中考數(shù)學(xué)一輪考點復(fù)習(xí)精講精練專題14 直角三角形、等腰三角形、等邊三角形【考點鞏固】（解析版）

專題14直角三角形、等腰三角形、等邊三角形（時間：60分鐘，滿分120分）一、填空題（每題3分，共30分）1．下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4【解答】解：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以5，12，13為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以9，40，41為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；故選：SKIPIF1<0．2．如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB為底以及AB為腰得出符合題意的圖形即可．【解答】解：如圖所示，當(dāng)AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG時，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：B．3．（2022·黑龍江大慶）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對各選項逐項分析可得出正確答案．【詳解】解：A、設(shè)∠1、∠2為銳角，因為：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A選項不正確，符合題意；B、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，在Rt△BCD與Rt△CBE中，SKIPIF1<0，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B選項正確，不符合題意；C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形，，故C選項正確，不符合題意；D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D選項正確，不符合題意；故選：A．4．（2022·廣西梧州）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，過點D分別作SKIPIF1<0，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；由已知條件推不出SKIPIF1<0，故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C．5．（2022·湖北鄂州）如圖，直線l1SKIPIF1<0l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】由作圖得SKIPIF1<0為等腰三角形，可求出SKIPIF1<0，由l1SKIPIF1<0l2得SKIPIF1<0，從而可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰三角形，∴SKIPIF1<0∵∠BCA＝150°，∴SKIPIF1<0∵l1SKIPIF1<0l2∴SKIPIF1<0故選B6．（2021·遼寧九年級一模）如圖，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．100° B．105° C．110° D．115°【答案】B【分析】由SKIPIF1<0是等邊三角形，可得∠B=60°，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，可得BD=CD=SKIPIF1<0，AD⊥BC，由SKIPIF1<0，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性質(zhì)可求∠AFC=105°．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=AC，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，∴BD=CD=SKIPIF1<0，AD⊥BC，∵SKIPIF1<0，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故選擇：B．7．（2021·廣東九年級一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是角平分線，SKIPIF1<0是中線，則SKIPIF1<0的長（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出SKIPIF1<0，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求得SKIPIF1<0．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是角平分線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是中線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：B．8.如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC，并以O(shè)C為一邊向外作等邊三角形OCD，連接AD．若∠AOB=110°，∠BOC=150°，則∠OAD的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)已知易證△ACD≌BCO，得出∠ADC=∠BOC=150°，又因△OCD是等邊三角形，易證∠ADO=90°，又由∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，求出∠AOC=100°，從而得∠AOD=40°，再根據(jù)直角三角形的兩個內(nèi)角互余即可求出∠OAD的度數(shù)．【解析】解：∵△ABC和△OCD是等邊三角形，∴AC=BC，OC=CD，∠ODC=∠DCO=∠COD=∠ACB=60°，∴∠DCO-∠ACO=∠ACB-∠ACO即∠ACD=∠BCO．在△ACD和△BCO中SKIPIF1<0∴△ACD≌△BCO．∴∠ADC=∠BOC=150°．∴∠ADO=90°，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠AOC=100°，∴∠AOD=40°，∴∠OAD=90°-40°=50°．故選B．9．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于()A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【解析】【分析】連接AC，與BD交于點O，根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，利用勾股定理可得SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，繼續(xù)利用勾股定理可得SKIPIF1<0，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點O，∵對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．10．（2022·黑龍江）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AD平分SKIPIF1<0與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若SKIPIF1<0的面積是24，SKIPIF1<0，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點，G是AD的中點，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點G，連接EG，∵AB=AC，AD平分SKIPIF1<0與BC相交于點D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=SKIPIF1<0=12，∵E是AB的中點，∴S△AED=SKIPIF1<0=6，∵G是AD的中點，∴S△EGD=SKIPIF1<0=3，∵E是AB的中點，G是AD的中點，∴EGSKIPIF1<0BC，EG=SKIPIF1<0BD=SKIPIF1<0CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點，∴DF=SKIPIF1<0CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=SKIPIF1<0=3，即SKIPIF1<0，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE=SKIPIF1<0=2.5，故選：A．二、填空題（每題4分，共24分）11．如圖，點C所表示的數(shù)是（）【答案】1﹣SKIPIF1<0【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長為SKIPIF1<0，根據(jù)弧的半徑相等得AC＝AB＝SKIPIF1<0，根據(jù)兩點之間的距離求得點C表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0，∴AC＝AB＝SKIPIF1<0，∴點C表示的數(shù)是1﹣SKIPIF1<0．故答案為：1﹣SKIPIF1<012．（2022·湖南岳陽）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，即可求出SKIPIF1<0的長．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：3．13．已知等腰三角形的底邊長為6，一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分長2，則三角形的腰長是．【分析】其中一部分比另外一部分長2，分兩種情況：腰比底大2或底比腰大2，分別求出腰即可．【解答】解：等腰三角形一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差即是腰與底的差的絕對值，∵其中一部分比另外一部分長2，∴腰比底大2或底比腰大2，∴腰為8或4．故答案為：8或4．14．（2022·湖南永州）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則SKIPIF1<0______．【答案】3【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．15．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出CH的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、已知條件和勾股定理可依次求出EH、CE、AE、DE的長，進而可得DH的長，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．【解析】解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AD=DE，AD2+DE2=AE2，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在直角SKIPIF1<0中，根據(jù)勾股定理可得：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．16．（2022·遼寧錦州）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D為SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，當(dāng)點A的對應(yīng)點SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上時，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先證明SKIPIF1<0是等邊三角形，再證明SKIPIF1<0，再利用直角三角形SKIPIF1<0角對應(yīng)的邊是斜邊的一般分別求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0，從而求得SKIPIF1<0的面積．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點O，連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，∵點D為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．三、簡答題（共46分）17．（7分）如圖，點D是SKIPIF1<0內(nèi)部的一點，SKIPIF1<0，過點D作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為E、F，且SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0為等腰三角形．【答案】見解析.【分析】欲證明AB＝AC，只要證明∠ABC＝∠ACB即可；【解析】證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為等腰三角形．18．（7分）（2022·四川自貢·中考真題）如圖，△SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】詳見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)以及題設(shè)條件，可證△ADB≌△AEC，由全等三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0．【詳解】證明：∵△SKIPIF1<0是等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ADB和△AEC中，SKIPIF1<0∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴SKIPIF1<0．19．（8分）（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點E．（1）求證：SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，請判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，

則AD=

AE，從而有CD

=

BE，由(1)

得，SKIPIF1<0，可知BE

=

DE，等量代換即可．【詳解】(1)證明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．20．（12分）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）試猜想線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論SKIPIF1<0還成立嗎？請說明理由．（3）若將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論SKIPIF1<0還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）先用SKIPIF1<0判斷出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，進而判斷出SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）成立，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）成立，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．21．（12分）（2021·重慶）在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖3，當(dāng)點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且SKIPIF1<0，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)SKIPIF1<0最小時，直接寫出SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）①連接AG，根據(jù)題意得出△ABC和△GEF均為等邊三角形，從而可證明△GBC≌△GAC，進一步求出AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，然后利用勾股定理求解即可；②以點F為圓心，F(xiàn)B的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點K，連接KF，先證明出△BFK是頂角為120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，從而得出結(jié)論即可；（2）利用“胡不歸”模型構(gòu)造出含有30