專題11 二次函數(shù)與圖形幾何綜合（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第三部分函數(shù)

專題11二次函數(shù)與圖形幾何綜合（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一線段問(wèn)題

核心考點(diǎn)二面積問(wèn)題

核心考點(diǎn)三角度問(wèn)題

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四特殊三角形判定問(wèn)題

核心考點(diǎn)五特殊四邊形判定問(wèn)題

核心考點(diǎn)六相似三角形判定問(wèn)題

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核心考點(diǎn)一線段問(wèn)題

例1（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

31

4,2．若拋物線y(xh)2k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點(diǎn)，且CDAB，則k的值

22

為_(kāi)________．

1

例2（2020·山東濱州·中考真題）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(h，－1)，與y軸交于點(diǎn)B(0,)，點(diǎn)F(2，1)

2

為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線l是過(guò)點(diǎn)C(0，－3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P(m，n)到直線l的距離

為d，求證：PF＝d；

（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D(4，3)，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)DFQ周長(zhǎng)

的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．△

第1頁(yè)共24頁(yè).

1.確定線段長(zhǎng)關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo)）：

①先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；

②再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；

③繼而表示出線段的長(zhǎng)度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)

軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確

定）．

2.線段數(shù)量關(guān)系問(wèn)題：

根據(jù)前面所得的線段長(zhǎng)的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排

除不符合題意的數(shù)值）．

3.線段最值問(wèn)題：

求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，首先聯(lián)想到“對(duì)稱性質(zhì)”，最常見(jiàn)的有

以下模型：

（1）定直線與兩定點(diǎn)

①同側(cè)和最小值問(wèn)題

②同側(cè)差最小值問(wèn)題

③同側(cè)差最大值問(wèn)題

④異側(cè)差最大值問(wèn)題

（2）角與定點(diǎn)

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①一定點(diǎn)與兩條直線上兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

②兩定點(diǎn)與兩條直線上兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【變式1】（2020·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A2，0，O0，0且有最小值1，若A點(diǎn)關(guān)

于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B點(diǎn)，過(guò)B作y軸平行線交拋物線于點(diǎn)C，在Rt△ABC的斜邊AC上有一動(dòng)點(diǎn)D，過(guò)D

作DEBC于E，DFAB于F，則EF的最小值為（）

8

A．5B．5C．25D．45

5

2

【變式2】（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x（a1≠0）

2

與拋物線C2：y＝a2x+bx（a2≠0）的交點(diǎn)P在第三象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于

PM2a1

點(diǎn)M，N．若＝，則的值是（）

PNna2

21

A．B．n﹣1C．nD．

nn1

【變式3】（2022·山東聊城·統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線yx2平移得到拋物線C，如圖所示，

且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0和B0,3，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足

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為Q，則OQPQ的最大值為_(kāi)_____．

【變式4】（2021·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE為∠BAD

的角平分線，F(xiàn)為AE上一動(dòng)點(diǎn)，M為DF的中點(diǎn)，連接BM，則BM的最小值是_____．

核心考點(diǎn)二面積問(wèn)題

例1（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)．若其圖象

上有且只有三點(diǎn)滿足SSSm，則m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

例2（2021·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線yax2bxc(a0)與x軸的交點(diǎn)為A(1,0)和B3,0，點(diǎn)

△

P1x1,y1，P2x2,y2是拋物線上不同于A,B的兩個(gè)點(diǎn)，記P1AB的面積為S1,P2AB的面積為S2．有下列結(jié)

論：①當(dāng)x1x22時(shí)，S1S2；②當(dāng)x12x2時(shí)，S1S2；③當(dāng)x12x221時(shí)，S1S2；④當(dāng)

x12x221時(shí)，S1S2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

第4頁(yè)共24頁(yè).

