專題11 二次函數(shù)與圖形幾何綜合（6大考點）（原卷版）

第三部分函數(shù)

專題11二次函數(shù)與圖形幾何綜合（6大考點）

核心考點一線段問題

核心考點二面積問題

核心考點三角度問題

核心考點

核心考點四特殊三角形判定問題

核心考點五特殊四邊形判定問題

核心考點六相似三角形判定問題

新題速遞

核心考點一線段問題

例1（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0,2，點B的坐標為

31

4,2．若拋物線y(xh)2k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CDAB，則k的值

22

為_________．

1

例2（2020·山東濱州·中考真題）如圖，拋物線的頂點為A(h，－1)，與y軸交于點B(0,)，點F(2，1)

2

為其對稱軸上的一個定點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線l是過點C(0，－3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P(m，n)到直線l的距離

為d，求證：PF＝d；

（3）已知坐標平面內(nèi)的點D(4，3)，請在拋物線上找一點Q，使DFQ的周長最小，并求此時DFQ周長

的最小值及點Q的坐標．△

第1頁共24頁.

1.確定線段長關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點坐標）：

①先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點和未知點；

②再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點的坐標，使其只含一個未知數(shù)；

③繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫縱坐標相加減確定；如果與坐標

軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確

定）．

2.線段數(shù)量關(guān)系問題：

根據(jù)前面所得的線段長的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排

除不符合題意的數(shù)值）．

3.線段最值問題：

求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯(lián)想到“對稱性質(zhì)”，最常見的有

以下模型：

（1）定直線與兩定點

①同側(cè)和最小值問題

②同側(cè)差最小值問題

③同側(cè)差最大值問題

④異側(cè)差最大值問題

（2）角與定點

第2頁共24頁.

①一定點與兩條直線上兩動點問題

②兩定點與兩條直線上兩動點問題

【變式1】（2020·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過A2，0，O0，0且有最小值1，若A點關(guān)

于y軸的對稱點為B點，過B作y軸平行線交拋物線于點C，在Rt△ABC的斜邊AC上有一動點D，過D

作DEBC于E，DFAB于F，則EF的最小值為（）

8

A．5B．5C．25D．45

5

2

【變式2】（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝a1x（a1≠0）

2

與拋物線C2：y＝a2x+bx（a2≠0）的交點P在第三象限，過點P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于

PM2a1

點M，N．若＝，則的值是（）

PNna2

21

A．B．n﹣1C．nD．

nn1

【變式3】（2022·山東聊城·統(tǒng)考二模）平面直角坐標系中，將拋物線yx2平移得到拋物線C，如圖所示，

且拋物線C經(jīng)過點A1,0和B0,3，點P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足

第3頁共24頁.

為Q，則OQPQ的最大值為______．

【變式4】（2021·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE為∠BAD

的角平分線，F(xiàn)為AE上一動點，M為DF的中點，連接BM，則BM的最小值是_____．

核心考點二面積問題

例1（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y2x28x6的圖象交x軸于A,B兩點．若其圖象

上有且只有三點滿足SSSm，則m的值是（）

P1,P2,P3ABP1ABP2ABP3

3

A．1B．C．2D．4

2

例2（2021·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線yax2bxc(a0)與x軸的交點為A(1,0)和B3,0，點

△

P1x1,y1，P2x2,y2是拋物線上不同于A,B的兩個點，記P1AB的面積為S1,P2AB的面積為S2．有下列結(jié)

論：①當x1x22時，S1S2；②當x12x2時，S1S2；③當x12x221時，S1S2；④當

x12x221時，S1S2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

第4頁共24頁.

中考數(shù)學，最后的三道壓軸題，一般都會有一題考察二次函數(shù)動點。本文只是針對?？嫉亩魏瘮?shù)面積問

題進行解析，其它類型在以后的文章中陸續(xù)上傳。解決二次函數(shù)動點面積問題，常用的方法有三種。

1、鉛垂高法：一般用來求圖形中三角形的面積；

2、平行法：平行法最關(guān)鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移高到與坐標軸交點處，

最后用相似求值。

3、矩形覆蓋法：這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減小去解決，一般不太

建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

【變式1】（2022·陜西西安·校聯(lián)考二模）已知拋物線y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1與x軸交于A、B兩點，與y軸交

