工科數(shù)學分析 上冊（第2版）課件：函數(shù)、極限與連續(xù)綜合例題_第1頁
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函數(shù)、極限與連續(xù)綜合例題《工科數(shù)學分析》（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內容1、函數(shù)的定義2、極限的定義左極限右極限無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關系3、無窮小與無窮大定理1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質定理推論1推論24、極限的運算性質5、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.6、判定極限存在的準則(夾逼準則)(1)(2)7、兩個重要極限定義:8、無窮小的比較定理(等價無窮小替換定理)9、等價無窮小的性質10、極限的唯一性11、有界性或局部有界性定理收斂的數(shù)列必定有界.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.定理(保號性)12、局部保號性推論（保序性）13.歸并性定義定理函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.（這一點可用來證明極限的不存在）14、連續(xù)的定義定理16、連續(xù)的充要條件15、單側連續(xù)17、間斷點的定義(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點18、間斷點的分類跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第二類間斷點19、閉區(qū)間的連續(xù)性20、連續(xù)性的運算性質定理定理1

嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù).定理221、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理4

基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.22、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.例1解將分子、分母同乘以因子(1-x),則二、典型例題例2解解法討論?例3解例4證明

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