專題08 難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題08難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】..............................................................................................1

【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】..........................................................................................................7

【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】................................................................................................14

【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】...........................................................................................18

【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】........................................................................................................21

【考點六數(shù)軸上的動點新定義型問題】........................................................................................................24

【典型例題】

【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】

例題：（2023秋·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：A、B、C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點C表

示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．

(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為；

(2)動點P，Q同時從A，C出發(fā)，點P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動．點Q以每秒2個

單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒；

①求數(shù)軸上點P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；

②t為何值時，P，Q兩點重合；

③請直接寫出t為何值時，P，Q兩點相距5個單位長度．

【答案】(1)10；2

1121

(2)①104t；62t；②8；③或

22

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【分析】（1）先根據(jù)點C表示的數(shù)為6，BC＝4，表示出點B，然后根據(jù)AB＝12，表示出點A即可；

（2）①求出AP，CQ，根據(jù)A、C表示的數(shù)求出P、Q表示的數(shù)即可；

②根據(jù)在時間t內(nèi)，P運動的長度-Q運動的長度=AC的長，列出方程，解方程即可；

③利用“點P，Q相距5個單位長度”列出關(guān)于t的方程，并解答即可．

【詳解】（1）點C對應(yīng)的數(shù)為6，BC4，

點B表示的數(shù)是642，

AB12，

點A表示的數(shù)是21210，

故答案是：-10；2．

（2）①由題意得：AP4t，CQ2t，如圖所示：

在數(shù)軸上點P表示的數(shù)是104t，

在數(shù)軸上點Q表示的數(shù)是62t；

②當(dāng)點P，Q重合時，4t2t16，

解得：t8；

③當(dāng)點P，Q相距6個單位長度，Ｐ在Ｑ的左側(cè)時：4t2t165，

11

解得t，

2

Ｐ在Ｑ的右側(cè)時：4t2t165，

21

解得t，

2

1121

綜上分析可知，當(dāng)t或t時，點P，Q相距5個單位長度．

22

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，

且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運

動時間為tt0秒．

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（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是___________；當(dāng)點P運動到AB的中點時，它所表示的數(shù)是__________．

（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)．求：

①當(dāng)點P運動多少秒時，點P追上點Q？

②當(dāng)點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？

【答案】（1）?4，1；（2）①當(dāng)點P運動5秒時，點P追上點Q；②當(dāng)點P運動1或9秒時，點P與點Q

間的距離為8個單位長度．

【分析】（1）由已知得OA＝6，則OB＝AB?OA＝4，因為點B在原點左邊，從而寫出數(shù)軸上點B所表示的

數(shù)；動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，所以可得出點P所表示的數(shù)為

6?4t，當(dāng)點P運動到AB的中點時，它的運動時間t＝5÷4＝1.25秒，即可求出點P所表示的數(shù)是1；

（2）①點P運動t秒時追上點Q，由于點P要多運動10個單位才能追上點Q，則4t＝10＋2t，然后解方

程得到t＝5；

②分兩種情況：當(dāng)點P運動a秒時，不超過Q，則10＋2a?4a＝8；超過Q，則10＋2a＋8＝4a；由此求解

即可．

【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，

∴OA＝6，

則OB＝AB?OA＝4，

∵點B在原點左邊，

∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為?4；

點P運動t秒的長度為4t，

∵動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，

∴P所表示的數(shù)為：6?4t，

當(dāng)點P運動到AB的中點時，它的運動時間為t＝5÷4＝1.25秒，

∴它所表示的數(shù)是6?4t＝6?4×1.25＝1；

故答案為：?4，1；

（2）①點P運動t秒時追上點Q，

根據(jù)題意得4t＝10＋2t，

解得t＝5，

答：當(dāng)點P運動5秒時，點P追上點Q；

②設(shè)當(dāng)點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，

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當(dāng)P不超過Q，則10＋2a?4a＝8，解得a＝1；