負半軸于點C，△ABC的面積為15，則該拋物線的對稱軸為（）

711

A．直線x＝2B．直線x＝﹣C．直線x＝D．直線x＝

232

【變式2】（2022·江蘇常州·?？家荒＃佄锞€y=x2上有三個點A、B、C，其橫坐標分別為m、m1、m3，

則ABC的面積為（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2022·吉林長春·?？级＃┮阎獟佄锞€y=x22x3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）

與y軸交于點C，點D(6,y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當BE十DE的值最小時，△ACE

的面積為是____

【變式4】（2022·遼寧·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，BC8，ABC的面積是24，在ABC中截出一個矩

形DEFG，其中E，F(xiàn)在BC邊上，D，G分別在邊AB，AC上．設(shè)DGx，那么，當x__________時，

矩形DEFG的面積最大．

第5頁共24頁.

核心考點三角度問題

例1（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A1,0，B3,0，

與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點P，使PABABC，若存在請直接寫出點P的坐標．若不存在，請說明理由．

22

例2（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線ymxm3x(6m9)與x軸交于點A、B，

與y軸交于點C，已知B(3,0)．

（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）P為拋物線上一點，若S△PBCS△ABC，請直接寫出點P的坐標；

（3）Q為拋物線上一點，若ACQ45，求點Q的坐標．

第6頁共24頁.

題型歸納：

1、角度相等問題

通過平行線，等腰等角，軸對稱、相似求解！

2、45°角問題

通過等腰直角三角形、同弧所對圓周角等于90°圓心角的一半、平分直角等解題！

3、二倍角問題

在求二倍角的問題中，先根據(jù)等腰三角形和外角定理構(gòu)造二倍角，再利用三角函數(shù)（一般用正切）計算。

128

【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線yxx3與x軸交于點A和點B兩

33

點，與y軸交于點C，D點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，當ACD2ABC180時，點D的坐標為（）

16

A．(8,3)B．(7,)C．(6,7)D．(5,8)

3

【變式2】（2021秋·河南·九年級河南省淮濱縣第一中學?？计谀┤鐖D，拋物線yx22x3與x軸交于A，

B兩點，與y軸交于點C．若E為射線CA上一點，F(xiàn)(m,n)為拋物線上一點，E、A是位于直線BF同側(cè)的不

同兩點，若SEFB2|n|，連接AF，F(xiàn)AEAEB，則點E的坐標為__________．

第7頁共24頁.

【變式3】（2021秋·河南·九年級河南省淮濱縣第一中學?？计谀┤鐖D，拋物線yx22x3與x軸交于A，

B兩點，與y軸交于點C．若E為射線CA上一點，F(xiàn)(m,n)為拋物線上一點，E、A是位于直線BF同側(cè)的不

同兩點，若SEFB2|n|，連接AF，F(xiàn)AEAEB，則點E的坐標為__________．

1

【變式4】（2022·吉林·吉林省實驗?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y=(x3)2-1的頂點為

4

A，直線l過點P（0，m）且平行于x軸，與拋物線交于點B和點C．若AB=AC，BAC=90°，則m=______．

∠

核心考點四特殊三角形判定問題

例1（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線yx26x5交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，

點Dm，m1是拋物線上的點，則點D關(guān)于直線AC的對稱點的坐標為_________．

第8頁共24頁.

例2（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2xm（a≠0）的圖象

與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B坐標為（0，－4），點C坐標為（2，0）．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．

(2)點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？

若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標．

1、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．因此，解等腰三角形的存

在性問題時，通常要進行分類討論。

2、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題

如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A為直角，②∠B為直角，③∠C為直角三種情況．因此，解直角

三角形的存在性問題時，通常要進行分類討論。這類問題有幾何法和代數(shù)法兩種方法，我們要根據(jù)具體情

況靈活選擇簡便的方法。

3、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問題

在解決等腰直角三角形存在性問題時，往往要用到幾何和代數(shù)相結(jié)合的方法，設(shè)出點的坐標后，利用等腰

直角三角形的幾何性質(zhì)及函數(shù)關(guān)系式列方程求解，

第9頁共24頁.

【變式1】（2022秋·浙江溫州·九年級溫州繡山中學?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交

于點G，正方形CDEF的邊CD在x軸上，E，F(xiàn)在拋物線上，連結(jié)GA，GB，ABG是正三角形，AB2，

則陰影部分的面積為（）

123

A．3B．33C．2D．2

223

【變式2】（2022春·黑龍江大慶·九年級校考期中）如圖所示，已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交

于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c>3b；

2

③當ABC是等腰三角形時，a的值有2個；④當BCD是直角三角形時，a＝．其中正確的個數(shù)（）

2

△△

A．0個B．1個C．2個D．3個

123

【變式3】（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線yxx4與坐標軸交于點A、B、

42

C，點M在直線BC下方的拋物線上運動，當ABCMCB時，點M的坐標為____．

第10頁共24頁.

