專題16 難點探究專題：幾何圖形中動角問題壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題16難點探究專題：幾何圖形中動角問題壓軸題三種模型全攻略

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點一幾何圖形中動角定值問題】......................................................................................................................1

【考點二幾何圖形中動角數(shù)量關(guān)系問題】..............................................................................................................6

【考點三幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題】........................................................................................................11

【過關(guān)檢測】.............................................................................................................................................20

【典型例題】

【考點一幾何圖形中動角定值問題】

例題：（2023秋·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖ON是BOC的平分線，OM是AOC的平分線，

AOC28，COB42

(1)求MON的度數(shù).

(2)當(dāng)射線OC在AOB的內(nèi)部線繞點O轉(zhuǎn)動時，射線OM、ON的位置是否發(fā)生變化？說明理由.

(3)在（2）的條件下，MON的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.

【答案】(1)35

(2)發(fā)生變化，理由見解析

(3)不變，MON35

11

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出CONBOC,COMAOC，進(jìn)而根據(jù)

22

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1

MONCONCOMBOCAOC即可求解；

2

1

（2）根據(jù)AOMAOC，則OC轉(zhuǎn)動時OM同樣在動，同理ON也在動；

2

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．

【詳解】（1）解：∵ON是BOC的平分線，OM是AOC的平分線，AOC28，COB42

11

∴CONBOC,COMAOC，

22

11

∴MONCONCOMBOCAOC284235

22

1

（2）解：∵AOMAOC，

2

∴OC轉(zhuǎn)動時OM同樣在動，

同理ON同樣轉(zhuǎn)動；

（3）MON不變同樣35°；

解：當(dāng)射線OC在AOB的內(nèi)部線繞點O轉(zhuǎn)動時，

∵ON是BOC的平分線，OM是AOC的平分線，AOC28，COB42

11

∴CONBOC,COMAOC，

22

11

∴MONCONCOMBOCAOC284235．

22

【點睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點和另一塊含有45°角的

三角板的頂點重合于一點O，繞著點O轉(zhuǎn)動含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題：

(1)如圖1，當(dāng)點B在射線OC上時，直接寫出AOD的度數(shù)是____________度；

(2)①如圖2，當(dāng)OB為COD的角平分線時，求出此時AOC的度數(shù)；

②如圖3，當(dāng)OB為AOD的角平分線時，求出此時AOC的度數(shù)；

(3)若OB只在COD內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作AOC平分線OE交AB于點E，再作BOD的平分線OF交CD于點F，

在轉(zhuǎn)動過程中EOF的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個值；若變化，請說明理由．

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【答案】(1)105

(2)①37.5；②75

(3)EOF的值不會發(fā)生變化，∠EOF52.5，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)三角板中角度的特點進(jìn)行求解即可；

（2）①根據(jù)角平分線的定義得到COB22.5，再根據(jù)AOCAOBCOB進(jìn)行求解即可；②根據(jù)

角平分線的定義得到AOD120，再根據(jù)AOCAODCOD進(jìn)行求解即可；

（3）分別用COB表示出AOD，AOC，BOD．再根據(jù)角平分線的定義表示出AOE，∠DOF，再

根據(jù)∠EOF∠AOD∠AOE∠DOF進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：由題意得，∠AOB60，∠COD45

∴∠AOD∠AOB∠COD6045105，

故答案為：105；

（2）解：①由題意得，∠AOB60，∠COD45，

∵OB為COD的角平分線，

1

∴∠COB∠DOB∠COD22.5，

2

∴AOCAOBCOB37.5；

②由題意得，∠AOB60，∠COD45，

∵OB為AOD的角平分線，

∴∠AOD2∠AOB120，

∴AOCAODCOD75；

（3）解：EOF的值不會發(fā)生變化，∠EOF52.5，理由如下：

由題意得，∠AOB60，∠COD45，

∵∠AODAOBCODBOC105∠BOC，

∴∠AOC∠AOB∠BOC60∠BOC，∠BOD∠COD∠BOC45∠BOC，

∵OE平分AOC，DF平分BOD，

1111

∴∠AOE∠AOC30∠BOC，∠DOF∠BOD22.5∠BOC，

2222

∴∠EOF∠AOD∠AOE∠DOF

11

105∠BOC30∠BOC22.5∠BOC

22

11

105∠BOC30∠BOC22.5∠BOC

22

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52.5．

【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，角平分線的定義，熟知三角板中角度的特點是解題的關(guān)鍵．