中考數(shù)學(xué)，最后的三道壓軸題，一般都會(huì)有一題考察二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)。本文只是針對(duì)?？嫉亩魏瘮?shù)面積問(wèn)

題進(jìn)行解析，其它類型在以后的文章中陸續(xù)上傳。解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)面積問(wèn)題，常用的方法有三種。

1、鉛垂高法：一般用來(lái)求圖形中三角形的面積；

2、平行法：平行法最關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，是平行線之間高的問(wèn)題，一般這種情況都是平移高到與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處，

最后用相似求值。

3、矩形覆蓋法：這是最容易想到的方法，但也是計(jì)算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一般不太

建議使用這種方法，龐大的計(jì)算量很容易出錯(cuò)。

【變式1】（2022·陜西西安·校聯(lián)考二模）已知拋物線y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

負(fù)半軸于點(diǎn)C，△ABC的面積為15，則該拋物線的對(duì)稱軸為（）

711

A．直線x＝2B．直線x＝﹣C．直線x＝D．直線x＝

232

【變式2】（2022·江蘇常州·?？家荒＃佄锞€y=x2上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，其橫坐標(biāo)分別為m、m1、m3，

則ABC的面積為（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？级＃┮阎獟佄锞€y=x22x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(6,y)在拋物線上，E是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BE十DE的值最小時(shí)，△ACE

的面積為是____

【變式4】（2022·遼寧·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，BC8，ABC的面積是24，在ABC中截出一個(gè)矩

形DEFG，其中E，F(xiàn)在BC邊上，D，G分別在邊AB，AC上．設(shè)DGx，那么，當(dāng)x__________時(shí)，

矩形DEFG的面積最大．

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核心考點(diǎn)三角度問(wèn)題

例1（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0，B3,0，

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PABABC，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

22

例2（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線ymxm3x(6m9)與x軸交于點(diǎn)A、B，

與y軸交于點(diǎn)C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBCS△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若ACQ45，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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題型歸納：

1、角度相等問(wèn)題

通過(guò)平行線，等腰等角，軸對(duì)稱、相似求解！

2、45°角問(wèn)題

通過(guò)等腰直角三角形、同弧所對(duì)圓周角等于90°圓心角的一半、平分直角等解題！

3、二倍角問(wèn)題

在求二倍角的問(wèn)題中，先根據(jù)等腰三角形和外角定理構(gòu)造二倍角，再利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算。

128

【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，拋物線yxx3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B兩

33

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D點(diǎn)為拋物線上第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ACD2ABC180時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

【變式2】（2021秋·河南·九年級(jí)河南省淮濱縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，拋物線yx22x3與x軸交于A，

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若E為射線CA上一點(diǎn)，F(xiàn)(m,n)為拋物線上一點(diǎn)，E、A是位于直線BF同側(cè)的不

同兩點(diǎn)，若SEFB2|n|，連接AF，F(xiàn)AEAEB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_________．

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【變式3】（2021秋·河南·九年級(jí)河南省淮濱縣第一中學(xué)校考期末）如圖，拋物線yx22x3與x軸交于A，

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若E為射線CA上一點(diǎn)，F(xiàn)(m,n)為拋物線上一點(diǎn)，E、A是位于直線BF同側(cè)的不

同兩點(diǎn)，若SEFB2|n|，連接AF，F(xiàn)AEAEB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_________．

1

【變式4】（2022·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=(x3)2-1的頂點(diǎn)為

4

A，直線l過(guò)點(diǎn)P（0，m）且平行于x軸，與拋物線交于點(diǎn)B和點(diǎn)C．若AB=AC，BAC=90°，則m=______．

∠

核心考點(diǎn)四特殊三角形判定問(wèn)題

例1（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yx26x5交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

點(diǎn)Dm，m1是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．

第8頁(yè)共24頁(yè).

