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文檔簡介

第一章熱力學(xué)的根本規(guī)律

1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)a,壓強(qiáng)系數(shù)B和等溫壓縮系數(shù)K。

解:理想氣體的物態(tài)方程為PV=RT,由此可算得:

1.2證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T,P的物質(zhì),其物態(tài)方程可由

實(shí)驗(yàn)測得的體脹系數(shù)口及等溫壓縮系數(shù)K,根據(jù)下述積分求得:

=ZdP),如果Q==試求物態(tài)方程。

證明:

dVdV

dV(T,p)=(而)心印皿

兩邊除以V,得

積分后得lnV=k〃/T-4仍如果

代入上式,得lnV=J(半一,)=lnT—ln尸+lnC

所以物態(tài)方程為:PV=CT

與Imol理想氣體得物態(tài)方程PV=RT相比擬,可知所要求的物態(tài)方

程即為理想氣體物態(tài)方程。

1.3在0℃和latm下,測得一塊銅的體脹系數(shù)和壓縮系數(shù)為a=4.185

X10-5K-i,k=7.8XlOZtmLa和k可以近似看作常數(shù)。今使銅加熱至10℃,

問(1)壓力要增加多少大氣壓才能使銅塊的體積維持不變?(2)假設(shè)

壓力增加lOOatm,銅塊的體積改變多少?

dV_171戶、「門,

=高(石)+萬(=),即=adT-Kdp

解:⑷由上題VV57P"V加

體積不變,即力=0

所以“尸二-(1T即AP=幺AT=xlO=622atm

kk47.'8"xW10-7

(b)

5_74

—=^^=6Z(7;-T1)-jr(/72-/?I)=4.85xlO-xlO-7.8xlOxlOO=4.07xlO-

KK

可見,體積增加萬分之4.07。

1.4描述金屬絲的幾何參量是長度L,力學(xué)參量是張力F,物態(tài)方程是

f(F,L,T)二0。實(shí)驗(yàn)通常在Ip”下進(jìn)行,其體積變化可以忽略。

線脹系數(shù)定義為。=,(當(dāng))?,等溫楊氏模量定義為Y=-^)T,

LdTAdL

其中A是金屬絲的截面積。一般來說,a和Y是T的函數(shù),對F僅有微

弱的依賴關(guān)系。如果溫度變化范圍不大,可以看作常量。假設(shè)金屬絲兩

端固定。試證明,當(dāng)溫度由Ti降至T2時(shí),其張力的增加為

證明:(a)設(shè)尸=:八乙乙),那么

“=(空)dT+(—>|clL

1STyLviLJT(])

gf-Z)「小=—1

由于

-所、__"土)j”、

所以1ST九VdL)丁\dT)F(2)

將(2)式代入(1)式,并利用線脹系數(shù)a和等溫楊氏模量的定義

式.得

"=-喘降"喧狂AY

.=-aAYdT+——dL

\GLJ/(ST)F\dL)丁L⑶

(b)當(dāng)金屬絲兩端固定時(shí),dL=0,d3(3)式得

當(dāng)溫度由Ti降至T2時(shí),積分上式得

△產(chǎn)=-K4c(《一7;):口

L公

F=bT()

1.5一理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為(6,其中L是長

度,Lo是張力F為零時(shí)的L值,它只是溫度T的函數(shù),b是常數(shù)°試證

明:

y=—(―+

(a)等溫楊氏模量為AL°

=3bT

。4

(b)在張力為零時(shí),線膨脹系數(shù)

。=_1幺

7L3/第+2其中TdL

(c)上述物態(tài)方程適用于橡皮帶,設(shè)T=30(KA=L33xl(HN.K-1

L

MX=5乂10-4K,試計(jì)算當(dāng)L0分別為。臺,

AIIO%/,%1.0,1.5

L

和2.0時(shí)的F,Y,。對心。的曲線。

證明:(a)由彈性物質(zhì)得物態(tài)方程,可得

8F(12/

---------F

JaEZ?

T<L()>⑴

將上式代入等溫楊氏模量的定義式

、1bT(記

=—bT一+

A\dL)AA1}

TL。⑵

當(dāng)F=0時(shí),,L=Lo,由(2)式得

Y0=—Al(1+2)=A⑶

(b)在F不變下,將物態(tài)方程對T求導(dǎo),得

由上式解出可得

1.6Imol理想氣體,在27℃的恒溫下體積發(fā)生膨脹,其壓強(qiáng)日20p?

