2024-2025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥訓(xùn)練第28章第05講應(yīng)用舉例22

20242025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥*訓(xùn)練第28章第05講應(yīng)用舉例2（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：正確理解方向角、坡度的概念；能運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角、坡度的問題，能夠融會(huì)貫通地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決綜合性問題，進(jìn)一步提高解直角三角形分析問題和解決問題能力。老師告訴你1.用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般過程：（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）；（2）根據(jù)問題中的條件，選擇恰當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系式，解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實(shí)際問題的答案。一、知識(shí)點(diǎn)撥1.知識(shí)導(dǎo)航2.知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)1方向角問題以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.【新知導(dǎo)學(xué)】例11．如圖,一艘輪船從點(diǎn)A處以的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東方向上,繼續(xù)航行到達(dá)B處,這時(shí)測得燈塔C在北偏東方向上,已知在燈塔C的四周內(nèi)有暗礁,問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由.(提示：,)答案：這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的,理由見解析解析：過點(diǎn)C作,垂足為D.如圖所示：根據(jù)題意可知,,,在中,,,,即∴設(shè),在中,,,∴,即解得,∵∴這艘船繼續(xù)向東航行安全.例12．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時(shí)發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點(diǎn)B處，然后沿南偏東航行海里到達(dá)C處，此時(shí)C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求A，B兩地的距離(結(jié)果保留根號(hào))答案：(1)海里(2)海里解析：(1)過B作于H，過C作于D，則，，與是等腰直角三角形，，，，海里，(海里)，(海里)，答：A，C兩地的距離海里；(2)在中，，，，(海里)，在中，，，(海里)，海里，答：A，B兩地的距離為海里.【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為的圓形海域內(nèi)有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為.若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險(xiǎn)？請通過計(jì)算加以說明.如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開始沿南偏東多少度的方向航行，能安全通過這一海域？答案：輪船有觸礁危險(xiǎn).理由見解析；輪船自A處開始至多沿南偏東的方向航行才能安全通過這一海域解析：輪船有觸礁危險(xiǎn).理由如下：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C.由題意知，.，.，若輪船繼續(xù)向正東方向航行，則有觸礁的危險(xiǎn).設(shè)輪船沿AM方向航行正好能安全通過這一海域，如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則，，，，輪船自A處開始至多沿南偏東的方向航行才能安全通過這一海域.2．根據(jù)圖中標(biāo)出的三角形區(qū)域的位置，計(jì)算三角形區(qū)域的面積（結(jié)果取整數(shù)）.（提示：它的面積等于一個(gè)梯形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積.）答案：解析：如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則E，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線.在中，，，，，，.在中，，，，，，.又，百慕大三角的面積為.答：百慕大三角的面積約為.知識(shí)點(diǎn)2、坡度問題：坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫作：i=tan坡角）】【新知導(dǎo)學(xué)】例21．如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡長米,背水坡CD的坡度,則背水坡的坡長CD為()米.A.20 B. C.10 D.答案：A解析：∵迎水坡AB的坡角,坡長米,∴(米),∴,∵背水坡CD的坡度,,∴,∴,∴(米),故選A.例22．為方便行人橫過馬路，打算修建一座高的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為，計(jì)算斜坡AB的長度（結(jié)果取整數(shù)）.答案：解析：方法一：設(shè)斜坡AB的水平寬度為，由題意得，，，.方法二：設(shè)斜坡AB的坡角為，，.又，.【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．某班兩個(gè)興趣小組計(jì)劃合作測量校園內(nèi)一斜坡(坡度為)旁路燈的高度,分工如下：小組甲：測量竹竿的長度,并將該竹竿豎立在地面上,測量其在地面上的影長.小組乙：在同一時(shí)刻,測量路燈在斜坡上的影長,及路燈與斜坡底端的距離.測量示意圖和測量數(shù)據(jù)如下：請你根據(jù)以上信息計(jì)算路燈的高度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：)小組甲乙圖示(點(diǎn)D,E,F,C在同一平面內(nèi))測量數(shù)據(jù),,答案：路燈的高度約為解析：如圖,過點(diǎn)G分別作,的垂線,垂足分別為點(diǎn)M,N,則四邊形是矩形,,.∵斜坡坡度為,即在中,,,,,,.∵,,,,.答：路燈的高度約為.2．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P處測得該建筑頂點(diǎn)B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測得該建筑的頂點(diǎn)B的仰角為.（1）求坡頂A到地面的距離；（2）求該建筑的高度.（結(jié)果精確到米.參考數(shù)據(jù)：，，）答案：（1）5米（2）米解析：（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由題意得，，斜坡的坡度為，，設(shè)，則，，解得：，（米），坡頂A到地面的距離為5米；（2）延長交于點(diǎn)D，由題意知：，，，，，，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，在中，，，，，在中，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，該建筑的高度約為米.