例2（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2xm（a≠0）的圖象

與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．

(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

1、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問(wèn)題

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．因此，解等腰三角形的存

在性問(wèn)題時(shí)，通常要進(jìn)行分類討論。

2、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問(wèn)題

如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A為直角，②∠B為直角，③∠C為直角三種情況．因此，解直角

三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，通常要進(jìn)行分類討論。這類問(wèn)題有幾何法和代數(shù)法兩種方法，我們要根據(jù)具體情

況靈活選擇簡(jiǎn)便的方法。

3、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問(wèn)題

在解決等腰直角三角形存在性問(wèn)題時(shí)，往往要用到幾何和代數(shù)相結(jié)合的方法，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用等腰

直角三角形的幾何性質(zhì)及函數(shù)關(guān)系式列方程求解，

第9頁(yè)共24頁(yè).

【變式1】（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)溫州繡山中學(xué)校考期中）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交

于點(diǎn)G，正方形CDEF的邊CD在x軸上，E，F(xiàn)在拋物線上，連結(jié)GA，GB，ABG是正三角形，AB2，

則陰影部分的面積為（）

123

A．3B．33C．2D．2

223

【變式2】（2022春·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期中）如圖所示，已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交

于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c>3b；

2

③當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，a的值有2個(gè)；④當(dāng)BCD是直角三角形時(shí)，a＝．其中正確的個(gè)數(shù)（）

2

△△

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

123

【變式3】（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線yxx4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、

42

C，點(diǎn)M在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ABCMCB時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)___．

第10頁(yè)共24頁(yè).

【變式4】（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22x3與x軸交于A、

B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．點(diǎn)P為拋物線

對(duì)稱軸上一點(diǎn)．以BP為邊在BP的下方作等邊三角形VBPQ，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E的過(guò)程中，點(diǎn)Q

經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

核心考點(diǎn)五特殊四邊形判定問(wèn)題

例1（2021·廣西來(lái)賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)A(3,0)，B(1,0)，兩點(diǎn)C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2

上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D￠，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線

的解析式為_(kāi)_________．

第11頁(yè)共24頁(yè).

例2（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原

點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為1，點(diǎn)M(1,m)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B(0,1)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)PA，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PAB的面積為S，求S

與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)

出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

本考點(diǎn)主要考查平行四邊形、矩形、菱形與二次函數(shù)的綜合，主要考查平行四邊形、矩形、、菱形的性質(zhì)與

判定，把握對(duì)邊相等和對(duì)角線互相平分是解決本題的關(guān)鍵；

第12頁(yè)共24頁(yè).

【變式1】（2022秋·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線yx22x2

上運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C，以AC為對(duì)角線作矩形ABCD，連接BD，則對(duì)角線BD的最小值（）

A．0.5B．1C．1.5D．2

【變式2】（2022·四川眉山·校考一模）如圖，矩形OABC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，AB＝1．若拋物線y2x2c

與矩形OABC的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

【變式3】（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相互垂

直，AC+BD=10，則四邊形ABCD的最大面積是___________．

【變式4】（2022秋·重慶·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的

邊BC與x軸重合，頂點(diǎn)A、D在拋物線y4x2c上．若拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離比BC長(zhǎng)4，則c的值

為_(kāi)______．

第13頁(yè)共24頁(yè).

核心考點(diǎn)六相似三角形判定問(wèn)題

例1（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上

是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，

請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第14頁(yè)共24頁(yè).

例2（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)C(0，﹣3)，直線y＝﹣x+b經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的點(diǎn)，連接PA，PC，BAF的面積記為S1，PAC的面積記為S2，

3△△

當(dāng)S2＝S1時(shí)．求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

8

(3)如圖②，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與CDF相似時(shí)（AE

與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．△

根據(jù)相似三角形的判定方法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵；

2

【變式1】（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線yax3axba0，設(shè)該拋物線與x軸的交點(diǎn)為A5,0和

B，與y軸的交點(diǎn)為C，若ACO∽CBO，則tanCAB的值為（）

331014

A．B．C．D．

3257

第15頁(yè)共24頁(yè).