當(dāng)P超過Q，則10＋2a＋8＝4a，解得a＝9；

答：當(dāng)點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．

【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，根據(jù)已知得出各線段之間的關(guān)系等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

2．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)

軸”．圖中點A表示12，點B表示12，點C表示20，我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距32個長度單位，

記為LAC32．動點M從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點N從點C出發(fā)，沿著“折線

數(shù)軸”的負(fù)方向運動，它們在水平軸AO，BC上的速度都是2單位/秒，在O，B之間的上行速度為1單位/

秒，下行速度為3單位秒．設(shè)運動的時間為t秒．

(1)當(dāng)t4秒時，M，N兩點在數(shù)軸上相距多少個單位長度？

(2)當(dāng)M，N兩點相遇時，求運動時間t的值．

(3)若“折線數(shù)軸”上定點P與O，B兩點相距的長度相等，且存在某一時刻t，使得兩點M，N與點P相距的

長度之和等于6，請直接寫出t的值為____________．

【答案】(1)M，N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度

(2)t8.5

(3)t3或t10

【分析】（1）先計算出AO，BC的長度，再計算出經(jīng)過4秒，點M和點N運動的路程，即可求解；

（2）根據(jù)相遇時，兩點的路程和等于總路程，即可求解；

（3）根據(jù)題意，進行分類討論即可．

【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：

AO01212，BC20128，

當(dāng)t4秒時，點M的運動路程：2t812，點N的運動路程：2t8，

∴經(jīng)過4秒，點M在AO上，點N和點B重合，

∴點M表示的數(shù)為：1284，點N表示的數(shù)為：20812，

∴M、N兩點距離為：12416．

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∴M，N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度．

（2）由（1）可得：AO12，BC8，

128

∴點M到點O需要時間：6秒，點N到點B需要時間：4秒，

22

當(dāng)相遇時：123t68t432，

解得：t8.5．

（3）∵P與O，B兩點相距的長度相等，

∴點P為表示的數(shù)為6，

∴點A與點P距離為61218，點C與點P距離為20614，

∵M，N與點P相距的長度之和等于6，

∴點M和點N都在OB上，

①當(dāng)點M在OP上，點N在BP上時：

∵PM18123t6，PN148t4，

∴18123t6148t46，

解得：t3，

②當(dāng)點M在PB上，點N在BP上時：

∵PM123t618，PN148t4，

∴123t618148t46，

解得：t10；

綜上：t3或t10．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上數(shù)軸以及一元一次方程，解題的關(guān)鍵在正確理解題意，找出等量關(guān)系并列

出方程求解．

3．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，

b，則A、B兩點之間的距離表示為AB=a-b．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則AB231．

問題提出：

(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離AB______，線段

AB的中點表示的數(shù)為______．

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(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以

每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）

①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；

②求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．

(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的

端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二

次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．

11

【答案】(1)15；

2

(2)①23t；132t；②當(dāng)t為3時，P、Q兩點相遇；相遇點所表示的數(shù)是7

(3)所需要的時間為9秒；相遇點所表示的數(shù)是1

11

【分析】（1）由A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，即得AB＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；

2

（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為13?2t；

②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；

15

（3）由已知返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2

2

15

＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1．

2

【詳解】（1）∵A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，

13211

∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；

22

11

故答案為：15；．

2

（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為13?2t；

故答案為：?2＋3t；13?2t．

②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，

解得t＝3，

相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；

答：當(dāng)t為3時，P，Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是7．

15

（3）由已知得：P運動5秒到B，Q運動秒到A，

2

15

返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），

2

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15

根據(jù)題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），

2

解得t＝9，

第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1，

答：所需要的時間為9秒，相遇點所表示的數(shù)是1．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示運動后的點所表示

的數(shù)．

【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】

例題：（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┤鐖D，有兩條線段，AB2（單位長度），CD1（單位長度）

在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是12，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．