準(zhǔn)靜態(tài)地降到lPn,求氣體所作的功和所吸收取的熱量。

解:(a)在恒溫準(zhǔn)靜態(tài)膨脹過程中,理想氣體所作的功為

匕=〃J

因?yàn)椤∕=RT,P2V2=RT,故有%P2

(b)理想氣體在恒溫膨脹過程中,內(nèi)能不變,根據(jù)熱力學(xué)第一定律,

求得。=仍=7.46X103J?mol,

1.7在25。(2下,壓強(qiáng)在0至lOOOpn之間,測得水的體積為

如果保持溫度不變,將Imol的水從Ipn加壓至lOOOpn,求外界所作的功。

解:寫出V+4+如+cp2,

3

那么dV=(b+2cp)dp=(-0.715X10-+2x0,046xlO"pWp

所要求的功

L。

1.8承前1.5題,使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中長度由Lo壓縮為爹'

試計(jì)算外界所作的功°

解:外界對彈性體作的元功表達(dá)式為

dW=FdL(1)

將物態(tài)方程代入上式,得

dW=hTdL

注意到在等溫過程中Lo不變,當(dāng)彈性體在等溫過程中長度由Lo壓

縮為Lo/2時(shí),外界所作的功為

4)/2

W=jbTdL=-bTL

8iy⑶

1.9在(TC和Ipn下,空氣的密度為1.29%g.〃尸.空氣的定壓比熱容

Cp=9667?煙tK4=L41.今有27m3的空氣,試計(jì)算:

(i)假設(shè)維持體積不變,將空氣由(TC加熱至2(TC所需的熱量。

(ii)假設(shè)維持壓強(qiáng)不變,將空氣由(TC加熱至20。(2所需的熱量。

(iii)假設(shè)容器有裂縫,外界壓強(qiáng)為Ipn,使空氣由0℃緩慢地加熱至20℃

所需的熱量。

W:lcal=4,2J所以“966JMgTK=0.238"gTK

⑴這是定容加熱過程,定容熱容量可以從定壓熱容量算出,

27m3的空氣,其質(zhì)量可由它的密度算得:

考慮到熱容量為常數(shù),使溫度由0,)C升至20℃所需得熱量

即得Qv=1.176x105cal=4.920xlO5J

(ii)在定壓加熱過程中,

Qp=區(qū)一7;)=3.48x1O4*0.238x20=L658x105(M=6.937(1).

(iii)因?yàn)榧訜徇^程使緩慢得,所以假定容器內(nèi)的壓力保持Ipn.

本問題,空氣的質(zhì)量是改變的。在保持壓力P和容積V不變的

條件下加熱時(shí),在溫度T下的質(zhì)量M(T)可由物態(tài)方程

pV="火丁(其中"為空氣的平均分子量)

〃確定之。

設(shè)Ti時(shí),容器內(nèi)的空氣質(zhì)量之為Mi,那么由

py=或。即M4

4算得了,所以

Q=.M(T)CpdT=陷篤。足箏=MxTxCpIn?(1)

將Ti=273K,T2=293K,MiCp=8.29XIOACR/K代入㈠)式,即得

2Q3

2=8.29x103x273In=1.60x105ra/=6.678xlO5J

273

1.10抽成真空的小匣帶有活門,翻開活門讓氣體沖入。當(dāng)壓強(qiáng)到達(dá)

外界壓強(qiáng)〃。時(shí)將活門關(guān)上。試證明:小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱

量之前,它的內(nèi)能u與原來在大氣中的內(nèi)能Uo之差為u—"o=P。%,

其中Vo是它原來在大氣中的體積。假設(shè)氣體是理想氣體,求它的溫度與

體積。

解:(a)求解這個(gè)問題,首先要明確我們所討論的熱力學(xué)系統(tǒng)是什

么。為此,可以設(shè)想:使一個(gè)裝有不漏空氣的無摩擦活塞之絕熱小氣缸

與絕熱小匣相連。假定氣缸所容空氣的量,恰好為活門翻開時(shí)進(jìn)入該小

匣內(nèi)的那一局部空氣的量。這樣,原來在小氣缸中,后來處于小匣內(nèi)的

那一局部空氣(為了方便,設(shè)恰為Imol空氣),就是我們所討論的熱力

學(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)的初態(tài)(匕/,〃。;°。)和終態(tài)(匕「〃;")如下圖:

初態(tài)(Vo,To,po;Uo)

i三H

s三

終態(tài)(V,T,p;U)三

當(dāng)翻開活門,有少量空氣進(jìn)入原來抽為真空的小匣,小氣缸內(nèi)的氣壓就

降為比大氣壓小一點(diǎn),外界空氣就迫使活塞向匣內(nèi)推進(jìn)「根據(jù)熱力學(xué)第

一定律,在此絕熱過程中,有

積分之,

U—U°=_£)Po"=Por”=PoK

(1)

(b)由

即—=CpT()-CVTO

7=*

從上式,得Cv⑵

(c)由于初態(tài)和終態(tài)的壓力相等,故有

V_T

從以上兩式,得到匕丁。⑶

由(2)式知,(3)式可化為

V=K)/=Wo

/0(4)

