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專題07解題技巧專題:與絕對(duì)值化簡(jiǎn)的有關(guān)問(wèn)題壓軸題五種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
【典型例題】....................................................................................................................................................1
【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】......................................................................................................................1
【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】......................................................................................................................1
【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】......................................................................................................................3
【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】..............................................................................................................4
【考點(diǎn)四解含絕對(duì)值的方程】..........................................................................................................................7
【典型例題】
【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】
例題:(2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))若x5y80,則xy.
【變式訓(xùn)練】
1.(2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))若(a1)2|ab4|0,則a,b.
2
2.(2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若(a2)+b3=0,則ab的值是.
3.(2023·河北秦皇島·校考一模)已知a,b都是實(shí)數(shù).若|a1|(b2)20,則ab.
4.(2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))若有理數(shù)a,b滿足a20b190,則ab.
【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】
例題:(2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,試化簡(jiǎn)下式:
abbcac.
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【變式訓(xùn)練】
1.(2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè))已知a、b、c的大致位置如圖所示:化簡(jiǎn)ab的結(jié)果是()
A.a(chǎn)bB.a(chǎn)bC.a(chǎn)bD.a(chǎn)b
2.(2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上位置如圖,則化簡(jiǎn)caabbc的
值為()
A.2cB.2bC.0D.2c
3.(2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽(tīng)示,化簡(jiǎn):
|2x2023||x|.
4.(2023秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn)bbaa1的結(jié)
果為.
5.(2023春·黑龍江大慶·六年級(jí)校考階段練習(xí))已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn)
|ac||a2b||c2b|的結(jié)果是.
6.(2023春·上海·六年級(jí)專題練習(xí))如圖,已知a、b、c在數(shù)軸上的位置.
a
(1)a+b0,abc0,0.填(“>”或“<”)
c
a
(2)如果a、c互為相反數(shù),求=.
c
(3)化簡(jiǎn):|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|.
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【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】
例題:(2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校??计谥校┮阎猘、b、c均為不等式0的有理數(shù),則
abc
的值為.
abc
【變式訓(xùn)練】
|a||b|
1.(2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))若有理數(shù)a,b滿足ab0,則的值為.
ab
abc
2.(2023春·廣東河源·七年級(jí)??奸_(kāi)學(xué)考試)若n,abc0,則n的值為.
abc
3.(2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè))請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì),解決下面問(wèn)題:
ab
(1)已知a,b是有理數(shù),當(dāng)a0時(shí),則_______;當(dāng)b0時(shí),則_______.
|a||b|
bcacab
(2)已知a,b,c是有理數(shù),abc0,abc<0,求的值.
|a||b||c|
|a||b||c|
(3)已知a,b,c是有理數(shù),當(dāng)abc0時(shí),求的值.
abc
4.(2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法,如化簡(jiǎn)|x|,當(dāng)x0時(shí),|x|x;當(dāng)x0
時(shí),|x|0;當(dāng)x0時(shí),|x|x.求解下列問(wèn)題:
xxx
(1)當(dāng)x3時(shí),值為_(kāi)_____,當(dāng)x3時(shí),的值為_(kāi)_____,當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí),的值為
|x||x||x|
______;
yzxzxy
(2)已知xyz0,xyz0,求的值;
|x||y||z|
(3)已知:x1,x2,,x2021,x2022,x2023,這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù),若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù),
x1x2x2021x2022x2023
m,則m的值為_(kāi)_____(請(qǐng)用含n的式子表示)
x1x2x2021x2022x2023
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【考點(diǎn)四利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】
例題:(2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí))結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題:
(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____;表示2和1兩點(diǎn)之間的距離是_____;一般地,數(shù)軸上表
示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于mn.
(2)如果x12,那么x______;
(3)若a34,b23,且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B,則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是______,
最小距離是_____.
(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于3與5之間,則a3a5_____.
(5)當(dāng)a_____時(shí),a1a5a4的值最小,最小值是_____.
【變式訓(xùn)練】
1.(2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期中)閱讀下面材料:如圖,點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,則A、B
兩點(diǎn)之間的距離可以表示為ab.
根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問(wèn)題:
(1)數(shù)軸上表示8與2的兩點(diǎn)之間的距離是______;
(2)若x53,則x______;若x1x3,則x______;
(3)x1x3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)的點(diǎn)到1和-3所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和.請(qǐng)你利用數(shù)軸,寫出所有符合
條件的整數(shù)x,使得x1x34.
(4)若x表示一個(gè)有理數(shù),則x1010x504x1011有最小值嗎?若有,請(qǐng)直接寫出最小值.若沒(méi)有,
說(shuō)出理由.
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2.(2022秋·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中)閱讀下列材料:我們知道,x的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的
點(diǎn)與原點(diǎn)的距離:xx0,也就是說(shuō),x表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.這個(gè)結(jié)論可以推
廣為:ab表示在數(shù)軸上數(shù)a,b對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.
如:數(shù)軸上數(shù)2,5對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為253;
數(shù)軸上數(shù)2,7對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2(7)9;
又如:已知x12,求x的值.意為:數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2,觀察數(shù)軸可知x的值為1
或3.
請(qǐng)運(yùn)用上述的幾何方法解決下列問(wèn)題:
(1)若x3,則x________;
(2)若x32,則x________;
(3)41表示數(shù)軸上數(shù)________與________對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離;
(4)若x24,則x________;
(5)若x3x25,則滿足條件的所有整數(shù)x為_(kāi)_______________;
(6)若x1x45,則x的取值范圍為_(kāi)_______________________.
3.(2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)??计谥校締?wèn)題提出】a1a2a3a2021的最小值是多少?
【閱讀理解】
為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手.a(chǎn)的幾何意義是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距
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離,那么a1可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離;a1a2就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和,下面我們結(jié)合數(shù)軸研究a1a2的最小值.
我們先看a表示的點(diǎn)可能的3種情況,如圖所示:
如圖①,a在1的左邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.
如圖②,a在1,2之間(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距離之和等于1.
如圖③,a在2的右邊,從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.因此,我們可以得出結(jié)論:
當(dāng)a在1,2之間(包括在1,2上)時(shí),a1a2有最小值1.
【問(wèn)題解決】
(1)a4a7的幾何意義是,請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸研究:a4a7的最小值是;
(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究a1a2a3的最小值是,由此可以得出a為;
(3)a1a2a3a4a5的最小值是;
(4)a1a2a3a2021的最小值為;
(5)如圖⑤,已知a使到-1,2的距離之和小于4,請(qǐng)直接寫出a的取值范圍是.
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【考點(diǎn)五解含絕對(duì)值的方程】
例題:(2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))閱讀材料:我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值
的方程”.如:|x|=2,|2x﹣1|=3,…都是含有絕對(duì)值的方程.怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢?基本思路
是:含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程.我們知道,由|x|=2,可得x=2或x=﹣2.
【例】解方程:|2x﹣1|=3.我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問(wèn)題.
解:根據(jù)絕對(duì)值的意義,得2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3.
解這兩個(gè)一元一次方程,得x=2或x=﹣1.
根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題:
(1)解方程:|3x﹣2|=4;
(2)拓展延伸:解方程|x﹣2|=|3x+2|.
【變式訓(xùn)練】
1.(2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè))解下列方程:
13
(1)x53(2)2x17(3)x41(4)x524
24
2.(2022秋·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí))同學(xué)們都知道,42表示4與2的差的絕對(duì)值,實(shí)際上
也可以理解為4與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離:同理x3也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所
對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離,
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