(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

(2)若線段AB以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段CD以2個單位長度秒的速度也向左勻速運

動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，點B與點C之間的距離為1個單位長度？

(3)若線段AB、線段CD分別以1個單位長度/秒、2個單位長度/秒的速度同時向左勻速運動，與此同時，

1

動點P從15出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)0t5時，2ACPD

3

的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．

【答案】(1)10，14

(2)t23或t25

1

(3)2ACPD的值會發(fā)生變化，理由見解析

3

【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點B表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸上點D左邊的點

C表示的數(shù)是點D表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數(shù)；

（2）分兩種情況，點P在點Q的左側(cè)或點P在點Q的右側(cè)，按追及問題的數(shù)量關(guān)系列方程求出t的值即

可；

1

（3）分別表示AC，PD的值，然后代入2ACPD求解即可．

3

【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是12，點B在點A右側(cè)，且AB2，

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所以12210，

所以點B表示的數(shù)是10；

因為點D表示的數(shù)是15，點C在點D的左側(cè)，且CD1，

所以15114，

所以點C表示的數(shù)是14，

故答案為：10，14；

（2）點B與點C的距離是14(10)24（單位長度），

所以線段BC的長為24個單位長度，

若點B在點C的左側(cè)，則t2412t，

解得t23；

若點B在點C的右側(cè)，則1t242t，

解得t25，

答：當(dāng)t23或t25時，點B與點C之間的距離為1個單位長度；

1

（3）2ACPD的值會發(fā)生變化，理由如下：

3

根據(jù)題意運動t秒后A移動到12t，點C移動到142t，點P移動到154t，

∵0t5，

∴點A始終在點C的左側(cè)，點P始終在點D的左側(cè)，

∴AC142t12t26t，

∵PD15(154t)304t，

112

∴2ACPD2(26t)(304t)42t，

333

1

∴2ACPD的值會發(fā)生變化．

3

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，將此題抽象成行

程問題列方程求解是關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動7個單位到達(dá)A點，再從A

點向右移動12個單位到達(dá)B點，把點A到點B的距離記為AB，點C是線段AB的中點．

(1)點C表示的數(shù)是；

(2)若點A以每秒2個單位的速度向左移動，同時C、B點分別以每秒1個單位、4個單位的速度向右移動，

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設(shè)移動時間為t秒，

①點C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)t=2秒時，求CB-AC的值；

③試探索：CB-AC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

【答案】(1)-1

(2)①?1＋t；②0；③CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，CB?AC的值為0．

【分析】（1）根據(jù)題意可以求得點C表示的數(shù)；

（2）①根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示點C運動時間t時表示的數(shù)；②根據(jù)題意可以求得當(dāng)t＝2秒時，CB?AC

的值；③先判斷是否變化，然后求出CB?AC的值即可解答本題．

(1)

1

解：由題意可得，AC＝12×＝6，

2

∴點C表示的數(shù)為：0?7＋6＝?1，

故答案為：?1；

(2)

解：①由題意可得，點C移動t秒時表示的數(shù)為：?1＋t，

故答案為：?1＋t；

②當(dāng)t＝2時，

CB?AC

＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]

＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）

＝6＋3t?6?3t

＝0；

③CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，

∵CB?AC

＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]

＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）

＝6＋3t?6?3t

＝0，

∴CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，CB?AC的值為0．

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【點睛】點評：本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．

2．（2022秋·河北·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點A對應(yīng)的有理數(shù)為a，點B對應(yīng)的有理數(shù)為b，點C對應(yīng)的

有理數(shù)為c，且c2，點C向左移動3個單位長度到達(dá)點A，向右移動5個單位長度到達(dá)點B．

(1)a___________，b___________；

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數(shù)；

(3)若點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度

向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間t秒，則7QM2PM的值是否

隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

【答案】(1)5，3

(2)0

(3)不會隨著t的變化而改變，該值是29

【分析】（1）c2，點C向左移動3個單位長度到達(dá)點A，向右移動5個單位長度到達(dá)點B，根據(jù)點的移

動即可求解；

（2）根據(jù)（1）可知點A與點B對應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)各點運動的情況可以用含t的式子表示出M，P，Q對應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)兩點之間的距離，分別