4．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF

平分BOD（本題中的角均為大于0且小于180的角）．

(1)如圖，當(dāng)OB，OC重合時，求EOF的度數(shù)；

(2)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n40時，AOEBOF的值是否為定值？若是

定值，求出AOEBOF的值，若不是，請說明理由．

(3)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n220時，AOE與BOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)70

(2)為定值，理由見解析

(3)當(dāng)0n80時，AOEBOF30；當(dāng)80n140時，AOEBOF110；當(dāng)140n220時，

BOFAOE30

11

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義知EOBAOB、BOFCOD，再根據(jù)EOFEOBBOF可

22

得答案；

(2)由題意知AOCAOBBOC100n、BODBOCCODn40，根據(jù)角平分線的定義

1100n1n40

得AOEAOC、BOFBOD，代入計算可得答案；

2222

(3)分情況計算，利用n表示出AOC，BOD，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解．

【詳解】（1）解：AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1111

EOBAOB10050、BOFCOD4020，

2222

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EOFEOBBOF502070；

（2）解：AOEBOF的值為定值，

理由如下：如圖：

COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n40

AOCAOBBOC100n，BODBOCCODn40，點C、D在直線AO的右側(cè)，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1100n1n40

AOEAOC，BOFBOD，

2222

100nn40

AOEBOF30，

22

AOEBOF的值為定值；

（3）解：當(dāng)0n80時，如圖2：由(2)知，AOEBOF30；

當(dāng)80n140時，如圖3所示，

AOC360AOBBOC360100n260n，

BODBOCCODn40，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

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1260n1n40

AOEAOC，BOFBOD，

2222

260nn40

AOEBOF110；

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當(dāng)140n220時，如圖4所示，

AOC360AOBn360100n260n，

BOD360nCOD360n40320n，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1260n1320n

AOEAOC，BOFBOD，

2222

320n260n

BOFAOE30；

22

綜上，AOE與BOF具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)0n80時，AOEBOF30；當(dāng)80n140時，

AOEBOF110；當(dāng)140n220時，BOFAOE30．

【點睛】本題考查了角度的計算以及角平分線的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類討論的思想是

解決本題的關(guān)鍵．

【考點二幾何圖形中動角數(shù)量關(guān)系問題】

例題：（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知O為直線AB上一點，射線OD、OC、OE位于直線AB上

方，OD在OE的左側(cè)，AOC120，DOE80．

(1)如圖1，當(dāng)OD平分AOC時，求EOB的度數(shù)；

(2)點F在射線OB上，若射線OF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n（0n180且n60），F(xiàn)OA3AOD．當(dāng)DOE

在AOC內(nèi)部（圖2）和DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時，F(xiàn)OE和EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，

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若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．

【答案】(1)40

(2)不改變，EOF2EOC，理由見解析

【分析】（1）由OD平分AOC，則DOC=60，由DOE=80，得到EOC=20，最后得到EOB40；

（2）分兩種情況，DOE在AOC內(nèi)部時，令A(yù)ODx，則DOF2x，

EOF802x，EOC40x，結(jié)論成立；DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時．令A(yù)ODx，則

DOF2x，DOC120x，EOF2x80，進(jìn)而結(jié)論得證．

【詳解】（1）解：∵OD平分AOC，

1

∴CODAOC60，

2

∵DOE80．

∴COEDOECOD20，

∴AOEAOCCOE12020140，

∴BOE180AOE40；

（2）①DOE在AOC內(nèi)部時．

令A(yù)ODx，則DOF2x，EOF802x，

∴EOC120x2x802x40x，

∴EOF2EOC；

②DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時．令A(yù)ODx，

則DOF2x，DOC120x，EOF2x80，

∴EOC80120xx40，

∴EOF2EOC．

綜上可得，F(xiàn)OE和EOC的數(shù)量關(guān)系不改變，EOF2EOC

【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計

算．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線AB上，COD在直線AB上方，且COD60，

射線OE在COD內(nèi)部，AOE2DOE．

(1)如圖1，若OD是BOC的平分線，求COE的度數(shù)；

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(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BOD的大小發(fā)生變化時，COE與BOD的數(shù)量關(guān)系保持不變．請你用等式表

示出COE與BOD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)20

(2)BOD3COE，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得AOD120，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；

