2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.4棱錐與棱臺教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE7-11．1.4棱錐與棱臺[課程目標]1.了解棱錐的定義，駕馭棱錐的結構特征；2.了解棱臺的定義，駕馭棱臺的結構特征以及棱錐、棱臺之間的關系．學問點一棱錐[填一填](1)有一個面是多邊形，且其余各面都是有一個公共頂點的三角形，則稱這個多面體為棱錐．(2)棱錐中，是多邊形的那個面稱為棱錐的底面，有公共頂點的各三角形稱為棱錐的側面，各側面的公共頂點稱為棱錐的頂點；相鄰兩側面的公共邊稱為棱錐的側棱．(3)棱錐可以按底面的形態(tài)分類，例如底面是三角形、四邊形、五邊形的棱錐，可分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐．(4)棱錐可以用頂點與底面各頂點的字母來表示．(5)過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段(或它的長度)稱為棱錐的高．棱錐全部側面的面積之和稱為棱錐的側面積．(6)假如棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．正棱錐的側面都全等，而且都是等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高也都相等，稱為棱錐的斜高．[答一答]1．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？為什么？提示：不肯定，推斷一個幾何體是否是棱錐，關鍵是緊扣棱錐的三個本質特征：(1)有一個面是多邊形；(2)其余各面都是三角形；(3)這些三角形有一個公共頂點．這三個特征缺一不行，明顯，這種說法不滿意(3).反例如圖．學問點二棱臺[填一填](1)用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，所得截面與底面間的多面體稱為棱臺．(2)原棱錐的底面與截面分別稱為棱臺的下底面與上底面，其余各面稱為棱臺的側面，相鄰兩側面的公共邊稱為棱臺的側棱．(3)棱臺可用上底面與下底面的頂點表示．(4)過棱臺一個底面上的隨意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段(或它的長度)稱為棱臺的高．棱臺全部側面的面積之和稱為棱臺的側面積．(5)棱臺可以按底面的形態(tài)分類．(6)由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺．正棱臺上、下底面都是正多邊形，兩者中心的連線是棱臺的高；正棱臺的側面都全等，且都是等腰梯形，這些等腰梯形的高也都相等，稱為棱臺的斜高．[答一答]2．棱臺的各側棱是什么關系？各側面是什么樣的多邊形？兩個底面是什么關系？提示：棱臺的各側棱延長后交于一點，各側面是梯形，兩個底面是相像的多邊形．3．視察下面的幾何體，思索問題：圖①是棱臺嗎？用隨意一個平面去截棱錐，肯定能得到圖②中的棱臺嗎？提示：題圖①不是棱臺，因為各側棱延長后不交于一點，題圖②中只有用平行于底面的平面去截才能得到該棱臺．類型一有關概念的考查[例1]給出下列幾個命題：①棱柱的側面都是平行四邊形；②棱錐的側面為三角形，且全部側面都有一個公共頂點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側棱所在直線均相交于同一點．其中，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3[解析]明顯命題①②均是真命題．對于命題③，明顯一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有四個頂點，因為三個頂點只圍成一個平面圖形是三角形，當有四個頂點時，易知它可圍成四個面，因而一個多面體至少應有四個面，而且這樣的面必是三角形，故命題③是真命題．對于命題④，棱臺的側棱所在的直線就是截得原棱錐的側棱所在的直線，而棱錐的側棱都有一個公共的點，它便是棱錐的頂點，于是棱臺的側棱所在的直線均相交于同一點，故命題④為真命題．[答案]A解答空間幾何體概念辨析題的關注點1認清概念的本質及棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，采納舉反例法解除錯誤的選項.2從底面多邊形的形態(tài)，側面形態(tài)以及它們之間的位置關系等角度緊扣幾何體的結構特征進行推斷.[變式訓練1]下列說法中正確的是(D)A．頂點在底面上的射影究竟面各頂點的距離相等的三棱錐是正三棱錐B．底面是正三角形，各側面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐C．底面是正三角形，并且有一個側面與底面全等的三棱錐是正三棱錐D．底面是正三角形，并且側棱都相等的三棱錐是正三棱錐解析：對于A，到三角形各頂點距離相等的點為三角形的外心，該三角形不肯定為正三角形，故A錯誤；對于B，如圖所示，△ABC為正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，則△PAB，△PBC，△PAC都為等腰三角形，但它不是正三棱錐，故B錯誤；對于C，各側面不肯定全等，故C錯誤；對于D，由于各側棱相等，故頂點在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面三角形為正三角形，因此，外心即中心，選D.類型二多面體中的基本量計算[例2]正四棱臺ABCD-A′B′C′D′的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和16cm，求這個棱臺的側棱長和斜高．[解]設棱臺兩底面的中心分別是O和O′，B′C′，BC的中點分別是E′，E.連接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，則四邊形OBB′O′，四邊形OEE′O′都是直角梯形．