表示出MP，PQ，由此即可求解．

【詳解】（1）解：c2，點C向左移動3個單位長度到達(dá)點A，向右移動5個單位長度到達(dá)點B，

∴a235，b253，

故答案為：5，3．

（2）解：點A對應(yīng)的有理數(shù)是5，點B對應(yīng)的有理數(shù)是3，若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，

35

∴折疊點對應(yīng)的有理數(shù)為1，且點C對應(yīng)的有理數(shù)是2，

2

∴點C到折疊點的距離為121，

∴與點C重合的點表示的數(shù)為110．

（3）解：7QM2PM的值不會隨著t的變化而改變．

∵點P從點A開始以每秒3個單位長度的速度向左運動，

∴運動后對應(yīng)的點為53t，

∵點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，

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∴運動后對應(yīng)的點為24t，

∵點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度向右運動，

∴運動后對應(yīng)的點為36t，

∴PM24t53t7t3，QM36t24t2t5，

∴7QM2PM72t527t329，

∴7QM2PM的值不會隨著t的變化而改變，該值是29．

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上動點的問題，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的計算方法，點與點之間的有理數(shù)

表示方法是解題的關(guān)鍵．

3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖：在數(shù)軸上，點A表示a,點B表示b,點C表示c,b是最大的負(fù)整

數(shù)，且a,c滿足|a3|(c5)20

1a________，b_________，c_____________

2若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)____________表示的點重合；

3點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以

每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，

①請問:3BC2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

②探究:若點A、C向右運動，點B向左運動，速度保持不變，3BC4AB的值是否隨著時間t的變化而改變？

若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①3BC2AB的值不隨著時間t的變化而改變，值為14；②當(dāng)3t20

時，3BC4AB的值隨著時間t的變化而改變；當(dāng)3t20時，3BC4AB的值不隨著時間t的變化而改變，

值為26．

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）先求出對稱點，即可得出答案；

(3)①t秒后，AB2tt23t2，BC3tt62t6，代入3BC2AB計算即可得到答案；

②先求出3BC4AB34t643t2，再分當(dāng)3t20時和當(dāng)3t20時，討論求解即可.

【詳解】解:1∵|a3|(c5)20，

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∴a+3=0，c?5=0，

解得a=?3，c=5，

∵b是最大的負(fù)整數(shù)，

∴b=-1

故答案為：?3，-1，5．

-3+5

(2)點A與點C的中點對應(yīng)的數(shù)為：=1，

2

點B到1的距離為2，所以與點B重合的數(shù)是：1+2=3．

故答案為：3．

3①t秒后，AB2tt23t2，

BC3tt62t6，

3BC2AB32t623t214．

故3BC2AB的值不隨著時間t的變化而改變；

②AB2tt23t2．

BC3tt64t6，

3BC4AB34t643t2．

當(dāng)3t20時，原式24t10,3BC4AB的值隨著時間t的變化而改變；

當(dāng)3t20時，原式26,3BC4AB的值不隨著時間t的變化而改變．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點能求出兩點間的距離．

4．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、

B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為1、3．

(1)填空：線段AB的長度AB______；

(2)若點A是BC的中點，點D在點A的右側(cè)，且ODAC，點P在線段CD上運動．問：該數(shù)軸上是否存

在一條線段，當(dāng)P點在這條線段上運動時，PAPB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？