（2）設(shè)COEx，則DOE60x，再利用AOE2DOE，然后整理可得結(jié)論．

【詳解】（1）∵OD是BOC的平分線，

∴BODCOD60，

∴AOD180BOD120．

∵AODAOEDOE,AOE2DOE，

∴AOD3DOE，

1

∴DOEAOD40，

3

∴COECODDOE20．

（2）BOD3COE，

設(shè)COEx，則DOE60x，

∵AOE2DOE，

∴AOD3DOE3(60x)1803x，

∴BOD180AOD180(1803x)3x，

∴BOD3COE．

【點睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．

2．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF

平分BOD（本題中的角均為大于0且小于180的角）．

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(1)如圖，當(dāng)OB，OC重合時，求EOF的度數(shù)；

(2)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n40時，AOEBOF的值是否為定值？若是

定值，求出AOEBOF的值，若不是，請說明理由．

(3)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n220時，AOE與BOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)70

(2)為定值，理由見解析

(3)當(dāng)0n80時，AOEBOF30；當(dāng)80n140時，AOEBOF110；當(dāng)140n220時，

BOFAOE30

11

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義知EOBAOB、BOFCOD，再根據(jù)EOFEOBBOF可

22

得答案；

(2)由題意知AOCAOBBOC100n、BODBOCCODn40，根據(jù)角平分線的定義

1100n1n40

得AOEAOC、BOFBOD，代入計算可得答案；

2222

(3)分情況計算，利用n表示出AOC，BOD，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解．

【詳解】（1）解：AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1111

EOBAOB10050、BOFCOD4020，

2222

EOFEOBBOF502070；

（2）解：AOEBOF的值為定值，

理由如下：如圖：

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COD從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度0n40

AOCAOBBOC100n，BODBOCCODn40，點C、D在直線AO的右側(cè)，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1100n1n40

AOEAOC，BOFBOD，

2222

100nn40

AOEBOF30，

22

AOEBOF的值為定值；

（3）解：當(dāng)0n80時，如圖2：由(2)知，AOEBOF30；

當(dāng)80n140時，如圖3所示，

AOC360AOBBOC360100n260n，

BODBOCCODn40，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1260n1n40

AOEAOC，BOFBOD，

2222

260nn40

AOEBOF110；

22

當(dāng)140n220時，如圖4所示，

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AOC360AOBn360100n260n，

BOD360nCOD360n40320n，

射線OE平分AOC，射線OF平分BOD，

1260n1320n

AOEAOC，BOFBOD，

2222

320n260n

BOFAOE30；

22

綜上，AOE與BOF具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)0n80時，AOEBOF30；當(dāng)80n140時，

AOEBOF110；當(dāng)140n220時，BOFAOE30．

【點睛】本題考查了角度的計算以及角平分線的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類討論的思想是

解決本題的關(guān)鍵．

【考點三幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題】

例題：（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，A，O，B三點在一條直線上，且AOC24°，BOD78，

射線OM，ON分別平分AOD和BOD．如圖2，將射線OA以每秒8的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同

時將COD以每秒6的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OB重合時，COD停止運(yùn)動．設(shè)射線OA

的運(yùn)動時間為t秒．

(1)運(yùn)動開始前，如圖1，DON______，AOM______；

(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時，射線OD平分BOM?

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(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使得MON42？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)39，51

(2)t5.4s

(3)存在，符合條件的t的值為12s或33s

【分析】（1）根據(jù)平角的定義求得AOD，再根據(jù)角平分線的定義直接計算即可；

（2）根據(jù)BODDOM列方程求解即可；

（3）分情況根據(jù)MON42列方程求解即可．

【詳解】（1）解：A，O，B三點在一條直線上，AOC24°，BOD78，

AOD180BOD18078102，

OM，ON分別平分AOD和BOD，

1111

DONBOD7839，AOMAOD10251，

2222

故答案為：39，51；

（2）解：射線OA以每秒8的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將COD以每秒6的速度繞點O逆時針

旋轉(zhuǎn)，

AOD180786t8t1022t，

射線OM平分AOD，

1

DOMAOD51t，

2

BOD786t，

51t786t，

t5.4s；

（3）解：存在某一時刻使得MON42，分以下幾種情況：

情況一：若ON在OB上方，此時DOMDON42，

11

即10222t786t42，

22

解得t112s；

情況二：若ON在OB下方，此時DOMDON42，

11

即782t6t7842，

22

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解得t29s（不符合題意，舍去）；

情況三：當(dāng)COD停止運(yùn)動時，OA繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)264°時，有MON42，

264

此時t33s．

8

綜上所述，符合條件的t的值為12s或33s．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級校考期末）如圖，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，AOC30，將