【變式4】（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx22x3與x軸交于A、

B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．點P為拋物線

對稱軸上一點．以BP為邊在BP的下方作等邊三角形VBPQ，則當點P從點D運動到點E的過程中，點Q

經(jīng)過路徑的長度為______．

核心考點五特殊四邊形判定問題

例1（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點A(3,0)，B(1,0)，兩點C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2

上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應(yīng)點分別為C，D￠，當四邊形ABCD的周長最小時，拋物線

的解析式為__________．

第11頁共24頁.

例2（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于O（O為坐標原

點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為1，點M(1,m)是其對稱軸上一點，y軸上一點B(0,1)．

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結(jié)PA，PB，設(shè)點P的橫坐標為t，PAB的面積為S，求S

與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫

出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．

本考點主要考查平行四邊形、矩形、菱形與二次函數(shù)的綜合，主要考查平行四邊形、矩形、、菱形的性質(zhì)與

判定，把握對邊相等和對角線互相平分是解決本題的關(guān)鍵；

第12頁共24頁.

【變式1】（2022秋·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線yx22x2

上運動．過點A作ACx軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值（）

A．0.5B．1C．1.5D．2

【變式2】（2022·四川眉山·?？家荒＃┤鐖D，矩形OABC，點A的坐標為2,0，AB＝1．若拋物線y2x2c

與矩形OABC的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）．

A．c＞8或c＜－1B．－1＜c＜8C．c＞1或c＜－8D．－8＜c＜1

【變式3】（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD相互垂

直，AC+BD=10，則四邊形ABCD的最大面積是___________．

【變式4】（2022秋·重慶·九年級重慶巴蜀中學?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的

邊BC與x軸重合，頂點A、D在拋物線y4x2c上．若拋物線的頂點到x軸的距離比BC長4，則c的值

為_______．

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核心考點六相似三角形判定問題

例1（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點，交y軸于

點C(0，3)，頂點D的橫坐標為1．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在y軸的負半軸上是否存在點P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說

明理由；

(3)過點C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上

是否存在一點M，過點M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點為頂點的三角形與ΔADE相似？若存在，

請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．

第14頁共24頁.

例2（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點A(3，0)，點C(0，﹣3)，直線y＝﹣x+b經(jīng)

過點A，交拋物線于點E．拋物線的對稱軸交AE于點B，交x軸于點D，交直線AC于點F．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，點P為直線AC下方拋物線上的點，連接PA，PC，BAF的面積記為S1，PAC的面積記為S2，

3△△

當S2＝S1時．求點P的橫坐標；

8

(3)如圖②，連接CD，點Q為平面內(nèi)直線AE下方的點，以點Q，A，E為頂點的三角形與CDF相似時（AE

與CD不是對應(yīng)邊），請直接寫出符合條件的點Q的坐標．△

根據(jù)相似三角形的判定方法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵；

2

【變式1】（2021春·九年級課時練習）拋物線yax3axba0，設(shè)該拋物線與x軸的交點為A5,0和

B，與y軸的交點為C，若ACO∽CBO，則tanCAB的值為（）

331014

A．B．C．D．

3257

第15頁共24頁.

2

【變式2】（2021春·九年級課時練習）如圖，已知二次函數(shù)ymx4mx3m(m0的圖像與x軸交于A、

B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，若CA平分OCB，則m的值為(）

23

A．3B．2C．D．

23

15

【變式3】（2022秋·浙江寧波·九年級校考期末）已知過點B3,1的拋物線yx2xc與坐標軸交于

22

點A、C如圖所示，連結(jié)AC，BC，AB，第一象限內(nèi)有一動點M在拋物線上運動，過點M作AMMP交

y軸于點P，當點P在點A上方，且AMP與ABC相似時，點M的坐標為______．

【變式4】（2022·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB4，點E、F分別是邊AB、AD上

的動點（不與正方形ABCD的端點重合），連接EF、BD，現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①若BCEDCF，則EF∥BD；

②若ECF45，則EFC可能為直角；

11

③若AFBEBC，則CE平分BCF；

24

④若EFEC，則AF的最大值為1.5．

其中正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

第16頁共24頁.

