專題09 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）（解析版）

第三部分函數(shù)

專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

核心考點

核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應用

核心考點六二次函數(shù)圖象的變換

新題速遞

核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2

例1（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上．若

y1＜y2，則m的取值范圍為（）

33

A．m>2B．mC．m1D．m2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．

2

【詳解】解：∵點A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上，

22

∴y1=（m-1-1）+n=（m-2）+n，

2

y2=（m-1）+n，

∵y1＜y2，

∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，

∴（m-2）2-（m-1）2＜0，

即-2m+3＜0，

3

∴m＞，

2

故選：B．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．

例2（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y(a1)x2，當x0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)

第1頁共80頁.

a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開口向上，進而即可求解．

【詳解】∵二次函數(shù)y(a1)x2的對稱軸為y軸，當x0時，y隨x增大而增大，

∴二次函數(shù)y(a1)x2的圖像開口向上，

∴a-1＞0，即：a1，

故選B．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=x22x3的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等

于m，則m的值為________．

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），由圖象上恰好只有三個點到x軸

的距離為m可得m=4．

【詳解】解：∵yx22x3(x1)24，

∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），

∴頂點到x軸的距離為4，

∵函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m，

∴m=4，

故答案為：4．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．

知識點：二次函數(shù)的概念及表達式

1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．

（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．

第2頁共80頁.

（3）交點式：，其中x，x是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．

yaxx1xx212

知識點：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）

b

對稱軸x=–

2a

b4acb2

頂點（–，）

2a4a

a的符號a>0a<0

圖象

開口方向開口向上開口向下

bb

當x=–時，當x=–時，

2a2a

最值

4acb24acb2

y最小值=y最大值=

4a4a

最點拋物線有最低點拋物線有最高點

bb

當x<–時，y隨x的增大而減小；當當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>

2a2a

增減性

bb

x>–時，y隨x的增大而增大–時，y隨x的增大而減小

2a2a

【變式1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過點1,0，0,1，頂點在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

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A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根據(jù)頂點在第四象限，即可求出a的取

值范圍，則P的取值范圍可求．

【詳解】∵拋物線yax2bxc過點(-1,0)、(0,-1)，

abc0

∴有，且顯然a≠0，

c1

∴a-b=1，c=-1，

2

2b4acb

將拋物線yaxbxc配成頂點式：ya(x)2，

2a4a

b4acb2

∴頂點坐標為：(,)，

2a4a

∵拋物線頂點坐標在第四象限，

b

∴＞0，

2a

∵a-b=1，

a1

∴＞0，

2a

解得：0＜a＜1，

∵P=2a-b，a-b=1，

∴P=2a-b=a+a-b=a+1，

∵0＜a＜1，

∴1＜a1＜2，

∴1＜P＜2，

故選：B．

【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過點1,0，0,1，頂點在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

第4頁共80頁.

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根據(jù)頂點在第四象限，即可求出a的取

值范圍，則P的取值范圍可求．

【詳解】∵拋物線yax2bxc過點(-1,0)、(0,-1)，

abc0

∴有，且顯然a≠0，

c1

∴a-b=1，c=-1，

2

2b4acb

將拋物線yaxbxc配成頂點式：ya(x)2，

2a4a

b4acb2

∴頂點坐標為：(,)，

2a4a

∵拋物線頂點坐標在第四象限，

b

∴＞0，

2a

∵a-b=1，

a1

∴＞0，

2a

解得：0＜a＜1，

∵P=2a-b，a-b=1，

∴P=2a-b=a+a-b=a+1，

∵0＜a＜1，

∴1＜a1＜2，

∴1＜P＜2，

故選：B．

【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱海縣第一初級中學?？既＃┤鐖D1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA

第5頁共80頁.

繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A4,0，點P

是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．

【答案】22

【分析】①當P點縱坐標≥0時，過點B作BC⊥y軸于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，設(shè)OP

長度為x由兩點距離公式建立二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；②當P點縱坐標＜0時，過點B

作BC⊥y軸于C，同理可得OB的表達式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；

【詳解】解：①當P點縱坐標≥0時如圖，過點B作BC⊥y軸于C，

∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，則∠CBP=∠OPA，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PB=PA，

△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，

∴△BPC≌△PAO（AAS），

∴BC=PO，PC=AO，

設(shè)OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）

22

∴OBx2x42x28

∵x≥0，

第6頁共80頁.

∴x=0時OB最小，最小值為4，

②當P點縱坐標＜0時，如圖，過點B作BC⊥y軸于C，

同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，

設(shè)OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（-x，4-x）

22

∴OBx24x2x28

∵x＞0，

∴x=2時OB最小，最小值為22，

綜上所述：OB最小值為22，

故答案為：22；

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)P點位置

分類討論是解題關(guān)鍵．

【變式4】（2022·吉林長春·?？寄M預測）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱

2

為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A0,2，點C2,0，則互異二次函數(shù)yxmm與

正方形OABC有公共點時m的最大值是__________．

【答案】517

2

【分析】根據(jù)拋物線頂點橫縱坐標的關(guān)系得出拋物線頂點的運動軌跡，結(jié)合正方形的位置，則可得到當拋

物線經(jīng)過點B時m取最大值，依此列式求解即可．

【詳解】解：∵拋物線頂點坐標為m,m,

∴拋物線頂點在直線y=-x上移動，

第7頁共80頁.

∵四邊形AOBC為正方形，點A（0，2），點C（2，0），

∴點B坐標為2,2，

如圖，當拋物線經(jīng)過點B時，m取最大值，

2

將2,0代入yxmm中，

2

則22mm，

517517

解得m或（舍去），

22

故答案為：517．

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)和圖象平移的特點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及

圖象平移的特點．

【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線yax2k(a0,k0)與x軸交于A，B兩點(點B在點A

1

的右側(cè))，其頂點為C，點P為線段OC上一點，且PCOC．過點P作DE∥AB，分別交拋物線于D，E

4

兩點(點E在點D的右側(cè))，連接OD，DC．

(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(用含a，k的式子表示)

第8頁共80頁.

(2)猜想線段DE與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若ODC90，k4，求a的值．

kk

【答案】(1)點A，B，C的坐標分別為,0、,0、0,k

aa

1

(2)DEAB，理由見解析

2

1

(3)a

3

【分析】（1）yax2k0，求出x的值，可得點A，B的坐標，令x0，求出y的值，可得點C的坐標；

1

（2）根據(jù)PCOC求出點P的縱坐標，代入解析式，求出點D，E的橫坐標,進而求出DE的長度，再根

4

1

據(jù)點A，B的坐標求出AB的長度，即可得出DEAB；

2

（3）當k4時，求出OP，PC，PD，再通過導角證明ODPDCP，得出tanODPtanDCP，進

而得出PD2OPPC，代入即可求解．

（1）

解：對于yax2k，

k

令yax2k0，解得x，

a

令x0，則yk，

kk

故點A，B，C的坐標分別為,0、,0、0,k；

aa

（2）

1

解：DEAB，理由：

2

∵C0,k，點C在y軸負半軸，

∴OCk，

111

∴PCOCkk，

444

13

則ykkk，

P44

3

故點P的坐標為0,k，

4

第9頁共80頁.

33

當yk時，則kax2k，

P44

1k

解得x，

2a

1k1kk

則DE，

2a2aa

kkk

由點A，B的坐標得：AB22DE，

aaa

1

∴DEAB；

2

（3）

解：當k4時，

441

由12知，點P的坐標為0,3，點C的坐標為0,4，DE2，

aaa

11

∴OP3，OC4，PCOCOP431，PDDE，

2a

∵ODC90，

∴ODPCDP90，

又∵CDPDCP90，

ODPDCP，

tanODPtanDCP，

OPPD

∴，即PD2OPPC，

PDPC

2

∴1，

31

a

1

解得a．

3

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數(shù)或三角

形相似均可得出PD2OPPC，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)yax2k的圖象及性質(zhì)．

核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

第10頁共80頁.