1.11滿足〃V"=C的過程稱為多方過程,其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。

試證明:理想氣體在多方過程中的熱容量Cn為

證明:根據(jù)熱力學(xué)第一定律,有

CndT=CvdT+pdV(

利用理想氣體的物態(tài)方程,可將夕v”=c化為

將上式微分,得

VdTRdT

dV=------------=-------------

5-1)7(2

將⑵代入⑴式,得

1.12試證明:在某一過程中理想氣體的熱容量Cn如果是常數(shù),該

過程一定是多方過程,多方指數(shù)C〃—C〃假設(shè)氣體的定壓熱容量

和定容熱容量是常數(shù)。

證明:根據(jù)熱力學(xué)第一定律

由〃V=RT,有pdV+Vdp=RdT,,客drf弋入上式,得

兩邊除以Pv,再經(jīng)整理,得到

1.13聲波在氣體中的傳播速度為'I"上假設(shè)氣體是理想氣

體,其定壓和定容熱容量是常量。試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能u和焰h

a-2

u=--------h=—a—

可由聲速及/給出:7。-D+常量,/-1+常量

證明:理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)的絕熱過程中,

pV7=C,經(jīng)積分,得也+y四=0

py

從而得到(黑)S一芍

M

p=—

因?yàn)檠荆?/p>

N丁_Ma

加,故-yR

對于理想氣體,內(nèi)能和焰分別為

u=cv+常數(shù)H=cf>+常數(shù)

把(2)中的T代入(3)式,并注意到和Cp0=Y

得單位質(zhì)量的內(nèi)能u和熠h為

1.14大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高處

之間不斷發(fā)生對流。由于氣壓隨高度而降低,空氣上升時(shí)膨脹,下降時(shí)

收縮??諝獾膶?dǎo)熱率很小,膨脹和收縮的過程可以認(rèn)為是絕熱過程。試

dT

計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率區(qū),并給出數(shù)值結(jié)果。

dp(z)

—=一0(z)g

[提示:根據(jù)流體靜力學(xué)可導(dǎo)出氣壓隨高度的變化率dz

再利用理想氣體的絕熱方程求出,從而可以求出。

dT_(/-g

答:dz-yR'數(shù)值結(jié)果:/OK?加b.]

解:(i)首先討論在熱平衡下,大氣壓如何隨高度而改變。要注意到

熱平衡條件中包括力平衡條件,考慮在高度z和z+dz之間,其截面積為

A的空氣圓柱體[圖1.14),作用在它的上截面和下截面的力分別為

—p(z+dz)A和p(z)A

作用在圓柱內(nèi)空氣的重力為-p(z)Adz,

由上述三個(gè)力的平衡條件:

—p(z+dz)A+p(z)A-p(z)Adz=o

dp⑶

=~P(z)g

得到dz

(ii)把(1)式的p(z)變換到p(z):如果空氣的平均分子量為m,那么

Imol空氣的體積為

P⑶,那么可把理想氣體的物態(tài)方程,V表為

RT(z)m

p(z)=夕(z)X?(z)=〃(z)

m和RT(z)

于是(1)式變?yōu)?/p>

^1=__

dzRT⑦

Q)

(iii)現(xiàn)考慮理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程:

dT(z)_(8T]dp(z)

從"z\8P)sdz

(3)

包、

知,下面的任務(wù)是要求關(guān)于(如人的表達(dá)式。

由熱力學(xué)第一定律及物態(tài)方程,在絕熱過程中

dQ=CvdT+pdV=CvdT+RT—=0

(4)

由pV=RT,有pdV+Vdp=RdT,兩邊除以pV=RT,得

dV_dTdp

~V~=^T;

R=Cp-g和尸

將(5)式代入(4)式,注意到那么得

(dT\y-\T

或yp(6)

把(2)或和(6)式代入⑶式,得

式中Y—1.41,m=29g!mol,g=980cm/sec,所以

即每增加i千米,溫度約降低i(rc.

1.15熱泵的作用是通過一個(gè)循環(huán)過程將熱量從溫度較低的環(huán)境傳送

到溫度較高的物體上去。如果以理想氣體的逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)

過程,熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所作的功的

比值。試求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收,

那么“效率”為何?

'R'=l+之;

[答:熱泵效率后者為]。]

見教材第一章1.9理想氣體的卡諾循環(huán)

1.16假設(shè)理想氣體的Cp和Cv之比/是溫度的函數(shù),試求在準(zhǔn)靜態(tài)

絕熱過程中T和V的關(guān)系。該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)F(T),其表達(dá)式

解:在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中,孰仃+必'=0,

因?yàn)?故得

----1-----d--T-+——dV=0v——R=/-!?

或/TTV孰(1)

上式積分后,得

fdT

-------------FInV=InC

J。-1"⑵

討論:當(dāng)Y為常數(shù)時(shí),那么(1)式經(jīng)積分后,得

即有"/I=U

1.17利用上題的結(jié)果證明:當(dāng)丫為溫度的函數(shù),理想氣體卡諾循環(huán)

的效率仍為7

P?

