人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章5-2-1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會(huì)利用公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

[討論交流]

問題1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是什么？問題2．基本初等函數(shù)有哪幾類？問題3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是什么？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)

探究問題2當(dāng)x0在定義域內(nèi)任意取值時(shí)，問題1中的f′(x0)的值如何？

[新知生成]1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x22．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝___________f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxαxα-1cosx－sinxaxlnaex

探究2利用導(dǎo)數(shù)公式研究曲線的切線方程[典例講評(píng)]

2．(源自人教B版教材)已知函數(shù)f(x)＝x2，而l是曲線y＝f(x)的切線，且l經(jīng)過點(diǎn)(2，3)．(1)判斷(2，3)是不是曲線y＝f(x)上的點(diǎn)；(2)求l的方程．[思路導(dǎo)引]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，但要注意點(diǎn)(2，3)不在曲線上，應(yīng)另設(shè)切點(diǎn)求解．

[母題探究]

1．將本例變?yōu)椤扒笄€f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”處的切線方程．[解]

由題意f′(x)＝－2x-3，所以曲線f(x)＝x-2在點(diǎn)(a，a-2)處的切線方程為y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2.2．將本例變?yōu)椤耙阎獃＝kx是曲線y＝lnx的一條切線”，試求k的值．

√發(fā)現(xiàn)規(guī)律

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線______就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．②如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．(2)求過點(diǎn)P與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟斜率[學(xué)以致用]

2．(1)函數(shù)y＝x3的圖象在點(diǎn)(2，8)處的切線方程為(

)A．y＝12x－16

B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16(2)已知曲線y＝lnx的一條切線方程為x－y＋c＝0，則c的值為________．√－1

探究3導(dǎo)數(shù)公式的實(shí)際應(yīng)用【鏈接·教材例題】例2假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)之間的關(guān)系為p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)?[解]

根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，有p′(t)＝1.05tln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08.所以，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲．

[典例講評(píng)]

3．從時(shí)刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度(單位：安)．[解]

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒、第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度分別是－sin5安，－sin7安．反思領(lǐng)悟

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率，所以求某個(gè)量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．這種變化率在描述經(jīng)濟(jì)變化率、物理變化率、化學(xué)變化率等方面有著廣泛的應(yīng)用．[學(xué)以致用]

3．某城市近10年間房價(jià)年均上漲率為10%，房價(jià)p(單位：萬元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個(gè)年頭，房價(jià)上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]

由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個(gè)年頭，該城市房價(jià)上漲的速度大約是0.15萬元/年．243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

C

[常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0.故選C.]23題號(hào)14

√

√23題號(hào)41√

√243題號(hào)1

11．知識(shí)鏈：(1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(2)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程．2．方法鏈：方程思想、待定系數(shù)法．3．警示牌：因公式變形不夠徹底導(dǎo)致求導(dǎo)錯(cuò)誤．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．如何理解常見的幾個(gè)冪函數(shù)的求導(dǎo)？[提示]

幾個(gè)常見冪函數(shù)的求導(dǎo)，也包括根式函數(shù)的求導(dǎo)，都可以統(tǒng)一為f(x)＝xα，f′(x)＝αxα-1.2．對(duì)于三角函數(shù)關(guān)系式，如何求導(dǎo)？[提示]

對(duì)含有三角函數(shù)式的函數(shù)求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡單，從而便于求導(dǎo)．3．求函數(shù)“在”或“過”某點(diǎn)處的切線方程時(shí)，有什么策略？遵循什么步驟？[提示