2

例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）點x1,y1,x2,y2均在拋物線yx1上，下列說法正確的是（）

A．若y1y2，則x1x2B．若x1x2，則y1y2

C．若0x1x2，則y1y2D．若x1x20，則y1y2

【答案】D

【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有

A．若y1y2，則x1x2，原說法錯誤；

B．若x1x2，則y1y2，原說法錯誤；

C．若0x1x2，則y1y2，原說法錯誤；

D．若x1x20，則y1y2，原說法正確．

故選D．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

例2（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)yx22的圖象與反比例函數(shù)

2

y的圖象的交點的橫坐標x0所在的范圍是（）

x

111133

A．0xB．xC．xD．x1

0440220440

【答案】D

【分析】在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，來判斷出交點橫坐標x0所在的范圍．

【詳解】解：在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：

第11頁共80頁.

1

由圖知，顯然x1，

20

32

當x時，將其分別代入yx22與y計算得；

04x

94128

y2,y

11616233，

4

8415

yy0，

2131648

此時反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，

3

x1

40

故選：D．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：準確畫出函數(shù)的圖象，再通過關(guān)鍵點

得出答案．

222

例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對于拋物線y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，

給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點C0,1；②拋物線y3的對稱軸可由拋物線y1的對稱軸向右平移1

個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線y1的交點中，相鄰兩點

之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號是_______________．

第12頁共80頁.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題．

222

【詳解】將C0,1分別代入拋物線y1xx1，y2x2x1，y3x3x1中，可知，這三條拋

物線都經(jīng)過點C，故①正確；

11

拋物線yx2x1的對稱軸為x，

122

23331

拋物線yx3x1的對稱軸為x，x=可由x向右平移1個單位而得到，故②正確；

32222

1515

拋物線yx2x1=(x)2的頂點為A(，)

12424

22，

拋物線y2x2x1=(x1)2的頂點為B(12)

313313

拋物線yx23x1=(x)2的頂點為C(，)

32424

5135

2

3

k4，k442

AB1AC31

12

222

kABkAC

三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤；

將y1分別代入三條拋物線，得x10或1，x20或2，x30或3，

可知，相鄰兩點之間的距離相等，故④正確，

綜上所述，正確的是①②④，

故選：①②④．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及將一般式化為頂點式等知識，是重要考點，難度較易，掌握

相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

第13頁共80頁.

知識點、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小

完全相同，只是頂點的位置不同.

知識點、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2

b4acb2b4acb2

(1)公式法：yax2bxcax，∴頂點是（，），

2a4a2a4a

b

對稱軸是直線x.

2a

(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為yaxh2k的形式，

得到頂點為(h,k)，對稱軸是xh.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋

物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★

知識點、直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah2bhc).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)2的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程

yaxbxcxx1x2

第14頁共80頁.

ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；

③沒有交點0拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為

k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

ykxn

的解的數(shù)目來確定：

2

yaxbxc

①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;

②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

2

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yaxbxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于

bc

x、x是方程ax2bxc0的兩個根，故xx,xx

1212a12a

22

22b4cb4ac

ABxxxxxx4xx

12121212aaaa

【變式1】（2022·四川瀘州·校考模擬預測）二次函數(shù)yax2bxc（a0）的自變量x與函數(shù)y的部分對

應值如下表：

x…101234…

yax2bxc…830103…

則這個函數(shù)圖像的頂點坐標是（）

A．(2,-1)B．1，2C．1,8D．4,3

第15頁共80頁.