八I(TITIY)

Qi

\ii(TI,P2,V2)

2=燈能

證明:如圖1.18所示,II:吸熱匕

Q,=RT’ln匕

iv-IV:放熱-匕

在整個(gè)循環(huán)過程中,對外所作的功為

,=RT.In匕■一RT、In匕

心?!?'V.2匕⑴

對于狀態(tài)I和N有下面關(guān)系

F(T])V]=F(T2)匕⑵

對于狀態(tài)in和N,有下面關(guān)系

尸(/)匕=萬①)匕⑶

二%

(3)式除以⑵式,即得K匕(4)

W'=R(71—7;)ln二

代入到(1)式,那么得_匕(5)

町y.4

gin匕"小

所以匕

1.18試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。

證明:我們用反證法來證明。如圖1.18-1所示。假設(shè)兩條絕熱線Si

和S2相交與C點(diǎn)。今考察一條等溫線T,它與兩條絕熱線分別相交于A

點(diǎn)和B點(diǎn)(這樣一條等溫線總能找到,因?yàn)榈葴鼐€得斜率總比絕熱線的

斜率為小)。我們可以把過程A-B-C-A認(rèn)為是可逆循環(huán),在這個(gè)循

環(huán)中,僅在等溫過程A-B,系統(tǒng)從外界吸熱Q;系統(tǒng)對外界作的功,其

量值等于面積ABC.這就意味著,在此循環(huán)過程中,從單一熱源吸收的熱

量完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ灰蚱鹌渌兓?。這是違反熱力學(xué)第二定律的卡爾文

說法的。結(jié)論是,兩條絕熱線不能相交。又,假設(shè)兩條絕熱線Si和S2,

如圖1.18-2所示那樣相交于C,我們作等溫線T構(gòu)成一個(gè)循環(huán),那么會

得出更為荒唐的結(jié)果:它不斷對外作功(正循環(huán)),又不斷對熱源放熱。

這不僅不符合熱力學(xué)第二定律,而且也違背熱力學(xué)第一定律,所以兩條

絕熱線是不能相交的。

1.19熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量。在熱機(jī)從其吸收熱量的熱

源中,熱源的最高溫度為Ti.在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中,熱源的最

1一生

低溫度為T2.試根據(jù)克氏不等式證明,熱機(jī)的效率不超過十

證明:根據(jù)克勞修斯不等式,我們有

rdQ]<rdQ?

所以⑷?。ㄍ猓竣识。ㄍ猓?/p>

其中,熱機(jī)在過程(a)的元過程中吸收熱量而在過程(b)的元

過程放出熱量("Q>°是放出熱量的量值)o

如果Ti是過程(a)中,T(外)的最大值;T2是過程(b)中,T(外)的最

小值,那么從⑴是,我們有

(上式等號適用于僅有兩個(gè)熱源并且過程是可逆的情況)對外

界所作的功w'=Qi-

〃二町=1一義41一%.

所以2QI

1.20理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程,溫度由Ti升至T2?假設(shè)

y是常數(shù),試證明前者的炳增為后者的丫倍。

證明:理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)過程中,有

0

dQ=CclT-i-pdV=CdT-Vdp

vp⑴

P

在等壓過程中,焙增為

正明公式的另一方法是:

(

對于趣想隼我們C1T

網(wǎng)4+

將上兩式總期無等容和等壓過我⑵

.21溫度1kg水與,在等容過程中,爆增為

到達(dá)IIOQSJE…%K和熱抽4婚)以竿=。螺=。吟⑶

個(gè)系統(tǒng)的外圖1.20,應(yīng)如何,??

叫,C

------=----=V

故(AS)VCv(假設(shè)Cp和Cv是常

4.18J?gTK」

解:題中的熱傳導(dǎo)過程是不可逆過程,要計(jì)算水和熱源的焙變,那么必

須設(shè)想一個(gè)初態(tài)和終態(tài)分別與題中所設(shè)過程相同的可逆過程來進(jìn)行

計(jì)算。要計(jì)算水從0。(2吸熱升溫至10()工時(shí)的焙變,我們設(shè)想一個(gè)

可逆的等壓過程:

對于熱源的放熱過程,可以設(shè)想一個(gè)可逆的等溫過程:

在(TC和io(rc之間取彼此溫度差為無窮小的無限多個(gè)熱源,令水

依次與這些溫度遞增的無限多個(gè)熱源接觸,由吸熱升溫至100。(2,

這是一個(gè)可逆過程,可以證明

1.2210A的電流通過一個(gè)25。的電阻器,歷時(shí)1s.⑴假設(shè)電阻器

保持為室溫27。。試求電阻器的嫡增。(ii)假設(shè)電阻器被一絕熱殼包裝

起來,其初溫為27%:,電阻器的質(zhì)量為10g,比熱容Cp為SM/yKL

問電阻器的燧增為何?

解:(1)假設(shè)電阻器保持一定溫度,那么它的狀態(tài)不變,而燧是狀態(tài)

的函數(shù),故知電阻器爆增為零,即AS=0.我們也可以這樣考慮,電

功轉(zhuǎn)變?yōu)闊幔瑐魅腚娮杵?,同時(shí)此熱量又由電阻器流入恒溫器(比方

是實(shí)驗(yàn)室)。因此,傳入電阻器的凈熱量為零,故有A5=0.

