第20講 共線向量問題（解析版）

一．解答題（共18小題）1．已知直線l:y=kx+1，橢圓E:(Ⅰ)若不論k取何值，直線l與橢圓E恒有公共點(diǎn)，試求出m的取值范圍及橢圓離心率e關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；求橢圓E的方程.【解答】解：(Ⅰ):直線l恒過定點(diǎn)M(0,1)，且直線l與橢圓E恒有公共點(diǎn)，:點(diǎn)M(0,1)在橢圓E上或其內(nèi)部，得（聯(lián)立方程組，用判別式法也可）當(dāng)m>3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，e=x2:M(0,1)，:由AM=2MB得x1=-2x2③.將③④代入②得，-2，解得m2=6(m2=-15不合題意，舍去）.:橢圓E的方程為=112分）2．已知直線l:y=kx+1(k≠0)與橢圓3x2+y2=a(a>0)相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記直線l與y軸的交點(diǎn)為C.【解答】解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y(I)聯(lián)立{22得：4-x2|直線l:y=kx+1(k≠0)與y軸的交點(diǎn)為C(0,1)，AC=(-x1，1-y1)，CB=(x2，y2--x2|4k4k2162)22 3．已知直線l:y=kx+1(k≠0)與橢圓3x2+y2=a相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記l與y軸【解答】解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，-x2|1-y1)=2(x2，y2-1)，解得x1=-2x2，代入上式得：xx2=-x2當(dāng)且僅當(dāng)k2=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x2=，x1x2=-2x=-2× 所以，ΔAOB面積的最大值為，此時(shí)橢圓的方程為3x2+y2=5.4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1(-·,0),A2(√2,0),P(x,y),M(x,1),N(x,-2)，若實(shí)數(shù)λ使得λ2（1）求P點(diǎn)的軌跡方程，并討論P(yáng)點(diǎn)的軌跡類型；若過點(diǎn)B(0,2)的直線l與（1）中P點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)(E在B，F(xiàn)之間試求ΔOBE與OBF面積之比的取值范圍.【解答】解1）OM=(x,【解答】解1）OM=(x,1),ON=(x,-2),A1P=(x+·2,y),A2P=(x-·2,y)」λ2-P:(x2-2)λ2=x2-2+y2化簡(jiǎn)得：(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2)①λ=±1時(shí)方程為y=0軌跡為一條直線②λ=0時(shí)方程為x2+y2=2軌跡為圓③λ∈(-1，0)(0，1)時(shí)方程為軌跡為橢圓:SΔOBE:SΔOBF=|x1|:|x2|5．如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0)構(gòu)成ΔMAB，且上MBA=2上MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.的取值范圍.【解答】解：(Ⅰ)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，顯然有x>0，且y≠0化簡(jiǎn)可得3x2-y2-3=0而點(diǎn)(2,±3)在曲線3x2-y2-3=0上綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1)；:①有兩根且均在(1,+∞)內(nèi)設(shè)f(x)=x2-4mx+m2+3，:{f(1)=1-4m+m2+2-4(m2+3)l設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，:|PQ|<|PR|，:xR=2m+·3(m2-6．如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)構(gòu)成ΔMAB，且直線MA、MB的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.求的取值范圍.:直線MA、MB的斜率之積為4，:4x2-y2-4=0綜上點(diǎn)M的軌跡方程為可得3x22mxm24=0①當(dāng)1或1是方程①的根時(shí)，m的(xR，yR)，:|PQ|<|PR|，::m>0且m≠17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(一1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于一2，記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E.(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+2(0<k<2)與y軸相交于點(diǎn)P，與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)Q，R（點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間且求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.且AC，BC所在直線的斜率之積等于一2，化簡(jiǎn)得曲線E的方程為：2x2+y2=2(y≠0)；與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)Q，R（點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間設(shè)Q(x1，y1)，R(x2，y2)又0<k<2，:2<k2<:x1=λx2…③由①②得(1+λ)x2=22，λx22=結(jié)合②得→實(shí)數(shù)λ的取值范圍.:點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間，:λ>1綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍：(1,3)8．已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.λλμ【解答】解：(Ⅰ):拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，:4=2p，解得p=2，聯(lián)立方程組可得1，消y可得k2x2+x+1=0，又:PA、PB要與y軸相交，:直線l不能經(jīng)過點(diǎn)(1,一2)，即k≠一3，(Ⅱ)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,yM)，N(0,yN)， 2x1x2=2，:為定值.9．如圖，已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.（1）求直線l的斜率的取值范圍；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.,,求證：λ+μ為定值.【解答】解1）拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，:4=2p，解得p=2，聯(lián)立方程組可得，（2）證明：設(shè)點(diǎn)M(0,yM)，N(0,yN)，λ(1yM)，故同理，即有λ+μ為定值.10．已知點(diǎn)P(1,2)在拋物線C:y2=2px上，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.