【答案】A

【分析】由圖表數(shù)據(jù)可知，函數(shù)圖像與x軸的兩個交點為1,0和3,0，故可知圖像對稱軸為：x2，即可

對照表格得出頂點坐標．

【詳解】解：由表可知：當x1時，y0；當x3時，y0，即函數(shù)圖像與x軸的兩個交點為1,0和3,0，

1+3

由此可知：圖像對稱軸為：x==2，對照表格可知：當x2時，y1，

2

即頂點為(2,-1)，

故選：A．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標信息，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)畫出草

圖分析．

2

【變式2】（2022·山東日照·?？家荒＃┰O(shè)A2,y1，B1,y2，C2,y3是拋物線yx12上的三點，

則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）

A．y1y2y3B．y1y3y2

C．y3y2y1D．y3y1y2

【答案】A

【分析】把點的坐標分別代入拋物線解析式可求得y1，y2，y3的值，比較大小即可．

2

【詳解】解：∵A2,y1，B1,y2，C2,y3是拋物線yx12上的三點，

222

∴y1(21)21，y2(11)22，y3(21)27，

∵1＞-2＞-7，

∴y1y2y3，

故選：A．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵．

22=2

【變式3】（2021·陜西西安·?？寄M預測）在同一坐標系中，二次函數(shù)y1a1x，y2a2x，y3a3x的圖

.

象如圖，則a1，a2，a3的大小關(guān)系為______（用“”連接）

第16頁共80頁.

【答案】a1a2a3

【分析】拋物線的開口方向和開口大小由a的值決定的，系數(shù)絕對值越大，開口越小．

【詳解】解：∵拋物線開口都向上，

∴二次項系數(shù)都大于0.

2=2

二次函數(shù)y1a1x的開口最小，二次函數(shù)y3a3x的開口最大，

a1a2a3，

故答案為：a1a2a3．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．熟練掌握拋物線開口大小

與|a|有關(guān)，|a|越大圖象開口越小，|a|越小圖象開口越大是解答本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·廣西·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，

0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍是______．

32

【答案】a

425

【分析】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，當頂點C與D點重合，可以知道頂點坐

標為（1，3）且拋物線過（﹣1，0），則它與x軸的另一個交點為（3，0），由此可求出a；當頂點C與F

點重合，頂點坐標為（3，2）且拋物線過（-2，0），則它與x軸的另一個交點為（8，0），由此也可求a，

然后由此可判斷a的取值范圍．

【詳解】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，

第17頁共80頁.

當頂點C與D點重合，頂點坐標為（1，3），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+3，

a(21)23031

由，解得﹣﹣；

2≤a≤

a(11)3043

當頂點C與F點重合，頂點坐標為（3，2），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣3）2+2，

a(23)22012

由，解得﹣﹣；

2≤a≤

a(13)20825

∵頂點可以在矩形內(nèi)部，

32

∴a．

425

32

故答案為：a

425

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線yax24ax2．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點坐標為_______；

(2)若當x滿足1x5時，y的最小值為6，求此時y的最大值．

【答案】(1)x2，0,2

42

(2)當a0時，y的最大值為12，當a<0時，y的最大值為

5

【分析】（1）根據(jù)對稱軸的表達式計算求值，再令x=0求得y值即可解答；

（2）分兩種情況討論：①當a0時，拋物線開口向上，可得x2時y取得最小值，進而可得拋物線解析式，

由對稱軸x=2可得，x=5時y取得最大值；②當a<0時，拋物線開口向下，可得可得x=5時y取得最小值，

x=2時y取得最大值，計算求值即可；

(1)

4a

解：拋物線yax24ax2的對稱軸為x=2，

2a

令x=0，則y=2，

∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，2）；

(2)

解：①當a0時，拋物線開口向上，

∴x2時，y取得最小值6，

第18頁共80頁.

4a8a26，解得a2，

∴該拋物線的解析式為y2x28x2，

∵5212，拋物線的對稱軸為x=2，

∴當x5時，y取得最大值，

2

y最大2585212；

②當a<0時，拋物線開口向下，

∵5212，拋物線的對稱軸為x=2，

∴當x5時，y取得最小值6，

8

25a20a26，解得a，

5

832

∴該拋物線的解析式為yx2x2，

55

當x2時，y取得最大值，

823242

y最大222=，

555

42

綜上所述，當a0時，y的最大值為12，當a<0時，y的最大值為；

5

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，求二次函數(shù)的最值，根據(jù)a的正負分類討論

是解題關(guān)鍵．

核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線

x=1，有以下結(jié)論：①abc<0；②若t為任意實數(shù)，則有abtat2b；③當圖象經(jīng)過點(1,3)時，方程

2

axbxc30的兩根為x1，x2（x1x2），則x13x20，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

第19頁共80頁.

