近線【答案】CD【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷即可；【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B：設(shè)，易知的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，而的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，顯然和的焦點(diǎn)和焦距均不相同，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.10．（2024·河北保定·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．的離心率為 D．直線的斜率為【答案】ACD【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A，B選項(xiàng)；再結(jié)合勾股定理可以求得的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率.【解析】如圖，由，可設(shè)，.因?yàn)?，所?設(shè)，，則，，，解得，則，，所以，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，由，得，則，從而的離心率為，故C選項(xiàng)正確.又，所以直線的斜率為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．（2025·安徽·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【分析】根據(jù)基本量運(yùn)算直接得出離心率判斷A，結(jié)合雙曲線定義判斷B,結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)判斷C，結(jié)合定義及余弦定理計(jì)算可得離心率判斷D.【解析】對(duì)于A，雙曲線漸近線的夾角為，則或者故或．對(duì)于B，設(shè)，則．故，解得．又，故．對(duì)于C，令圓切分別為點(diǎn)，則，，令點(diǎn)，而，因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，那么，在中，在中，，漸近線的斜率為．因?yàn)榫谟抑?，故．如圖所求，．對(duì)于D，，故，而．故，由余弦定理可知，故．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.根據(jù)幾何性質(zhì)確定的橫坐標(biāo)都是，2.設(shè)傾斜角為，將表示為的三角函數(shù).三、填空題12．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)條件及離心率的定義，得到，即可求解.【解析】因?yàn)?，即，解得，所以的虛軸長(zhǎng)為，故答案為：.13．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則b＝.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，，根據(jù)題意，列出方程求解即可.【解析】如圖所示，因?yàn)閽佄锞€所以，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線，所以，因?yàn)?，所以即，化?jiǎn)得，又因?yàn)?，?lián)立解得故答案為：.14．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)相同，分別為，，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，與的離心率分別為，．則，的取值范圍是．【答案】【分析】利用橢圓以及雙曲線定義聯(lián)立方程組可得，因此可求得；求出的表達(dá)式再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.【解析】如下圖所示：

根據(jù)橢圓定義以及雙曲線定義可得，解得；顯然，可得；又且，其中；可得，所以，即；所以．令，則．因?yàn)?，所以．又，所以有，所以有；又，所以有，所以有，所以可得．設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．即可得的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解橢圓以及雙曲線離心率問題時(shí)，最容易忽略利用它們的定義來求得線段長(zhǎng)度表達(dá)式，再進(jìn)行相關(guān)問題求解.四、解答題15．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程即可求解；（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，解得：；又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，Qx由題可得過點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以16．（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或．【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，，把點(diǎn)代入，即可得出答案．（2）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的方程為，即．（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面積為，所以，解得，所以，所以直線的方程為或．17．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線的斜率為．(1)求的方程．(2)若動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，且，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由漸近線的斜率設(shè)，再將代入求解即可；（2）分兩種情況證明，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及得出，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則由等面積法即可證明；當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)直線的斜率為1，分別求出，即可證明．【解析】（1）由題可設(shè)雙曲線的方程為．因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)，由，消去得，則，即，設(shè)Ax1,因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則由等面積法得，所以，又，所以；若直線的斜率不存在，則直線的斜率為，不妨設(shè)直線的斜率為1，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，所以，所以．綜上，為定值．18．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，等軸雙曲線和的中心均為O，焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，焦距之比為2，的右焦點(diǎn)F到的漸近線的距離為2．(1)求，的方程；(2)過F的直線交于A，B兩點(diǎn)，交于D，E兩點(diǎn)，與的方向相同．（?。┳C明：；（ⅱ）求面積的最小值．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)雙曲線特征