【新題速遞】

1

1．（2020秋·九年級統(tǒng)考期末）拋物線是由yx2平移得到，它經(jīng)過原點O，且交x軸正半軸于點D，A

4

為OD上一點，C為拋物線上一點，以O(shè)A，OC為邊構(gòu)造OABC，點B6,n恰好落在拋物線上，連接CD

交AB于點E，若CEDE，則n等于（）

A．22B．3C．6D．9

2

2．（2022秋·湖北孝感·九年級漢川市實驗中學校考階段練習）如圖，拋物線L1:yabxc(a0)與x軸

只有一個公共點A(2,0)，與y軸交于點B(0,4)，虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋

物線L2，則圖中兩個陰影部分的面積和為（）

A．4B．2C．6D．8

3．（2023·河北·九年級專題練習）如圖，在ABC中，ACB90，BC邊在x軸上，A(1,4),B(7,0)．點P

是AB邊上一點，過點P分別作PEAC于點E，PDBC于點D，當四邊形CDPE的面積最大時，點P

的坐標為（）

35

A．4,B．2,C．(2,3)D．(3,2)

22

1

4．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線yx22xc與x軸交于點A，B兩點，與y軸負

2

半軸交于點C，其頂點為M，點D，E分別是AB,BM的中點，若DEB與ACD的面積比為9∶10，則c

的值為（）

第17頁共24頁.

35

A．B．2C．D．3

22

5．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校魏瘮?shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交

于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上一動點，若點P使△ACP

的面積最大，則點P的坐標為（）

353333

A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）

222222

1

6．（2023春·九年級單元測試）如圖，拋物線ya(x2)23與y(x3)21交于點A(1,3)，過點A作x

122

軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C，則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)．②a1．③

當x0時，y2y14．④2AB3AC．其中正確結(jié)論是（）

A．①②B．①④C．③④D．①③

7．（2022秋·九年級單元測試）如圖，拋物線yx22x3與x軸交于點A、B（點A在點B的右側(cè)），與y

軸交于點C，P是ABC的外接圓．點D在拋物線的對稱軸上，且BDC=90，則點D的坐標是________．

第18頁共24頁.

8．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，點P是拋物線yx22x2在第一象限上的點，過點P分

別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的最大值為______．

22

9．（2022秋·河南安陽·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線y1x4x2與拋物線y2x2x的圖象

PM

相交于點P，過P作x軸的平行線分別交y1，y2于點M、N，則的值是_____．

PN

1

10．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，點P拋物線yx2x4上一點，且點P位于直線BC

2

的上方，D為對稱軸與直線BC的交點，連接PC，PD，過點P作PNx軸，交BC于點M，則PCD的面

積的最大值為________．

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22

11．（2022秋·湖北黃岡·九年級校考期中）二次函數(shù)yx的圖像如圖，點A位于坐標原點，點A，A2，A，…，

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An在y軸的正半軸上，點B1，B2，B3，…，Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖像上，點C1，C2，C3，…，

Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖像上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3，…，四邊形

An1BnAnCn都是菱形，A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，菱形An1BnAnCn的周長為______．

12．（2022秋·湖北武漢·九年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)

yx22x3的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，P點為該圖象在第一象限內(nèi)的一點，過點P

作直線BC的平行線，交x軸于點M．若點P從點C出發(fā)，沿著拋物線運動到點B，則點M經(jīng)過的路程為

________．

13．（2022秋·遼寧大連·九年級?？计谀┤鐖D，二次函數(shù)yax2bxc經(jīng)過點A1,0，B5,0，C0,5，

點D是拋物線的頂點，過D作x軸垂線交直線BC于E．

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(1)求此二次函數(shù)解析式及點D坐標

(2)連接CD，求三角形CDE的面積

(3)當ax2bxc>0時，x的取值范圍是___________

14．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線yx24x5與x軸交于點A和點B，與y軸交

于點C．

(1)求出A、B、C三點的坐標；

(2)將拋物線yx24x5圖像x軸上方部分沿x軸向下翻折，保留拋物線與x軸的交點和x軸下方圖像，

得到的新圖像記作M，圖像M與直線yt恒有四個交點，從左到右四個交點依次記為D，E，F(xiàn)，G．若以

EF為直徑作圓，該圓記作圖像N