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到b2a0，利用拋物線與y軸的交

點位置得到c＜0，則可對①進行判斷；利用二次函數(shù)當x=-1時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數(shù)

yax2bxc與直線y=3的一個交點為（1，3），利用對稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一

個交點為（-3，3），從而得到x1=-3，x2=1，則可對③進行判斷．

【詳解】∵拋物線開口向上，

∴a0，

b

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，即x1，

2a

∴b2a0，

∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，

∴c0，

∴abc<0，所以①正確；

∵x=1時，y有最小值，

∴abcat2btc（t為任意實數(shù)），即abtat2b，所以②正確；

∵圖象經(jīng)過點(1,3)時，代入解析式可得c33a，

22

方程axbxc30可化為ax2ax3a0，消a可得方程的兩根為x13，x21，

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴二次函數(shù)yax2bxc與直線y3的另一個交點為(3,3)，

x13，x21代入可得x13x20，

所以③正確．

綜上所述，正確的個數(shù)是3．

故選D．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，

拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當

a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋

物線與y軸交于（0，c）．

第20頁共80頁.

3

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+（ca≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x，

2

1

且經(jīng)過點（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點,y1，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b-3c=0；

2

④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

31

【分析】由對稱軸為x即可判斷①；根據(jù)點,y1，（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)

22

b31

過點（-1，0），得出a-b+c=0，對稱軸x，得出ab，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

2a23

以及拋物線的對稱性即可判斷④．

b3

【詳解】解：∵對稱軸x，

2a2

∴b=-3a，

∴3a+b=0，①正確；

1

∵拋物線開口向上，點,y1到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，

2

∴y1<y2，故②正確；

∵經(jīng)過點（-1，0），

∴a-b+c=0，

b3

∵對稱軸x，

2a2

1

∴ab，

3

1

∴bbc0，

3

∴3c=4b，

第21頁共80頁.

∴4b-3c=0，故③錯誤；

3

∵對稱軸x，

2

∴點（0，c）的對稱點為（3，c），

∵開口向上，

∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；

故選：C．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）

兩點．則下列四個結(jié)論正確的有___（填寫序號）．

①4a+b＝0；

②5a+3b+2c＞0；

3

③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則a的取值范圍是a；

4

④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有

3個．

【答案】①③④

【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個

問題.

【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，得：

c0c0

，解得：，

16a4bc0b4a

∴拋物線解析式為yax24ax．

①b4a，則4ab0，故①正確，符合題意；

②5a3b2c5a3(4a)7a，又a＞0，

∴7a0，故②錯誤，不符合題意；

③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則有3ax24ax，即一元二次方程ax24ax30

有實數(shù)根，

則16a24a3a(16a12)0，

∵a＞0，

第22頁共80頁.

3

∴16a120，解得：a，故③正確，符合題意；

4

④如圖，

∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，

一元二次方程可化為ax24axt0，即拋物線yax24ax與直線yt（t為常數(shù)，t≤0）的交點橫

坐標為整數(shù)，如圖，則橫坐標可為0，1，2，3，4，有3個t滿足．故④正確，滿足題意．

故答案為：①③④

【點睛】本題主要考查拋物線與坐標軸的交點、各項系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)

形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

知識點、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系

字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

bab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

b2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）

b2–4acb2–4ac>0與x軸有兩個交點

b2–4ac<0與x軸沒有交點

第23頁共80頁.

常用公式及方法：

（1）二次函數(shù)三種表達式：

表達式頂點坐標對稱軸

2