專題24 圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似（5大考點）（原卷版）

第六部分圖形的變化

專題24圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似

核心考點一軸對稱圖形與中心對稱圖形

核心考點二圖形的對稱（含折疊）及其相關(guān)計算

核心考點核心考點三圖形的平移及其相關(guān)計算

核心考點四圖形的旋轉(zhuǎn)及其相關(guān)計算

核心考點五圖形的位似及其相關(guān)計算

新題速遞

核心考點一軸對稱圖形與中心對稱圖形

例1（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）在如圖所示的RtABC紙片中，ACB90，D是斜邊AB的中點，

把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若AE∥DC，B，則EAC等于（）

1

A．B．90C．D．902

2

例2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是(3,3)，

則A點的坐標是___________．

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例3（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①，圖②均是44的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．其

中點A，B，C均在格點上．請在給定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．

(1)在圖①中，找一格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形；

(2)在圖②中，找一格點E，使以點A，B，C，E為頂點的四邊形是中心對稱圖形．

軸對稱圖形是指一條軸線的兩邊完全對稱的圖形，形狀都完全對稱。

中心對稱：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，那么

就說明這兩個圖形的形狀關(guān)于這個點成中心對稱，這個點叫做它的對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后重合的兩個點叫

做對稱點。

中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，

那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

1

【變式1】（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線yx2與x軸，y軸分別交于

2

點M，點N，矩形ABCD的頂點A,D分別在x軸，y軸上，對角線BD∥x軸，已知A2,0，D0,4.現(xiàn)將

直線MN向上平移m個單位長度，使平移后的直線恰好平分矩形ABCD的面積，則m的值為（）

1715

A．B．8C．9D．

22

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【變式2】（2023·海南省直轄縣級單位·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為(1,1)，

(3,0)，(2,1)，點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點M1，使得點M1與點O關(guān)于點A成中心對稱；第

二次跳躍到點M2，使得點M2與點M1關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點M3，使得點M3與點M2關(guān)于

點C成中心對稱；第四次跳躍到點M4，使得點M4與點M3關(guān)于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點M2022

的坐標是___．

【變式3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）如圖，拋物線L1：yax2bx6與x軸分別交于點

A3,0，點B2,0，與y軸交于點C，連接AC．

(1)求拋物線L1的表達式；

(2)若拋物線L2與拋物線L1關(guān)于原點O對稱，點P是第四象限拋物線L2上的點，過點P作PDy軸于點D，

連接PO．若AOC與POD相似，求點P的坐標．

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核心考點二圖形的對稱（含折疊）及其相關(guān)計算

例1（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一張

矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個相等的矩形再把

紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），

CDDEDEAC

展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為

DEADNDAD

51的是（）

2

A．①②B．①③C．②④D．②③

例2（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，E、

F分別是邊AB、OA上的點，且∠ECF＝45°，將△ECF沿著CF翻折，點E落在x軸上的點D處．已知反

k1k2

比例函數(shù)y1＝和y2＝分別經(jīng)過點B、點E，若SCOD＝5，則k1﹣k2＝_____．

xx

△

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例3（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC巾，ABC30，ABAC，點O為BC的中點，點D

是線段OC上的動點（點D不與點O，C重合），將ACD沿AD折疊得到AED，連接BE．

(1)當AEBC時，AEB___________；

(2)探究AEB與CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)設(shè)AC4，ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

【變式1】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預測）點D是等邊三角形ABC的邊AB上的一點，且

5

AD1，BD2，現(xiàn)將ABC折疊，使點C與點D重合，折痕為EF，點E，F(xiàn)分別在AC和BC上，若BF，

4

則CE的長為（）

57123

A．B．C．D．

3555

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【變式2】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，已知正方形紙片ABCD的邊AB4，點P在AD邊上，將A

沿BP折疊，點A的應(yīng)點為A．

（1）若AD∥BP時，PA的長為___________；

（2）若點A到邊AD或BC的距離為1，則線段PA的長為_________．

【變式3】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD，點E是BC上的點，連接DE，將CDE沿DE

翻折，點C恰好落在AB邊上的F點上，連接DF，延長FE，交DC延長線于點G．

(1)求證：△DFG∽△FAD；

(2)若菱形ABCD的邊長為5，AF3，求BE的長．

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核心考點三圖形的平移及其相關(guān)計算

例1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ABC、等邊DEF的邊長分別為3和2．開始時點A

與點D重合，DE在AB上，DF在AC上，DEF沿AB向右平移，當點D到達點B時停止．在此過程中，

設(shè)ABC、DEF重合部分的面積為y，DEF移動的距離為x，則y與x的函數(shù)圖象大致為（）

A．B．

C．D．

例2（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對

1

應(yīng)點A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是_____．

3

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例3（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在

平面直角坐標系中，ABC的三個頂點坐標分別為A1,1，B2,5，C5,4．

(1)將ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫

出點A1的坐標；

△

(2)畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到A2B2C1，并寫出點A2的坐標；

(3)在（2）的條件下，求點A1旋轉(zhuǎn)到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．

【變式1】（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D，在ABC中，BC3，將ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，