(3)若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從

EFOP

點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是PE、OF的中點．點P、E、F的運動過程中，

MN

的值是否發(fā)生變化？請說明理由．

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【答案】(1)AB4

(2)P點在線段AB上時，PAPB的值沒有發(fā)生變化

EFOP

(3)在運動過程中，的值不發(fā)生變化，理由見解析

MN

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；

（2）根據(jù)題意得出D點對應(yīng)的數(shù)為4，設(shè)P點對應(yīng)的數(shù)為x，根據(jù)題意分三種情況分析：①P點在射線CA

上時，②P點在線段AB上時，③P點在射線BD上時，結(jié)合圖形，建立方程求解即可

1

（3）設(shè)運動時間為t分鐘．則OPt，OE5t1，OF20t3，根據(jù)線段中點得出EMPM3t，

2

131

ONOF10t，OM2t，然后求解即可．

222

【詳解】（1）解：線段AB的長度為314，

故答案為：4；

（2）存在

A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為1、3，

∴OA1，OB3

∵點A是BC的中點，

∴ACAB4

∴OCACOA5，

∴C點對應(yīng)的數(shù)為5

又∵ODAC，點D在點A的右側(cè)，

∴D點對應(yīng)的數(shù)為4

設(shè)P點對應(yīng)的數(shù)為x

①P點在射線CA上時，PA1x，PB3x

∴PAPB1x3x22x

PAPB的值隨著點P的運動而發(fā)生變化；

②P點在線段AB上時，

PAx1x1，PB3x

∴PAPBx13x4

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PAPB的值隨著點P的運動沒有發(fā)生變化；

③P點在射線BD上時，

PAx1x1，PBx3

∴PAPBx1x32x2

PAPB的值隨著點P的運動而發(fā)生變化

∴P點在線段AB上時，PAPB的值沒有發(fā)生變化；

（3）設(shè)運動時間為t分鐘．則OPt，OE5t1，OF20t3

∴EFOEOF25t4

∵M、N分別是PE、OF的中點，

111

∴EMPMPEOEOP3t

222

1311

ONOF10t，OMOEEM5t13t2t

2222

∴MNOMON12t2，

EFOP25t4t

∴2

MN12t2

EFOP

∴在運動過程中，的值不發(fā)生變化．

MN

【點睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段中點的計算及動點問題，一元一次方程的應(yīng)用，理解

題意，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．

【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】

例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．

(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；

(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：

①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；

②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側(cè)），求A，

B兩點所表示的數(shù)分別是多少？

③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設(shè)點P表示的數(shù)為x．當(dāng)PA+PB＝12時，直接寫出x的值．

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【答案】(1)-4

(2)①-5；②A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．

【分析】（1）先求出中心點，再求出對應(yīng)的數(shù)即可；

（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，求出A、B到表示

2的點的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當(dāng)點P在點A的左側(cè)時，當(dāng)

點P在點A、B之間時，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，根據(jù)各種情形求解即可．

【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，可確定中心點是表示0的點，

∴4表示的點與-4表示的點重合，

故答案為∶-4；

（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，可確定中心點是表示2的點，

∴表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；

故答案為∶-5；

②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側(cè)），

∴A、B兩點距離中心點的距離為10÷2=5，

∵中心點是表示2的點，

∴A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；

③當(dāng)點P在點A的左側(cè)時，

∵PA+PB＝12，

∴-3-x+7-x=12，

解得x=-4；

當(dāng)點P在點A、B之間時，此時PA+PB=12不成立，故不存在點P在點A、B之間的情形；

當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，

∵PA+PB＝12，

∴x-(-3)+x-7=12，

解得x=8，

綜上x的值為-4或8．

【點睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為﹣2，6．

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(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點A、點B；

(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位

長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．

①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？

②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當(dāng)點P是【B，A】

的三倍點時，求此時P對應(yīng)的數(shù)．

【答案】(1)見解析；

2

(2)①秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②P對應(yīng)數(shù)-6或0．

3

【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對應(yīng)的點即可；

（2）①根據(jù)兩點間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當(dāng)點P在點N左側(cè)時，NP=6－5t；當(dāng)點P在點N左右側(cè)