一直角三角板（M30）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB

的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒2的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，OM恰好平分

BOC．求t的值；并判斷此時ON是否平分AOC？說明理由；

(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點以每秒6的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，

那么經(jīng)過多長時間OC平分MON？請說明理由．

15

【答案】(1)t；ON平分AOC，理由見解析

2

15315

(2)t的值為或

42

【分析】（1）根據(jù)AOC的度數(shù)求出COM的度數(shù)，根據(jù)互余得出CON的度數(shù)，進(jìn)而求出時間t即可；

根據(jù)題意和圖形得出AONBOM90°，CONCOM90，再根據(jù)BOMCOM，即可得出ON

平分AOC；

（2）根據(jù)題意和圖形得出CONCOM45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．

【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前MOC90AOC60,

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118030

當(dāng)OM平分BOC時，MOCBOC75，

22

則2t7560,

15

解得：t，

2

結(jié)論：ON平分AOC,

理由：∵CON90MOC907515，

又∵AOC30，

∴AOC2CON,

∴ON平分AOC；

（2）解：MOCAOMAOC2t90306t604t

若OC平分MON，

11

則MOCMON9045，

22

∴604t45，

15

∴t，

4

當(dāng)OC停止時,OC平分MON,則有2t36045,

315

∴t,

2

15315

綜上所述，滿足條件的t的值為或．

42

【點睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問

題.

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2．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，OC是AOB內(nèi)部的一條射線，且AOB3AOC．

(1)如圖1所示，若AOB120，OM平分AOC，ON平分AOB，求MON的度數(shù)；

(2)如圖2所示，AOB是直角，從點O出發(fā)在BOC內(nèi)引射線OD，滿足BOCAOCCOD，若OM

平分COD，求BOM的度數(shù)；

(3)如圖3所示，AOBx，射線OP，射線OQ分別從OC，OB出發(fā)，并分別以每秒1和每秒2的速度繞

著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，OP和OQ分別只在AOC和BOC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動時間為t秒．

①直接寫出AOP和COQ的數(shù)量關(guān)系；

2

②若AOB150，當(dāng)POQBOP，求t的值．

3

【答案】(1)40

(2)45

(3)①COQ2AOP；②t20

【分析】（1）先求出AOC40，再根據(jù)角平分線的定義得到AOM20，AON60，由此即可得到

答案；

（2）先求出AOC30，則BOC60，進(jìn)一步求出COD30，由角平分線的定義得到

1

COMCOD15，進(jìn)而可得BOMBOCCOM45；

2

12

（3）①先求出AOC=x，BOC=x，根據(jù)題意可得COPt，BOQ2t，由此求出

33

12

AOPxt，COQx2t，則COQ2AOP；②求出

33

2x2x2222x

POQt，BOPt，再由AOB150，POQBOP，得到xtt，

333333

把x150代入方程求出t的值即可．

【詳解】（1）解：∵AOB3AOC,AOB120，

1

∴AOC12040，

3

∵OM平分AOC,ON平分AOB，

11

∴AOMAOC,AONAOB，

22

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∴AOM20，AON60，

∴MONAONAOM602040；

（2）解：∵AOB90，AOB3AOC，

∴AOC30，

∴BOC60，

∵BOCAOCCOD，

∴COD603030，

∵OM平分COD，

1

∴COMCOD15，

2

∴BOMBOCCOM45；

（3）解：①∵AOB3AOC，∠AOBx，

1

∴AOC=x，

3

2

∴BOC=x

3

由題意得：COPt1t，BOQt22t，

12

∴AOPAOCCOPxt，COQBOCBOQx2t，

33

∴COQ2AOP；

2

②由①知COPt，COQx2t

3

∵POQCOQCOP，BOPBOCCOP，

2x2x

∴POQt，BOPt，

33

2

∵AOB150，POQBOP，

3

222x

∴xtt，

333

2

把x150代入得：100t100t

3

解得t20，

2

∴若AOB150，當(dāng)POQBOP時，t20．

3

【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）解答下列問題．

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(1)【探索新知】

如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個角的度數(shù)

是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的“巧分線”．

①一個角的平分線這個角的“巧分線”．（填“是”或“不是”）

②如圖2，若MPN，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ．（用含的代數(shù)式表示出所有可

能的結(jié)果）

(2)【深入研究】

如圖2，若MPN60，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與PQ與PN

成180時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．

①當(dāng)t為何值時，射線PM是QPN的“巧分線”．

②若射線PM同時繞點P以每秒5的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．請直接寫出當(dāng)射線PQ是MPN