如圖，在正方形ABCD中，∵BC＝16cm，∴OB＝8eq\r(2)cm，OE在正方形A′B′C′D′中，∵B′C′＝4cm，∴O′B′＝2eq\r(2)cm，O′E在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝eq\r(172＋8\r(2)－2\r(2)2)＝19(cm)．在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝eq\r(172＋8－22)＝5eq\r(13)(cm)．故這個棱臺的側棱長為19cm，斜高為5eq\依據正棱臺的定義、特征性質，通過構造直角梯形建立已知量和未知量之間的關系式.[變式訓練2]一個三棱臺的上、下底面面積之比為49，若棱臺的高是4cm，求截得這個棱臺的棱錐的高．解：如圖所示，將棱臺還原為棱錐，設PO是原棱錐的高，O1O是棱臺的高．∵棱臺的上、下底面面積之比為49，∴它們的底面對應邊之比A1B1AB＝23，∴PA1PA＝23.由于A1O1∥AO，∴eq\f(PA1,PA)＝eq\f(PO1,PO)，即eq\f(PO－O1O,PO)＝eq\f(PO－4,PO)＝eq\f(2,3).∴PO＝12cm.即截得這個棱臺的棱錐的高是12cm.類型三棱錐、棱臺中的截面問題[例3]已知正三棱錐V-ABC的底面邊長為6，高VO＝4，D為AB的中點，過點V，C，D作截面，試求該截面的周長和面積．[分析]依據題意畫出圖形，利用高與側棱、底面等邊三角形相應的外接圓半徑，高與斜高、底面等邊三角形相應邊心距構成的直角三角形進行計算．[解]由題意畫出圖形，如圖所示，其中VO＝4，AB＝BC＝CA＝6，∵△ABC是等邊三角形，O是中心，∴OC＝2eq\r(3)，OD＝eq\r(3)，CD＝3eq\r(3)，在Rt△VOC和Rt△VOD中，由勾股定理，得VC＝eq\r(42＋2\r(3)2)＝2eq\r(7)，VD＝eq\r(42＋\r(3)2)＝eq\r(19)，∴截面△VCD的周長為VC＋CD＋VD＝2eq\r(7)＋3eq\r(3)＋eq\r(19)，面積為eq\f(1,2)CD·VO＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×4＝6eq\r(3).1.如圖，在正三棱錐的計算中，常要探討基本量：底面邊長AB、側棱長PC、高PO、斜高PD、邊心距OD、底面外接圓半徑OC等．2．含有這些基本量的直角三角形有Rt△POD、Rt△POC、Rt△PDB、Rt△AOD等．3．通過解這些直角三角形可求出基本量，進而完成解題．4．記住一些結論可提高解題速度．如若AB＝a，則OC＝eq\f(\r(3),3)a，OD＝eq\f(\r(3),6)a，CD＝eq\f(\r(3),2)a等．[變式訓練3]把一個棱臺的高分為三等份，過各等分點作平行于底面的截面，已知棱臺的兩個底面面積分別是P和Q(Q>P)，求兩個截面的面積．解：將棱臺補成棱錐，設棱錐頂點為S，S到棱臺上底面的距離為x，棱臺的高為3h，截面面積分別為M、N，則eq\f(M,P)＝eq\f(x＋h2,x2)，eq\f(Q,P)＝eq\f(x＋3h2,x2)?eq\f(\r(M),\r(P))＝1＋eq\f(h,x)，eq\f(\r(Q),\r(P))＝1＋eq\f(3h,x)，解得M＝eq\f(1,9)(4P＋4eq\r(PQ)＋Q)．同理可得N＝eq\f(1,9)(P＋4eq\r(PQ)＋4Q)．類型四棱錐、棱臺的表面綻開圖[例4]某城市中心廣場主題建筑為一三棱錐，且全部邊長均為10m，如圖所示，其中E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點．(1)畫出該幾何體的表面綻開圖，并注明字母；(2)為迎接國慶，城管部門擬對該建筑實施亮化工程，現(xiàn)預備從底邊BC中點F處分別過AC，AB上某點向AD中點E處架設LED燈管，所用燈管長度最短為多少？[解](1)該幾何體的表面綻開圖為(2)由該幾何體的綻開圖知，四邊形ACBD為菱形，四邊形ABCD為菱形．若使由F向E所架設燈管長度最短，可由其綻開圖中連接線段EF.這兩條線段均為10，故所用燈管最短為20m.1.解答此類問題要結合多面體的結構特征發(fā)揮空間想象實力和動手實力.2.若給出多面體畫其綻開圖時，經常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面.3.若是給出表面綻開圖，則可把上述程序逆推.[變式訓練4]如圖是三個幾何體的側面綻開圖，請問各是什么幾何體？解：由幾何體的側面綻開圖的特點，結合棱柱、棱錐、棱臺的定義，可把側面綻開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．1．如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是(B)A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體解析：剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C.2．一個棱錐的各條棱都相等，那么這個棱錐肯定不是(D)A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐解析：因為棱錐的各條棱都相等，所以側面都是正三角形，又因為頂點處的各個面上頂角之和小于360°，從而側面數(shù)小于6，故選D.3．下列命題中正確的是(D)A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B．兩個底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐D．棱臺的側棱延長后必交于一點解析：A中，要用“平行于底面”的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部