時，NP=5t－6，計算即可；

②根據(jù)點P是【B，A】的三倍點，可得PB=3PA．分情況討論：當(dāng)點P在A點左側(cè)時，求出點P對應(yīng)數(shù)-6；

當(dāng)點P在A、B之間時，求出點P對應(yīng)數(shù)0，綜上可知點P對應(yīng)數(shù)-6或0．

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．當(dāng)點P在點N左側(cè)時，NP=6－5t；當(dāng)點P在點N左右側(cè)時，

NP=5t－6

2

∴t+2=6－5t，得：t=；

3

或t+2=5t－6，得：t=2．

2

即秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，

3

②∵點P是【B，A】的三倍點，

∴PB=3PA．

當(dāng)點P在A點左側(cè)時，AB=2PA=8，

∴PA=4，點P對應(yīng)數(shù)-6；

當(dāng)點P在A、B之間時，AB=4PA=8，

∴PA=2，點P對應(yīng)數(shù)0，

綜上可知點P對應(yīng)數(shù)-6或0．

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【點睛】本題考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素及畫法，數(shù)軸上兩點之間的距離，注意對于動點

問題需要進行分情況討論．

2．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點，點A表示的數(shù)是90，

點B表示的數(shù)是30．

(1)直接寫出線段AB的中點C對應(yīng)的數(shù)；

(2)若點D在數(shù)軸上，且BD50，直接寫出點D對應(yīng)的數(shù)；

(3)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進8個單位長度；同時王聰從點B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進12個單位長度它們在點E處相遇，求點E對應(yīng)的數(shù)；

(4)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進8個單位長度；同時王聰從點B出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前

進12個單位長度，當(dāng)它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求李明所在位置點F對應(yīng)的數(shù)．

【答案】(1)30

(2)20或80

(3)42

(4)290或370

【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上線段中點位置計算即可；

（2）分兩種情況：當(dāng)點D在點B的左側(cè)時，當(dāng)點D在點B的右側(cè)時，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；

（3）設(shè)相遇時間為ts，根據(jù)題意列出方程求解即可；

（4）分兩種情況：①追及前相距20，②追及后相距20，根據(jù)題意，列出方程求解即可．

9030

【詳解】（1）解：線段AB的中點C對應(yīng)的數(shù)為30，

2

答：線段AB的中點C對應(yīng)的數(shù)為30；

（2）當(dāng)點D在點B的左側(cè)時，點D所對應(yīng)的數(shù)為：305020，

當(dāng)點D在點B的右側(cè)時，點D所對應(yīng)的數(shù)為：30+50=80，

答：點D對應(yīng)的數(shù)為20或80；

（3）設(shè)相遇時間為ts，由題意得，

8t12t30(90)，

解得t6，

點E對應(yīng)的數(shù)為908642；

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（4）①追及前相距20，設(shè)行駛的時間為ts，由題意得，

3012t+90+8t=20，

解得t25，

此時李明所在位置點F對應(yīng)的數(shù)為90825290；

②追及后相距20，設(shè)行駛的時間為ts，由題意得，

908t3012t20，

解得t35，

此時李明所在位置點F對應(yīng)的數(shù)為90835370；

答：李明所在位置點F對應(yīng)的數(shù)為290或370．

【點睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，進行分情況討論分析是

解題關(guān)鍵．

【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】

例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)

式x2的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離．因為|x1||x(1)|，所以x1的

幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離．

(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)1，2，x．

填空：因為x1x2的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，而當(dāng)點P在線段AB上時，PAPB3，

當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PAPB3．所以x1x2的最小值是______；

(2)解決問題：

①直接寫出式子|x4||x2|的最小值為_______；

②直接寫出不等式|x3||x1|4的解集為_______；

③當(dāng)a為_______時，代數(shù)式|xa||x3|的最小值是2．（直接寫出結(jié)果）

【答案】(1)3

(2)①6；②x3或x1；③1或5

【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；

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（2）①把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示4與2的點之間的距離最小值，進而問題可求解；