的“巧分線”時t的值．

121

【答案】(1)①是；②或或

233

(2)①9s或18s或12s；②6s或4s或2.4s

【分析】（1）①根據(jù)巧分線定義即可求解；

②分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；

（2）①分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；

②分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可．

【詳解】（1）解：①一個角的平分線是這個角的“巧分線”；

故答案為：是

②∵M(jìn)PN，

當(dāng)PQ是MPN的角平分線時，

11

∴MPQ；

22

當(dāng)PQ是MPN三等分線時，MPQ較小時，

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11

∴MPQ；

33

當(dāng)PQ是MPN三等分線時，MPQ較大時，

22

∴MPQ；

33

112

故答案為：或或；

233

（2）解：①∵PM是QPN的“巧分線”，

∴PM在QPN內(nèi)部，所以PQ轉(zhuǎn)至PM左側(cè)，

∵PQ與PN成180時停止旋轉(zhuǎn)，且MPN60，PQ旋轉(zhuǎn)速度為10/s．

∴6t≤18．

當(dāng)MPN2Q1PM時，如圖所示：

1

10t6060，

2

解得t9；

當(dāng)MPNQPN時，如圖所示：

10t260，

解得t12；

當(dāng)2MPNQ2PN時，如圖所示：

10t60260，

解得t18．

∵9s或12s或18s均在6t≤18的范圍內(nèi)，

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∴綜上可得：當(dāng)t為9s或12s或18s時，射線PM是QPN的“巧分線”；

②依題意有：PQ在MPN的內(nèi)部，

∴QPN10t，MPN5t60，

1

當(dāng)QPNMPN時，如圖所示：

3

1

10t5t60，

3

解得t2.4；

1

②當(dāng)QPNMPN時，如圖所示：

2

1

10t5t60，

2

解得t4；

2

③當(dāng)QPNMPN時，如圖所示：

3

2

10t5t60，

3

解得t6．

∴當(dāng)t為2.4s或4s或6s時，射線PQ是MPN的“巧分線”．

【點睛】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查了角之間的數(shù)量關(guān)系，巧分線定義，學(xué)生的閱讀理解能

力及知識的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“巧分線”的定義．

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【過關(guān)檢測】

一、單選題

1．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點О在直線AB上，射線OC,OD分別在AB兩側(cè)，COD90，

OE，OF分別平分AOC和BOD，下列四個結(jié)論：①COEBOF45；②EOF為定值；

③2BOEAOD90；④AOFEOD315．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】設(shè)BOC，則AOC180，BOD90，可得

AOCBOD1809090，再根據(jù)角平分線的定義可得

1

COEBOFAOCBOD45，故①正確；再由

2

1

EOFCOEBOCBOFAOCBODBOC，可得②正確；再分別求出BOE和AOD，

2

可得③正確；然后求出AOF和EOD，即可求解．

【詳解】解：設(shè)BOC，則AOC180，

∵COD90，

∴BOD90，

∴AOCBOD1809090，

∵OE，OF分別平分AOC和BOD，

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11

∴COEAOC,BOFBOD，

22

1

∴COEBOFAOCBOD45，故①正確；

2

11

EOFCOEBOCBOFAOCBODBOC18090135，是定值，

22

故②正確；

11

∵BOEBOCCOE18090，

22

AOD180BOD1809090，

1

∴2BOEAOD2909090，故③正確；

2

11

∵AOF180BOF18090135，

22

11

DOECOEBOCBOD18090180，

22

11

∴AOFEOD180135315，故④正確；

22

故選：D

【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，角與角的和與差，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到角與角之間的數(shù)量

關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，點A，O，B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點

O沿順時針方向以每秒2的速度旋轉(zhuǎn)；同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4的速度旋轉(zhuǎn)．如圖2，

設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0t90）．下列說法正確的是（）

A．整個運(yùn)動過程中，不存在AOB90的情況

B．當(dāng)AOB60時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為20秒

C．當(dāng)t值為36秒時，射線OB恰好平分MOA

D．當(dāng)AOB60時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為40秒

【答案】C

【分析】由題意知MOA2t，∠NOA1802t；當(dāng)0t45時，NOB4t；當(dāng)45t90時，

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∠NOB3604t；令∠AOB∠NOA∠NOB90，計算求解可判斷選項A的正誤；令

