工科數(shù)學(xué)分析 上冊（第2版）課件：定積分的幾何應(yīng)用

定積分的幾何應(yīng)用《工科數(shù)學(xué)分析》定積分的元素法問題的提出元素法的一般步驟回顧曲邊梯形求面積的問題▲問題的提出abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求極限，得A的精確值面積元素提示元素法的一般步驟：這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．平面圖形的面積直角坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)情形小結(jié)曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積一、直角坐標(biāo)系情形解兩曲線的交點面積元素選為積分變量解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積問題：積分變量只能選嗎？解兩曲線的交點選為積分變量如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程情形解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．面積元素曲邊扇形的面積二、極坐標(biāo)系情形解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積解利用對稱性知求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）三、小結(jié)體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積小結(jié)

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．

這定直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺一、旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為如此求體積微元的方法稱為薄片法(slicingmethod)解直線方程為解解補充如此求體積微元的方法稱為柱殼法

((cylindrical)shellmethod)。

實際計算時視具體情況來決定用哪種方法。xyoxyoAvolumeisapproximatedbyacollectionofhollowcylinders.Asthecylinderwallsgetthinnertheapproximationgetsbetter.Thelimitofthisapproximationistheshellintegral.xyo利用這個公式，可知上例中Ifthefunctionisoftheycoordinateandtheaxisofrotationisthex-axisthentheformulabecomes:Ifthefunctionisrotatingaroundthelinex=h

ory=k,thentheformulasbecome:and解體積元素為薄片法（中空）Washermethod體積元素為祖暅原理也稱祖氏原理。在求球體積時使用：“冪勢既同，則積不容異”?！皟纭笔墙孛娣e，“勢”是立體的高。即

兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。上述原理在中國被稱為祖暅原理，國外則一般稱之為

卡瓦列利原理。二、平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積楔xiē形解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積另一種劈錐體，其垂直于

x

軸的截面為一五邊形

（下面一個矩形，上面一個等腰三角形）但也有人認為這是圓楔體旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周三、小結(jié)繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平面曲線的弧長平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)情形參數(shù)方程情形極坐標(biāo)情形小結(jié)一、平面曲線弧長的概念弧長元素弧長二、直角坐標(biāo)情形解所求弧長為解曲線弧為弧長三、參數(shù)方程情形解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長證根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.曲線弧為弧長四、極坐標(biāo)情形解解平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下弧微分的概念求弧長的公式五、小結(jié)作業(yè)P2