工科數(shù)學(xué)分析 上冊(cè)（第2版）課件：函數(shù)、極限與連續(xù)綜合例題

函數(shù)、極限與連續(xù)綜合例題《工科數(shù)學(xué)分析》（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容1、函數(shù)的定義2、極限的定義左極限右極限無(wú)窮小:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大:在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系3、無(wú)窮小與無(wú)窮大定理1在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理推論1推論24、極限的運(yùn)算性質(zhì)5、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.6、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)(1)(2)7、兩個(gè)重要極限定義:8、無(wú)窮小的比較定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)9、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)10、極限的唯一性11、有界性或局部有界性定理收斂的數(shù)列必定有界.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.定理(保號(hào)性)12、局部保號(hào)性推論（保序性）13.歸并性定義定理函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.（這一點(diǎn)可用來(lái)證明極限的不存在）14、連續(xù)的定義定理16、連續(xù)的充要條件15、單側(cè)連續(xù)17、間斷點(diǎn)的定義(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)18、間斷點(diǎn)的分類跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx第二類間斷點(diǎn)19、閉區(qū)間的連續(xù)性20、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理1

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理221、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理4

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.22、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.例1解將分子、分母同乘以因子(1-x),則二、典型例題例2解解法討論?例3解例4證明