∠AOB∠NOA∠NOB60，∠AOB∠NOB∠NOA60，計算求解可判斷選項B、D的正誤；將t36

代入，求出∠MOA，∠NOA，∠NOB的值，然后根據(jù)∠AOB∠NOB∠NOA求解AOB的值，根據(jù)AOB

與MOA的關(guān)系判斷選項C的正誤．

【詳解】解：由題意知MOA2t，∠NOA1802t；當(dāng)0t45時，NOB4t；當(dāng)45t90時，

∠NOB3604t；

令∠AOB∠NOA∠NOB90，即1802t4t90，解得t15秒，

∴存在AOB90的情況；

故A錯誤，不符合題意；

令∠AOB∠NOA∠NOB60，即1802t4t60，解得t20秒，

令∠AOB∠NOB∠NOA60，即4t1802t60，解得t40秒，

∴當(dāng)AOB60時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t不一定為20秒；

故B、D錯誤，不符合題意；

當(dāng)t36時，∠MOA72，∠NOA108，∠NOB144，

∴∠AOB∠NOB∠NOA14410836，

1

∵∠AOB∠MOA，

2

∴射線OB恰好平分MOA，

故C正確，符合題意；

故選C．

【點睛】本題主要考查了角的運(yùn)算，角平分線等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各角度．

二、填空題

1

3．（2023秋·七年級課時練習(xí)）如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且DCOD=DAOB，若將∠COD繞點O順

2

時針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運(yùn)動過程中，OE平分∠BOC，則∠DOE與∠AOC之間滿足的數(shù)

量關(guān)系是．

【答案】AOC2DOE或AOC3602DOE

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【分析】分情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過180時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過180，不超過360時，畫出旋轉(zhuǎn)后

的圖，利用角之間的關(guān)系計算即可．

【詳解】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過180時，如圖：

∴AOCAOBBOC，

DOECODCOE，

1

∵DCOD=DAOB，OE平分∠BOC，

2

∴BOECOE，AOC2COD2COE=2CODCOE，

∴AOC2DOE．

當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過180，不超過360時，如圖，

∴AOC360AOBBOC，

DOECODCOE，

1

∵DCOD=DAOB，OE平分∠BOC，

2

∴BOECOE，2DOE2COD2COE=AOBBOC，

∴AOC3602DOE．

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)，幾何圖形中角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分情況討論，結(jié)合圖進(jìn)行求解．

4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，直線ED上有一點O，過點O在直線ED上方作射線OC，將一

直角三角板AOBOAB30的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線ED

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上方，將直角三角板繞著點O按每秒10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t秒．若射線OC的位置保持

不變，且COE140．則在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)t秒時，射線OA，OC與OD中的某

一條射線恰好是另兩條射線所夾角的平分線．

【答案】2或8或32

【分析】分三種情況進(jìn)行解答，即①射線OA是COD的平分線，②射線OC是AOD的平分線，③射線OD

是COA的平分線，根據(jù)角平分線的定義以及角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可．

【詳解】解：當(dāng)射線OA是COD的平分線時，

∵COD180COE40，

1

∴AODCOD20，

2

20

∴t2；

10

當(dāng)射線OC是AOD的平分線時，

AOD2COD80，

80

∴t8；

10

當(dāng)射線OD是COA的平分線時，

36010t40，

∴t32，

故答案為：2或8或32．

【點睛】本題考查角平分線，理解角平分線的定義是正確解答的前提．

三、解答題

5．（2023秋·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）已知O是直線AB上的一點，COD是直角，OE平分BOC．

(1)如圖①，若AOC30，求COE，DOB的度數(shù)．

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(2)將圖①中的COD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，探究AOC與DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由．

【答案】(1)COE75，DOB60

1

(2)DOEAOC，理由見解析

2

【分析】（1）（1）由AOC30，COD是直角，可知BOC150，BOD60，因為OE平分BOC，

1

所以COEBOC75；

2

（2）設(shè)AOC，因為COD是直角，所以BOC180AOC180，COD90，因為OE平

1111

分BOC，所以COEBOC90；所以DOE90COE90(90)．

2222

【詳解】（1）解：∵AOC30，COD是直角，

∴BOC180AOC150，COD90，

∴DOB180AOCCOD60，

∵OE平分BOC，

1

∴COEBOC75；

2

1

（2）解：DOEAOC．理由如下：

2

設(shè)AOC，

∵COD是直角，

∴BOC180AOC180，COD90，

∵OE平分BOC，

11

∴COEBOC90；

22

11

∴DOE90COE90(90)．

22