(2)在這過程中,有電功轉(zhuǎn)變?yōu)闊?,是不可逆過程。因?yàn)殪菔菓B(tài)

函數(shù),我們設(shè)想一個(gè)是電阻器等壓加熱的過程來計(jì)算炳增。

電阻器終態(tài)的溫度為Tf,有Q=mCp(Tf-Ti),及

600

T)+300=600(K)

得10x0.2

1.23均勻桿的溫度一端為Ti,另一端為T2.試計(jì)算到達(dá)均勻溫度

+4)

領(lǐng)后的爆增。

解:當(dāng)熱力學(xué)系統(tǒng)從一平衡態(tài)經(jīng)歷了一個(gè)不可逆過程到達(dá)另一平衡

態(tài)時(shí),其端的改變可引入一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡孢^程而進(jìn)行計(jì)算,這是因?yàn)樵?/p>

是態(tài)函數(shù)。而本問題中,桿是從一非平衡態(tài)經(jīng)歷了熱傳導(dǎo)的不可逆過程,

而到達(dá)一個(gè)平衡態(tài)。因此,設(shè)想下述可逆過程:把桿當(dāng)作是無數(shù)無限薄

的小段組成,每一個(gè)小段的初溫各不相同,但都將具有相同的終溫。我

們再設(shè)想所有的小段互相絕熱,并保持同樣的壓力,然后使每小段連續(xù)

地跟一系列熱源接觸,這些熱源地溫度由各段的初溫度至共同的終溫度。

這樣就定出無數(shù)個(gè)可逆的等壓過程,用來使該桿由初始的非平衡態(tài)變化

到平衡態(tài)的終態(tài)。

我們考慮長為L的均勻桿,位于x處的體積元的質(zhì)量為

其中P及A分別為桿的密度及截面積,該段的熱容量為

Cpdm=CppAdx

最初的溫度分布是線性分布的,而使x處的初溫為

假設(shè)無熱量損失,并且為了方便起見,假設(shè)各小段的熱傳導(dǎo)率、

密度和熱容量都保持不變,那么終溫

該體積元的爆增為

CppAdx^y=CppAdx\n;=Cf,pAdx\n-

1(Lil(

沿整個(gè)桿積分,得燧的總變化等于

利用積分公式

經(jīng)積分并化簡后,得到

1.24根據(jù)幅增加原理證明第二定律的開氏表述,從單一熱源吸收熱

量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。

證明:假設(shè)有一個(gè)溫度為T的熱源,一熱機(jī)在循環(huán)過程中從這個(gè)熱

源吸收熱量Q,并把此熱量Q全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功輸出。顯然,熱源和熱

機(jī)合起來成為一個(gè)絕熱系統(tǒng),在上述循環(huán)過程中,熱源的端減少了Q/T,

而熱機(jī)的工作物質(zhì)的嫡不變。這樣一來,整個(gè)絕熱系統(tǒng)的焙減少了,這

違反了熠增加原理。因此,熱機(jī)從單一熱源吸熱并全部轉(zhuǎn)化為功的過程

是不可能的。這個(gè)例子說明,熱力學(xué)第二定律的開氏說法也包括在靖增

加原理這一更普遍的表述中。

1.25物體的初溫Ti高于熱源的溫度T2.有一熱機(jī)在此物體與熱源

之間工作,直到將物體的溫度降低到T2為止。假設(shè)熱機(jī)從物體吸取的熱

量為Q,試根據(jù)端增加原理證明,此熱機(jī)所能輸出的最大功為

叱3=。-乙(5-52)其中與_$2是物體的燃減少量。

證明:熱機(jī)工作假設(shè)干循環(huán)后從物體吸

熱Q,對外界做功W,放出熱量Q-W

’到T2,此時(shí)復(fù)合系統(tǒng)(物體、熱機(jī)和熱

[源)的炳變:

1(1)(1)物體"的變化$2一號;

X(2)(2)熱機(jī)工作物偵熠的變化為0,

因?yàn)樽骷僭O(shè)干循環(huán)后,物質(zhì)恢復(fù)

原來狀態(tài);」

3初始溫度同為Ti.今令一

致冷機(jī)在此兩物體間工作,使其中一個(gè)物體的溫度降低到T2為止。假設(shè)

物體維持在定壓下,并且不發(fā)生相變。試根據(jù)燧增加原理證明,此過程

%=?!ù?/-27;)

所需的最小功為心

證明:把兩個(gè)物體和制冷機(jī)看成為一個(gè)絕熱系統(tǒng),那么按燧增加原

理有

即AS=C〃(ln7;7;—ln7]2)N0

(1)

?0?T\NT]IT?(2)