PQ

點P，Q分別是AB，A1C1的中點，的值不．可．以．是()

A．4B．5C．6D．7

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【變式2】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，長為3的線段CD（點D在點C右側(cè)）

在x軸上移動，點A0,2、B0,4是y軸上定點，連接AC、BD，則ACBD的最小值為________．

【變式3】（2021·江西宜春·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點B的坐標是（3，4），BAx軸于點

k

A，點B在反比例函數(shù)y(k0,x0)的圖象上，將△OAB沿x軸向右平移得到OAB，OB交反比例函

x

k

y于點C（3a，a）．

x

(1)求a的值；

(2)求△OAB沿x軸向右平移的距離．

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核心考點四圖形的旋轉(zhuǎn)及其相關(guān)計算

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，直線y3x3與x軸交于點A，與y軸

交于點B，將AOB繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖△AOB的位置，A的對應(yīng)點A恰好落在直線AB上，連接BB，

則BB的長度為（）

333

A．B．3C．2D．

22

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x

軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是__________．

例3（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）已知ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，

CD．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)在線段AC上任取一點Р（端點除外），連接PD．將線段PD繞點Р逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線

上的點Q處．請?zhí)骄浚寒旤cР在線段AC上的位置發(fā)生變化時，DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．

(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

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【變式1】（2023·吉林長春·長春市解放大路學校?？寄M預測）如圖，在ABC中，ABAC，將ABC以

點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F．下列結(jié)論：①△AFE∽△DFC；

②DA平分BDE；③CDFBAD，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【變式2】（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BC，連

接CC，DC，若CCD90，AB5，則線段CD的長度為______．

【變式3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB4，點D是線段AB延長線上

的一個動點，直線DF垂直于射線AB于點D，在直線DF上選取一點C（點C在點D的上方），使CDOA，

將射線CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(090)．

(1)若OD5，求點C與點O之間距離的最小值；

(2)當射線DC與O相切于點C時，求劣弧BC的長度；

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核心考點五圖形的位似及其相關(guān)計算

例1（2022·山東威海·統(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為()

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC和DEF是以點O為位似中心的位似圖形．若

OA:AD2:3，則ABC與DEF的周長比是_________．

例3（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，

把小正方形的頂點叫做格點，O為平面直角坐標系的原點，矩形OABC的4個頂點均在格點上，連接對角

線OB．

（1）在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為位似中心，把OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

1

圖形與OAB的相似比等于；

2

（2）將OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到OA1B1，作出OA1B1，并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過程中所

形成扇形的周長．

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兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，并且對應(yīng)邊互相平行或位于同一直線上，像

這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。

有必要聲明，位似圖形的標準定義應(yīng)是：如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點連線相交于一點，對

應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心。

【變式1】（2023·河南商丘·校考一模）如圖，AOB的頂點O在原點上，頂點A的坐標為3，1，

BAO90，ABOA，點P為OB上一點，且OP3BP，將AOB向右平移，當點P的對應(yīng)點P落在反

4

比例函數(shù)y（x0）上時，則點P′的坐標為（）

x

44

A．（2，3）B．（3，2）C．(3,)D．(,3)

33

【變式2】（2022·浙江溫州·瑞安市安陽鎮(zhèn)濱江中學?？既＃┤鐖D，已知YABCD的面積為24，以B為位

2

似中心，作YABCD的位似圖形YEBFG，位似圖形與原圖形的位似比為，連接AG、DG．則△ADG的

3

面積為________．

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【變式3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，把以格點為頂點的三角形稱為格點三

角形（每個小方格都是邊長為1的正方形）．圖中ABC是格點三角形，點A，B，C的坐標分別是3,1，

2,3，0,2．

(1)畫出ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90得到的△A1B1C1；

△△

(2)以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將ABC放大為原來的2倍，得到A2B2C2，畫出A2B2C2；

(3)ABC內(nèi)有一點Pa,b，直接寫出經(jīng)過（2）位似變換后點P的對應(yīng)點P2的坐標．

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【新題速遞】

1．（2022·廣東揭陽·校考模擬預測）如圖，把ABC按逆時針轉(zhuǎn)動一定的角度至AB'C'，其中屬于旋轉(zhuǎn)角

的是（）

A．BACB．C'AB'C．BAB'D．BAC'

2．（2023·廣東廣州·執(zhí)信中學?？家荒＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，ABC90，BABC，將BC繞點B

順時針旋轉(zhuǎn)090，得到BP，連結(jié)CP，過點A作AHCP交CP的延長線于點H，連結(jié)AP，則PAH

的度數(shù)（）

A．30B．45C．60D．隨若的變化而變化

3．（2023·天津南開·南開翔宇學校校考一模）如圖，ODC是由OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，

若點D恰好落在AB上，且AOC102，則B的大小是（）

A．28°B．30°C．33°D．42°

4．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）如圖，菱形OACB的邊OB在x軸上，點A的坐標為1,3，若菱形OACB

繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45，則第60秒時，點C的對應(yīng)點C60的坐標為（）

A．3,3B．3,3C．3,2D．2,3

第15頁共23頁.