②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；

③根據(jù)原式的最小值為2，得到表示3的點的左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．

【詳解】（1）解：當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PAPB3．所以x1x2的最小值是3；

故答案為：3；

（2）解：①x4x2x4x2，表示P到A與到B的距離之和，

點P在線段AB上，PAPB6，

當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PAPB6，

∴|x4||x2|的最小值是6；

故答案為：6；

②如圖所示，滿足|x3||x1||x(3)||x1|4，表示到3和1距離之和大于4的范圍，

當(dāng)點在3和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；

當(dāng)點在3的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，

則x范圍為x3或x1；

故答案為：x3或x1；

③當(dāng)a為1或5時，代數(shù)式xax3為x1x3或x5x3，

∵數(shù)軸上表示數(shù)1的點到表示數(shù)3的點的距離為2，數(shù)軸上表示數(shù)5的點到表示數(shù)3的點的距離也為2，

因此當(dāng)a為1或5時，原式的最小值是2．

故答案為：1或5．

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題

是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之

間的距離表示為AB，當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)A在原點，如圖1，|AB||OB||b||ab|，

當(dāng)A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB||OB||OA||b||a|ba|ab|；

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②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB||OB||OA||b||a|b(a)ab|ab|③如圖4，點A、

B在原點的兩邊，|AB||OB||OA||b||a|a(b)|ab|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離

|AB||ab|．

回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離是______，

如果AB2，那么x為______．

（2）若x表示一個有理數(shù)，則當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，|x1||x3|有最小值？請寫出x的范圍及

|x1||x3|的最小值．

11

（3）若x表示一個有理數(shù)，則當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，x1x1有最小值？請寫出x的范圍及

22

11

x1x1的最小值．

22

圖1

圖2

圖3

圖4

【答案】（1）3；x1；1或3；（2）3x1；4；（3）2x2；2．

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值，算出即可；

（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距離與到3的距離之和最小，那么x應(yīng)在-1和2之間的線段上．

（3）參考閱讀材料，寫出代數(shù)式表示的意義即可.

【詳解】（1）數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離為523

數(shù)軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離為x1

AB2，x12，

故x12或x12，

x1或3．

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（2）代數(shù)式x1x3表示數(shù)軸上一點到1，3兩點的距離的和，

可知3x1

有最小值為134．

111

（3）代數(shù)式x1x1表示x到1，1兩點的距離，

222

1

可知取值范圍1x1，2x2

2

有最小值為112．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對值，掌握數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值．

【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】

例題：（2022秋·北京朝陽·九年級?？茧A段練習(xí)）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右

移動1個單位長度到達(dá)點P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)

點P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點P5…，點P按此規(guī)律

移動，則移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）

A．159B．-156C．158D．1

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動的規(guī)律

即可得移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)．

【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則

P1表示的數(shù)為+1，

P2表示的數(shù)為+3

P3表示的數(shù)為0

P4表示的數(shù)為-4

P5表示的數(shù)為+1……

由以上規(guī)律可得，每移動四次相當(dāng)于向左移動4個單位長度．所以當(dāng)移動156次時，156=39×4相當(dāng)于向左

移動了39次四個單位長度．此時表示的數(shù)為39-4156．則第157次向右移動157個單位長度，P1571；

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第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以P1581+158=159．

故P158在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．

故選A．

【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動規(guī)律，正確理解題意，找出點在數(shù)軸上的運動次數(shù)與對應(yīng)點所表示的

數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)1,現(xiàn)將點A沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點A

向左移動3個單位長度到達(dá)點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達(dá)點A2，第三次將點A2向左移動9

個單位長度到達(dá)點A3，…，按照這種移動規(guī)律進行下去，第2021次移動到點A2021，那么點A2021所表示的數(shù)

為（）

A．3029B．3032