2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)28直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)28直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固1．直線(xiàn)y＝kx＋1與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D.不確定解析：直線(xiàn)y＝kx＋1過(guò)點(diǎn)(0，1)，且該點(diǎn)在圓x2＋y2＝4內(nèi)，所以直線(xiàn)與圓相交．答案：C2．直線(xiàn)3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12 B.2或－12C．－2或－12 D.2或12解析：圓的方程為x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1.由圓心(1，1)到直線(xiàn)3x＋4y－b＝0的距離為eq\f(|7－b|,5)＝1，得b＝2或b＝12，故選D.答案：D3．平行于直線(xiàn)2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線(xiàn)的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0解析：設(shè)所求切線(xiàn)方程為2x＋y＋c＝0，依題有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求切線(xiàn)的方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選A.答案：A4．過(guò)點(diǎn)(1，2)總可以作兩條直線(xiàn)與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則k的取值范圍是()A．k<－3或k>2B．k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)C．k>2或－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3D．－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)解析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝16－eq\f(3,4)k2，所以16－eq\f(3,4)k2>0，解得－eq\f(8\r(3),3)<k<eq\f(8\r(3),3).又因?yàn)辄c(diǎn)(1，2)應(yīng)在圓的外部，得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3))).答案：D5．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(－2，0)，當(dāng)直線(xiàn)l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)l斜率k的取值范圍．解：圓心坐標(biāo)是(1，0)，圓的半徑是1，設(shè)直線(xiàn)方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，依據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，即為直線(xiàn)l斜率的取值范圍．實(shí)力提升1．圓心坐標(biāo)為(2，－1)的圓在直線(xiàn)x－y－1＝0上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則這個(gè)圓的方程為()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16解析：圓心到直線(xiàn)的距離d＝eq\f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq\r(2).r2＝d2＋(eq\r(2))2＝4，解得r＝2，故圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.答案：A2．過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線(xiàn)中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長(zhǎng)最大的直線(xiàn)方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D.x－3y＋5＝0解析：∵過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線(xiàn)中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長(zhǎng)最大的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，∴該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2，1)和圓心(1，－2)，其方程為eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，整理得3x－y－5＝0.故選A.答案：A3．若直線(xiàn)mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0的周長(zhǎng)，則mn的取值范圍是()A．(0，1) B．(0，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)解析：圓x2＋y2－4x－2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，直線(xiàn)mx＋2ny－4＝0始終平分圓周，即直線(xiàn)過(guò)圓心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，當(dāng)m＝1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)n＝1，與“m≠n”沖突，所以mn<1.答案：C4．由直線(xiàn)y＝x－1上的一點(diǎn)向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：在直線(xiàn)y＝x－1上取一點(diǎn)P，過(guò)P向圓引切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A.連接CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r＝1.要使|PA|最小，則|PC|應(yīng)最?。之?dāng)PC與直線(xiàn)垂直時(shí)，|PC|最小，其最小值為eq\f(|3－0－1|,\r(2))＝eq\r(2).故|PA|的最小值為eq\r(（\r(2)）2－12)＝1.答案：A5．設(shè)直線(xiàn)2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于點(diǎn)A，B，則弦AB的垂直平分線(xiàn)的方程是________．解析：易知所求直線(xiàn)過(guò)圓心且與AB垂直，圓心坐標(biāo)為(1，0)．設(shè)所求直線(xiàn)方程為3x－2y＋c＝0，則3×1－2×0＋c＝0，c＝－3.即所求直線(xiàn)方程為3x－2y－3＝0.答案：3x－2y－3＝06．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線(xiàn)l：x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________．解析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心為(－1，－2)，圓半徑為2eq\r(2)，圓心到直線(xiàn)l的距離為eq\f(|－1－2＋1|,\r(12＋12))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).因此和l平行的圓的直徑的兩端點(diǎn)及與l平行的圓的切線(xiàn)的切點(diǎn)到l的距離都為eq\r(2)，共3個(gè)點(diǎn)．答案：37．直線(xiàn)x－y＝0與圓(x－2)2＋y2＝4交于點(diǎn)A、B，則|AB|＝________.解析：圓心到直線(xiàn)的距離d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，半徑r＝2，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．已知直線(xiàn)ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝________．解析：由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r＝2，則圓心C到直線(xiàn)ax＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))\s\up12(2))＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)9．若過(guò)點(diǎn)A(4，0)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為_(kāi)_______．解析：數(shù)形結(jié)合的方法．如圖1所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，圖1∴直線(xiàn)l的傾斜角θ的取值范圍為[0°，30°]∪[150°，180°)．∴直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))10．已知圓C的方程為x2＋y2＝4.(1)求過(guò)點(diǎn)P(1，2)，且與圓C相切的直線(xiàn)l的方程；(2)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，2)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，求直線(xiàn)l的方程．解：(1)明顯直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)切線(xiàn)方程為y－2＝k(x－1)，則由eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝2，得k1＝0，k2＝－eq\f(4,3)，故所求的切線(xiàn)方程為y＝2或4x＋3y－10＝0.(2)當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)方程為x＝1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，eq\r(3))和(1，－eq\r(3))，這兩點(diǎn)的距離為2eq\r(3)，滿(mǎn)意題意；當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，設(shè)圓心到此直線(xiàn)的距離為d，則2eq\r(3)＝2eq\r(4－d2)，∴d＝1，∴1＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))，∴k＝eq\f(3,4)，此時(shí)直線(xiàn)方程為3x－4y＋5＝0.綜上所述，所求直線(xiàn)方程為3x－4y＋5＝0或x＝1.11.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)意方程(x－2)2＋y2＝3.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)原方程表示以點(diǎn)(2，0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓，設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線(xiàn)y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).故eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b.當(dāng)y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6).故y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問(wèn)知，它在原點(diǎn)與圓心所在直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3).(x2＋y2)min＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).12．已知點(diǎn)P(x0，y0)是圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)，兩切點(diǎn)分別為A，B，試求直線(xiàn)AB的方程．解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在圓上，∴過(guò)點(diǎn)A，B的兩切線(xiàn)方程分別是x1x＋y1y＝r2，x2x＋y2y＝r2.又∵點(diǎn)P(x0，y0)在兩切線(xiàn)上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0＋y1y0＝r2，,x2x0＋y2y0＝r2.))∴A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)都是方程x0x＋y0y＝r2的解．∴直線(xiàn)AB的方程是x0x＋y0y－r2＝0.拓展要求1．若直線(xiàn)l：kx－y－2＝0與曲線(xiàn)C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：直線(xiàn)l：kx－y－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2)，曲線(xiàn)C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1表示以點(diǎn)(1，1)為圓心，半徑為1，且位于直線(xiàn)x＝1右側(cè)的半圓(包括點(diǎn)(1，2)，(1，0))．當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)時(shí)，l與曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)k＝2，直線(xiàn)記為l1；當(dāng)l與半圓相切時(shí)，由eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(4,3)，切線(xiàn)記為l2.分析可知當(dāng)eq\f(4,3)＜k≤2時(shí)，l與曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選A.答案：A2．P是直線(xiàn)l：3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線(xiàn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.2