5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）約定：若函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，則把該函數(shù)稱為“黃

金函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“黃金點”．若點A1,m，Bn,4是關(guān)于x的“黃金函

2

數(shù)”yaxbxca0上的一對“黃金點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x2的右側(cè)，有結(jié)論

11

①ac0；②b4；③abc0；④1a0．則下列結(jié)論正確的是（）

42

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

6．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，OAB為等腰三角形，OAAB5，點B到

x軸的距離為4．若將OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OAB，當點B恰好落在y軸正半軸上時，點A的坐

標為（）△

，25，10

A．525B．C．(2,4)D．(3,5)

33

7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，點D為EF的中點，若

AB25，連接BF，則BF的長為（）

A．45B．215C．53D．217

8．（2022·廣東深圳·深圳市福田區(qū)實驗教育集團僑香學校校考一模）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂

點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，連接BD分別交AE，AF于點M，N，下列

說法：

①EAF45；

②連接MG，NG，則MGN為直角三角形；

③AMN∽AFE；

第16頁共23頁.

5

④若BE2，F(xiàn)D3，則MN的長為2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

2

A．4B．3C．2D．1

1

9．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點A，將線段OA沿x軸向右平移至OA，

x

k

反比例函數(shù)yk0的圖象經(jīng)過點A．若線段OA掃過的面積為2，則k的值為__________

x

10．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考三模）如圖，已知在平面直角坐標系中，點B的坐標是0,4，

OBA60，點A在x軸正半軸上．將Rt△ABO中沿著直線AB平移得到RtABO，當OBOA最小時，

Rt△ABO和RtABO的重疊部分面積是___________．

11．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A0,3，B1,0，將線段AB先沿x軸

正方向平移，然后沿y軸正方向平移，得到線段DC，連接點B及其對應(yīng)點C，若ABC90，BC2AB，

則點D的坐標是______．

第17頁共23頁.

12．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，B45，C60，D為線段AB的中點，點E，F(xiàn)

分別在AC，BC上，BF3FC，且EF∥AB，沿DE將VADE折疊得到△GDE，若AE23，則AG的長

是______．

13．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖．已知正方形紙片ABCD的邊AB4，點P在AD邊上，將A沿BP折

疊，點A的應(yīng)點為A．

（1）若AD∥BP時，PA的長為______﹔

（2）若點A到邊AD或BC的距離為1，則線段PA的長為______．

14．（2023·河南周口·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB9，AD43，E為射線BA上一點，將BEC沿

翻折，使點落在點處，若，則＝．

CEBFSDCF93BE_____

15．（2023·山東菏澤·?？家荒＃┤鐖D，在RtAOB中，直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半

k

軸上，將AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到AOB，且反比例函數(shù)y的圖象恰好經(jīng)過斜邊AB的中

x

點C，若SABO=4，tanBAO=2，則k=_____．

第18頁共23頁.

1

16．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）在ABC中，ACB90，AB5，tanBAC，把ABC繞點C逆時

2

針旋轉(zhuǎn)得到△ABC，點A的對應(yīng)點為A，若△AAC為直角三角形，連接AB，則線段AB的長為_____．

17．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙

中建立如圖所示的平面直角坐標系，ABC的頂點都在格點上，且三個頂點的坐標分別為A0,3，B3,4，

C2,2．

(1)畫出ABC關(guān)于原點O的中心對稱圖形ABC，并寫出點B的對應(yīng)點B的坐標．

(2)畫出將ABC繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后的圖形△ABC．

第19頁共23頁.

18．（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）“垃圾入桶，保護環(huán)境從我做起”，如圖所示的是某款垃圾桶側(cè)面展示圖，

ADDC40cm,GD30cm,GF20cm，AGDCDGF90，桶蓋GFEC可以繞點G逆時針方向

旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為40時，桶蓋GFEC落在GFEC的位置．

(1)求在桶蓋旋轉(zhuǎn)過程中，點C運動軌跡的長度．

(2)求點F到地面AB的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin400.64,cos400.77,tan400.84）

19．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的周長為20cm，將對角線AC繞點A

順時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段AE，連接CE，設(shè)邊ABxcm（1≤x≤6），△AEC的面積為ycm2．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式：

(2)下表列出了部分點，先直接寫出m的值為_______，并在圖2中利用描點法畫出此函數(shù)圖象；

x123456

y4134292625m

(3)結(jié)合圖象，指出在x的變化過程中，y的最小值為_______；并寫出在整個變化過程中，點E到直線AD的

最小距離為_______cm．

第20頁共23頁.

20．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪

開，再把ABC沿著AD方向平移，得到ABC．設(shè)平移的距離為xcm，兩個三角形重疊部分(陰影四邊

形)的面積為Scm2

(1)當x1時，求S的值．

(2)試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

(3)是否存在x的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：2？如果存在，請求出此時的平移距離x；

如果不存在，請說明理由．