2

【變式2】（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)ymx4mx3m(m0的圖像與x軸交于A、

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，若CA平分OCB，則m的值為(）

23

A．3B．2C．D．

23

15

【變式3】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期末）已知過(guò)點(diǎn)B3,1的拋物線yx2xc與坐標(biāo)軸交于

22

點(diǎn)A、C如圖所示，連結(jié)AC，BC，AB，第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作AMMP交

y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且AMP與ABC相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

【變式4】（2022·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上

的動(dòng)點(diǎn)（不與正方形ABCD的端點(diǎn)重合），連接EF、BD，現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①若BCEDCF，則EF∥BD；

②若ECF45，則EFC可能為直角；

11

③若AFBEBC，則CE平分BCF；

24

④若EFEC，則AF的最大值為1.5．

其中正確的是______．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

第16頁(yè)共24頁(yè).

【新題速遞】

1

1．（2020秋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線是由yx2平移得到，它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且交x軸正半軸于點(diǎn)D，A

4

為OD上一點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊構(gòu)造OABC，點(diǎn)B6,n恰好落在拋物線上，連接CD

交AB于點(diǎn)E，若CEDE，則n等于（）

A．22B．3C．6D．9

2

2．（2022秋·湖北孝感·九年級(jí)漢川市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線L1:yabxc(a0)與x軸

只有一個(gè)公共點(diǎn)A(2,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0,4)，虛線為其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得拋

物線L2，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為（）

A．4B．2C．6D．8

3．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點(diǎn)P

是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PEAC于點(diǎn)E，PDBC于點(diǎn)D，當(dāng)四邊形CDPE的面積最大時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

1

4．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線yx22xc與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)

2

半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，點(diǎn)D，E分別是AB,BM的中點(diǎn)，若DEB與ACD的面積比為9∶10，則c

的值為（）

第17頁(yè)共24頁(yè).

35

A．B．2C．D．3

22

5．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交

于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P使△ACP

的面積最大，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

353333

A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）

222222

1

6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，拋物線ya(x2)23與y(x3)21交于點(diǎn)A(1,3)，過(guò)點(diǎn)A作x

122

軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C，則以下結(jié)論：①無(wú)論x取何值，y2的值總是正數(shù)．②a1．③

當(dāng)x0時(shí)，y2y14．④2AB3AC．其中正確結(jié)論是（）

A．①②B．①④C．③④D．①③

7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，拋物線yx22x3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y

軸交于點(diǎn)C，P是ABC的外接圓．點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且BDC=90，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．

第18頁(yè)共24頁(yè).

8．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P是拋物線yx22x2在第一象限上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分

別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____．

22

9．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y1x4x2與拋物線y2x2x的圖象

PM

相交于點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的平行線分別交y1，y2于點(diǎn)M、N，則的值是_____．

PN

1

10．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P拋物線yx2x4上一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線BC

2

的上方，D為對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，連接PC，PD，過(guò)點(diǎn)P作PNx軸，交BC于點(diǎn)M，則PCD的面

積的最大值為_(kāi)_______．

第19頁(yè)共24頁(yè).

22

11．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校考期中）二次函數(shù)yx的圖像如圖，點(diǎn)A位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，A2，A，…，

3013

An在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖像上，點(diǎn)C1，C2，C3，…，

Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖像上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3，…，四邊形

An1BnAnCn都是菱形，A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，菱形An1BnAnCn的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

12．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)

yx22x3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P點(diǎn)為該圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作直線BC的平行線，交x軸于點(diǎn)M．若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著拋物線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為

________．

13．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，二次函數(shù)yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0，B5,0，C0,5，

點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)D作x軸垂線交直線BC于E．

第20頁(yè)共24頁(yè).

(1)求此二次函數(shù)解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)

(2)連接CD，求三角形CDE的面積

(3)當(dāng)ax2bxc>0時(shí)，x的取值范圍是___________

14．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線yx24x5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交

于點(diǎn)C．

(1)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將拋物線yx24x5圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折，保留拋物線與x軸的交點(diǎn)和x軸下方圖像，

得到的新圖像記作M，圖像M與直線yt恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右四個(gè)交點(diǎn)依次記為D，E，F(xiàn)，G．若以

EF為直徑作圓，該圓記作圖像N