又,根據(jù)熱力學(xué)第一定律,有°=。2+卬

C'CdT=^CpdT+W

即見「九

積分上式,并經(jīng)整理后,得

卬=?!▍^(qū)+72-2力(3)

把(2)式代入(3),得

心[(邛/%+丁/)⑷

當(dāng)制冷機(jī)作可逆循環(huán)時(shí),式中取等號,制冷機(jī)作的功最小:

Wmm=C〃(多+5—27;)

12(5)

1.27簡單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。如果以T,S為獨(dú)立參量,可以縱坐

標(biāo)表示溫度T,橫坐標(biāo)表示燧S,構(gòu)成T-S圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)

平衡態(tài)、一條曲線與一個(gè)可逆過程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過

程的曲線,并利用T-S圖求卡諾循環(huán)的效率。

解:由由夕3指線利1道Q與構(gòu)成f2若循環(huán)1-2f3f4-1,

在T-S圖,”』E[圖―-Jn.|2是等溫過程,由于在此

過程中,物質(zhì)吸熱,所外'4也是等溫過程,由于在

此過程中T2加熱,J-b;1-1是絕熱的等燧

過程。八

在過程If

LS

0

Qi一j]./S-SiS2

圖1.27

斤八方f一1

dPdP

(V―方團(tuán)+宙)*7

設(shè)小。-備L(算喘)…嗡)懵%(黑)LU

第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

2.1溫度維持在25℃,壓強(qiáng)在0至lOOOatm之間,測得水的實(shí)驗(yàn)數(shù)

36]

據(jù)如下:(4.5x10~+1.4x10~p)cm,?mol-k~

假設(shè)在25℃的恒溫下交水從latm加壓至lOOOatm,求水的端增加從外

界吸收的熱量。

(—)?(~z"),,=a+bp

解:(a)把題中的亞,寫成下面的形式:'

而嗡一會

將題中所給數(shù)據(jù)代入上式,并注意latm=101325Pa,算得

As=—0.527j.moL?『

S)Q=TAS=298X(-0.527)=-157J-mol-1

O

2.2在體積不變時(shí),一氣體的壓力正比與其絕對溫度。試證明在溫

度保持不變時(shí),該氣體的端隨體積而增加。

解:P=f(V)T,其中比例系數(shù)f(V)>0,它僅是V的函數(shù),今要證明

,OS、八/ds、,。尸、十八八?

(—)7>0(—)7=(—)v=f(V)>0

5V。根據(jù)麥?zhǔn)详P(guān)系,有。V8T因此即的證明。

2.3設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下的形式:P=f(v)T試證明內(nèi)能與體

積無關(guān)。

解:根據(jù)(票27卷"P

<O;(2)(——)z/>O

2.4求證:(1)iPaV

證明:由dH=TdS+Vdp,令dH=0,得一”(因?yàn)閂>0,T>0)

(曳、_P_.

山dU=TdS—pdV,令dU=。,得一T

(因?yàn)镻>0,T>0)

Q"=(),=°

2.5求證Ia戶J7

(嗎=。

證明:(°v7',所以

口)=烏心o

11

I&p)TavBP

2.6試證明,一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中燧隨體積的增減取決

于等壓下溫度隨體積的增減。

證明:這可以由壓力不變下,端對體積的偏導(dǎo)數(shù)(方人的符號證明

之。

就定壓膨脹系數(shù)人打人而論,選T,P為獨(dú)立變量是方便的,于是問

@、

題就歸結(jié)于把中的獨(dú)立變量(V,P)變換到獨(dú)立變量(T,ph

這可采用下面兩種方法來做。

as)

~av)

因?qū)鶆蛭矬w,Cp〉O;而T20,及V20,所以1加J〃的符號與。的符號相

同,即在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中端S隨體積V的增減取決于溫度隨體積的增

減。

(ii)

2.7試證明,在相同的壓力降落下,氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度

降落大于在截流過程中的溫度將落。

一戶]>0

證明:據(jù)題意,此題就是要證明:1°尸人\SPJH

包、(dT\

+----

\dH)

<?P>sps即

(oT}(dHyV八

——=—>0

\dHJp\dPJsCP上式中用到

dHy(dH}

=V

6T和I6PJ5

該題所證明的結(jié)果說明,為了冷卻氣體(例如為了液化〕,用準(zhǔn)靜態(tài)

絕熱膨脹的方法比節(jié)流過程為好。其理由兩個(gè):1,每一種氣體都可以采

用前者的方法是它冷卻下來2,溫度降落較大

2.8實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),一氣體的壓強(qiáng)p與比容v的乘積及內(nèi)能U都只是溫

度T的函數(shù),即pv=/(T),U=U(T),試根據(jù)熱力學(xué)理論,討論該氣體的物態(tài)

方程可能具有什么形式.