（1）求直線l的斜率的取值范圍；λλμλμ若不是，求1+1的取值范圍λμ.【解答】解1）因點(diǎn)P(1,2)在拋物線C:y2=2px上，則22=2p.1，解得p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x.令直線l的斜率為k，則直線l方程為：y=kx+1，直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，則2一4k2>0，解得k<1且k≠0，否則PA或PB之一平行于y軸，矛盾，因此k≠一3，（2）設(shè)點(diǎn)M(0,yM)，N(0,yN)，QM=(0,yM一1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x22λμ1—yM1—yN2y12y2(2y1)(2y2)2λμ11．已知ΘM:2+y2=，直線l:x=，動(dòng)圓N與ΘM相外切，且與直線l相切．設(shè)動(dòng)圓圓心N的軌跡為C，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.（1）求直線l的斜率的取值范圍；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N，QM=λλμ整理可得：y2=4x；所以曲線C的方程為：y2=4x；由題意可得直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)同理可得N的坐標(biāo)λ-可得μ=1yN，λ=1yM，所以所以為定值2.12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓其中，,其中λ為正常數(shù)．當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的.（1）求橢圓E的離心率；（2）求a與b的值；（3）當(dāng)λ變化時(shí)，kAB是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22，（2）因?yàn)镃(a,0)，λ=，將它代入到橢圓方程中，（3）解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，又橢圓的方程為所以由2 +4y2，（3）解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，1ly1由AP=1ly1+λx3=1+λ1+λ,將A，B坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，即3(x1+x2)+4(y1+y2)kAB=0，?（14分）同理，3(x3+x4)+4(y3+y4)kCD=0，而kAB=kCD，所以3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0，所以3λ(x3+x4)+4λ(y3+y4)kAB=0，所以3(x1+λx3+x2+λx4)+4(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，即6(1+λ)+8(1+λ)k=0，所以kAB=-為定值.?（16分） 13．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，過F作x軸的垂線交x22雙曲線4-y=1的兩條漸近線于E，G，得到三角形OEG的面積為1x22（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P，M，N的三個(gè)點(diǎn)都在橢圓C上，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，且PO=2OQ，試判斷的面積是否為定值，并說(shuō)明理由. 【解答】解1）因?yàn)闄E圓的離心率為，，雙曲線-y2=1的兩條漸近線的方程為y=±,設(shè)FG=t，則OF=2t，因?yàn)槿切蜲EG的面積為1，所以.2t.2t=1，所以2，c=OF=2t=所以橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，所以Q(1,0)，此時(shí)MN的方程為x=1；或Q(1,0)，此時(shí)MN的方程為x=1.所以ΔPMN的面積為.|MN|.|PQ|= 36由橢圓軸對(duì)稱性得：當(dāng)MN的方程為x=1時(shí)，ΔPMN362②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN方程為y=kx+m，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，;1l1ly12,2m2)，x2因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以代入橢圓整理得滿足△>0，因而m與k滿足的等式關(guān)系為x2因?yàn)棣MN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以ΔPMN的面積為ΔOMN的面積的3倍，設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)D，則D(0,m).36關(guān)系式（1）代入得S=362 綜合①②得，ΔPMN的面積為定值.14．雙曲線，已知Q是雙曲線E上一點(diǎn)，A、B分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn)，直線QA，QB的斜率之積為1. (Ⅱ)若雙曲線E的焦距為22，直線過點(diǎn)P(2,0)且與雙曲線E交于M、N兩點(diǎn)，若MP=3PN，求直線l2可得(1k2)x2+4k2x14k2=0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x222)，②15．已知圓O:x2+y2=2，過點(diǎn)A(1,1)的直線交圓O所得的弦長(zhǎng)為，且與x軸的交點(diǎn)為雙曲線E:=1的右焦點(diǎn)F(c，0)(c>2)，雙曲線E的離（1）求雙曲線E的方程；過點(diǎn)P作動(dòng)直線l交雙曲線右支于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q異于M，N，且在線段MN上運(yùn)動(dòng)，并滿足關(guān)系=，試證明點(diǎn)Q恒在一條直線上.圓心O到直線的距離為，解得2a2設(shè)過點(diǎn)P(4，5)作動(dòng)直線l交雙曲線右支于M(x1，y1)、N(x2，y2)兩點(diǎn)，3點(diǎn)Q(x,y)，|PN||ON|:設(shè)=λ,則x11λ31+λ1λ1+λ1λ1+λ3x，1λ.1+λ=y，則x1λx2.x11λ1+λ3x，1λ.1+λ=y，即x4y=4，16．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知P丄P，|PF|，O為坐標(biāo)原點(diǎn).2PP2PP(Ⅲ)若過點(diǎn)Q(m，0)(m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且M--=λ-(λ為非零常數(shù)問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使F丄(GMλGN)？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. PF1丄PF2:(4a)2+(2a)2=(2c)2:e=·5OP=4，:x1x2=4，代入E化簡(jiǎn)x1x2=a2，:a2=2(III)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G(t,0)使F使F設(shè)l:x=ky+m，M(x3，y3)，N(x4λλGN=(x3tλx4+λt,y3λy4),F1F2=(2·10,0)F丄(GMλGN)x3tλx4+λt=0k(y3λy4)+(1λ)m+(λ1)t=0（3）由MQ=λQN:y3+λy4=0:y3