解:由題知,內(nèi)能只是溫度的函數(shù),U=U(T),所以,

H耳.p=0

\)T\GTJv

丁df61f(T)「0也Zl_空=0

dTvv即f6丁經(jīng)積分得到

ln?lnC

lnf(T)-lnT-lnC,7

所以f(T)=CT,(其中C是一常數(shù)),因此,PV=CT

Cv=C^+T『(誓]dV

V

并由此導(dǎo)出:°1時(shí)Jv

根據(jù)以上兩式證明,理想氣體的定容熱量和定壓熱容量只是溫度T的函

數(shù).

5S

&T

證明:m由于V

所以

(dP\

TdS=CvdT+T\^^dV

(1)式也可以從TdS第一方程證明:由于

_1_=d_dP、

dS是全微分,所以丁T~~dTdT)v

dP

-P

~dT

v,也可證明

(1)式成立C

as

p

(2):由ar

%d2ST5assv

-----=1—-浮⑵

得l前dpdT8Tydp)TdTW

p

TdS=CdT+T(^

pdP

(2)式也可以從TdS第二方程證明:由dS的

l(8CpddV

IsFJv

全微分條件,得“前dT\ydT

/TpP從

8H\dH

J

~dP

0T九及烙態(tài)方程\dT人也可證明(2)式。

(3):在恒定溫度下積分(1)式,得

(d2Px

G/=c;+Tj:(3)

("2dV

Jv

其中,:是體積為匕是的定容熱容量。(3)式說明,只要測得在某一體積

%下

的定容熱容量《,那么在任何體積下的定容熱容量就可根據(jù)物態(tài)方程所

(一P、

給的〔獷人而計(jì)算出來。

(4)在恒定溫度下積分(2)式,得

c〃=CF(豹(4)

其中,是當(dāng)壓強(qiáng)為P。時(shí)的定壓熱容量。(4)式說明,只要測得在

某一壓強(qiáng)P。下的定壓熱容量C;,那么在任何壓強(qiáng)下的定壓熱容量都可

d2V

根據(jù)物態(tài)方程所給的、°尸人而計(jì)算出來。

(5):將理想氣體物態(tài)方程PV=RT代入(1)式和(2)式,得

所以理想氣體定容熱容量G和定壓熱容

量°,只是溫度T的函數(shù)。

2.10證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù),與比容無關(guān)。

證明:在2.9題已經(jīng)證得【S'7力(I)

_RTaR

由范氏氣體方程p=V^b~vTV—b

修〕=。⑶=0

因此(1)式中的4即范氏氣體的定容熱容量

只是溫度T的函數(shù),與比容無關(guān)。

2.11證明理想氣體的摩爾自由能可以表為

證明:摩爾自由能為f=u-Ts,又理想氣體的摩爾內(nèi)能和摩爾烯分別

為"=]*小〃7+"。和5=區(qū)InU+S。

故得/=—Tj畀T—R71nV+y,一后,

邊前兩項(xiàng)還可以合并成一項(xiàng)。在右邊第二個(gè)積分中,令

X=—=fCdT.

T」v再完成分部積分,得

J與dT=\xdy=xy-卜嗎JCvdT+J.JCvdT,

于是化為下面帶有雙重積分的形式:

2.12求范氏氣體的特性函數(shù)f,并導(dǎo)出其它的熱力學(xué)函數(shù)。

[提示:②時(shí),范氏氣體趨于理想氣體。]

一旦幺〃=-但q

解:(a)范氏氣體,P~V~bV2,由1皿人得

_RT+a

=Ty

{dVJT~V-b^V

積分后得

其中。(7)為積分常數(shù),可用如下的方法確定之:當(dāng)丫-8時(shí)那么

/里相=一尺7In"+0(7)(2)

在(2.11)題已得下面結(jié)果:

比擬⑵式和⑶戈即得

將(4)式代入(1)式,即得

2.13試證明范氏氣體的摩爾定壓熱容量與定容熱容量之差為

C._J豹借)

證明:V9TJv^dTJP由范氏方程可得

所以,

2.14一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力X與其伸長,成正比,即X二一A%.

今忽略彈簧的熱膨脹,試證明彈簧的自由能F、燧S和內(nèi)能U的表達(dá)式分

別為

證明:(a)F是x和T的函數(shù),那么

dF=-SdT+Xedx=-SdT-Xclx(1)

上式中恢復(fù)力X是外力士的平衡力,在準(zhǔn)靜態(tài)過程中,Xf=-x,

因此外力所作的功"叱=Xedx=-Xdx從m式得到

上式對X求積分那么得

S(T,x)=J至)=一必⑷—二必

(b)由(1)式給出(37人dT2dT

y2A

S(T,x)=S(T,O)-——

所以2dT

idA

。(7,x)=F4-T5=Z7(T,0)+-{A-T——)x2

(c)2dT

2.15承前1.5和L8題,試求將理想彈性體等溫可逆得由量拉長至

2乙。時(shí)所吸的熱和內(nèi)能的變化。

解:彈性體的物態(tài)方程為

將彈性體等溫可逆得由心。拉長至2七。時(shí)外界所作的功為

(a)為求彈性體等溫可逆得由心。拉長至2乙。時(shí)所吸的熱,我們利用

TdS=CFCLT+TdF(3)

TdS第二方程導(dǎo))

在等溫過程中吸收的熱量是

Q=T4s=J,警)產(chǎn)(4)

把狀態(tài)方程在F不變下對T求導(dǎo),得

_]〃乙()fOL}

式中°乙。dT,由⑸式可以求出?IF

另外,在T不變的情況下,由(1)式可求出

將(6)式及(5)式中的I"九代入(4)式得

(b)按熱力學(xué)第一定律,在此過程中系統(tǒng)內(nèi)能的改變?yōu)?/p>

2.16承2.15題,試求該彈性體在可逆絕熱過程中溫度隨長度的變

化。

解:彈性體的物態(tài)方程為

此題要求彈性體在可逆絕熱過程中溫度隨長度的變化,即求的71o

利用彈性體的TdS第一方程

有1、八Q,L⑶

在可逆絕熱過程中,

物態(tài)方程(1)式得

將(4)式代入[3)式得

包[@、(dS\

[也,八。5”<dT

利用循環(huán)關(guān)系式L及麥?zhǔn)详P(guān)系1"力

1刃1,,也可得到⑶式。

2.17X射線衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),橡皮帶未被拉緊時(shí)具有無定形結(jié)構(gòu),當(dāng)

受張力而被拉伸時(shí),具有晶型結(jié)構(gòu).這一事實(shí)說明橡皮帶具有大的分子鏈。

(a)試討論橡皮帶在等溫過程中被拉伸時(shí)它的端是增加還是減少;(b)試

證明它的膨脹系數(shù)2TM是負(fù)的。

解:考慮在可逆彈性范圍內(nèi)的一長度為L的橡皮帶。當(dāng)兩端受張力

拉伸時(shí),其長度將增加,橫截面將減少。實(shí)驗(yàn)說明,在此過程中其體積

根本上保持不變,可略去體積功。因此外界對象皮帶所作的元功為

dW=FdL⑴

由熱力學(xué)根本方程得dU=TdS+FdL(2)

(a)根據(jù)端的統(tǒng)計(jì)意義,燧是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量度。今知在等溫

的增大張力是橡皮帶伸長的過程中,橡皮帶從非晶型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫徒Y(jié)

構(gòu),即從混亂分布轉(zhuǎn)變?yōu)檩^規(guī)那么分布,混亂度減少,因而熠減少。用

vO(3)

數(shù)學(xué)偏導(dǎo)數(shù)表示,IOF

(b)對根本方程⑵進(jìn)行變量代換,得dG(T,F)=-SdT-LdF(4)

因此/I。尸,

<0

利用(3)式,可知尸o因此橡皮帶的線脹系數(shù)

1(dL\八

a=—\——<0

L\dT)F

2.18假設(shè)太陽是黑體,根據(jù)以下數(shù)據(jù)求太陽外表溫度。單位時(shí)間內(nèi)投射

到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量為L35xl()3/.,太

陽的半徑為6.955x10%,太陽與地球的平均距離為1.495xl0"m。

解:按斯特潘一玻耳茲曼定律,輻射通量密度為(二。"其中

一8卬.“2?

b=50669x10K-4⑴。如果把太陽輻射看作黑體輻射,那么單

位時(shí)間內(nèi)由太陽說明輻射出去的總能量為

4

Jl(X44勺;=o-TX4%/?;(2)

其中跖是太陽半徑。另一方面,在以太陽與地球的平均距離R(日地)

為半徑的球面上,單位時(shí)間內(nèi)接收到的總能量為1?35義1。3義4萬史(3)(日

地)。令(2)式與(3)式相等,得太陽外表的溫度為

將5R日,R(日地)值代入口)式,可得7P5760K。

2.19計(jì)算熱輻射在等溫過程中體積由匕變到匕時(shí)所吸收的熱量。

S=-aT3V

解:輻射場的嫡是3,所以在可逆的等溫過程中,當(dāng)體積

由匕變到匕時(shí)所吸收的熱量是

44

3aTV

Q=T(S2-S})=TAS=T-aTAV=~^(2-%)

2.20試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán),計(jì)算其效率。

S=-4aTyoV(aa)

解:平衡輻射場的端是3

在可逆的絕溫過程中輻射場的端不變,故

P=—u^u=aT4P=—u=—aT4(1)

由于333

上式說明平衡輻射場的壓力與體積無關(guān),可逆等壓過程也就是可逆等溫

過程。從(bb)和(1)式,可得在可逆絕熱過程中,有卬/3=恒量(2)。

由(1)式與(2)式,得知卡諾循環(huán)如下圖。下面計(jì)算此卡諾循環(huán)的效

率。從等溫膨脹過程1一>2中,系統(tǒng)吸收熱量

在等溫壓縮過程3—>4中,系統(tǒng)放出熱量

Q2=T2AS2=-aT2\V.-V4)

在絕熱過程2—>3和4—>1中,沒有熱

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