二、題型訓(xùn)練1.利用解直角三角形解決方向角問題1．木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.航行記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處.記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處.記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向.請你根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）填空：________°，________°，________海里；（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計(jì)算說明.（參考數(shù)據(jù)：，，）答案：（1）30；75；5（2）該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)解析：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作于D，由題意得，，，，，；一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時(shí)從A出發(fā)到上午8時(shí)30分到達(dá)B，海里.（2）設(shè)海里，在中，海里，在中，海里，海里，，，解得，海里，，，海里；上午9時(shí)，船距離A的距離為海里，，該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū).2．如圖,某公園有一條三角形健身步道,其中B在A的正東方,C在A東北方向,一天老王以每分鐘90米的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿路線A→B→C→A開始散步,分鐘后到達(dá)步道的B處,此時(shí)他發(fā)現(xiàn)C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面內(nèi),參考數(shù)據(jù)：)(1)求健身步道的長；(結(jié)果保留根號(hào))(2)為了讓市民養(yǎng)成全民運(yùn)動(dòng)、健康生活的良好習(xí)慣,改善健身環(huán)境,公園決定對(duì)健身步道進(jìn)行擴(kuò)建.計(jì)劃將步道段向正東方向延伸至P處,修建新步道,且在P處測得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本為每米80元,公園對(duì)擴(kuò)建預(yù)算的費(fèi)用為20萬元,請通過計(jì)算說明預(yù)算費(fèi)用是否夠用？答案：(1)(2)預(yù)算費(fèi)用夠用解析：(1)過點(diǎn)B作于點(diǎn)N,∴,由題意得：,,∴,,∵,∴,∴.(2)過點(diǎn)B作于點(diǎn)M,如圖所示：則,∴,∴,∴,∴,∴,,∴,,∴預(yù)算費(fèi)用夠用.2.利用解直角三角形解決坡度問題3．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，，求斜坡AB的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：,,）答案：10米解析：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則四邊形ADEF是矩形，在中，，．．，在中，（米）．答：斜坡AB的長約為10米．4．南水北調(diào)中線工程有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是為了建設(shè)高鐵線路，電力部門要在堤壩的正上方建一組高壓線，且高壓線的最低點(diǎn)P與點(diǎn)D，H在同一條直線上（），.（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求斜坡CD的坡角.（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達(dá)到了安全要求？答案：（1）45°（2）此段大壩達(dá)到了安全要求解析：（1）斜坡CD的坡度，，.即斜坡CD的坡角為45°.（2）此段大壩達(dá)到了安全要求.理由如下：由（1）可知，米，，.在中，，解得.，此段大壩達(dá)到了安全要求.3.利用解直角三角形解決綜合問題5．如圖,為了美化環(huán)境,提高民眾的生活質(zhì)量,市政府在公園一角處修建一個(gè)四邊形人工湖泊,并沿湖泊四邊修建了人行步道(即,,,).花園的兩邊與垂直,米,米,,,.(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)求的長.(參考數(shù)據(jù)：,,)答案：(1)6米(2)40米解析：(1)過D作,垂足為M,在中,,,∴(米),∴點(diǎn)D到的距離約為6米；(2)過D作,垂足為H,由題意得：米,,在中,,,∴(米),設(shè)米,則米,∴米,∵,∴,在中,(米),∴米,在中,,∴米,∴,解得：,∴(米),∴牌匾懸掛高度的長約為40米.6．圖1是一個(gè)活動(dòng)宣傳欄,圖2是活動(dòng)宣傳欄側(cè)面的抽象示意圖,其中點(diǎn)B,D,A,F在同一直線上,支桿可繞點(diǎn)A活動(dòng),是可伸縮橫桿.已知,,.(1)求活動(dòng)宣傳欄板與地面的夾角的度數(shù)；(2)如圖3,小明站在活動(dòng)宣傳欄板前的點(diǎn)H處看宣傳欄時(shí)(點(diǎn)H,B,C在同一直線上),若視線垂直宣傳欄板于點(diǎn)A,此時(shí)測得,求小明的眼睛G離地面的距離.(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,結(jié)果精確到0.1)答案：(1)(2)小明的眼睛G離地面的距離約解析：(1)作交于點(diǎn)N,交于點(diǎn)M,∵,,∴,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∴；(2)作交于點(diǎn)P,∴四邊形為矩形,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,,∵,∴,∵視線垂直宣傳欄板,∴,∴,∴,∴.答：小明的眼睛G離地面的距離約.三、課堂達(dá)標(biāo)一、單選題（每小題4分，共32分）1．如圖，海中有一小島A，在B處測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B處出發(fā)由西向東航行10海里到達(dá)C處，在C處測得小島A恰好在正北方向上，此時(shí)漁船與小島A的距離為()海里.A. B. C.20 D.答案：D解析：由題意得：，在中，，海里，海里，此時(shí)漁船與小島A的距離為海里.故選D.2．如圖，若坡角，則斜坡的坡度為()A. B. C. D.2答案：B解析：坡角，則斜坡的坡度為，故選：B.3．河堤的橫斷面如圖，堤高BC是，迎水斜坡AB的長是，那么斜坡AB的坡度是()A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：3答案：B解析：在中，，斜坡AB的坡比，故選B.4．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發(fā)，垂直上升到達(dá)A處，在A處觀察C地的俯角為，則BC兩地之間的距離為()A. B. C. D.答案：A解析：試題分析：根據(jù)三角函數(shù)可得：tan∠C==tan30°=，則BC=100m.考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用5．如圖是某區(qū)域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為海里.觀測站B到AC的距離BP是()A. B.1 C.2 D.答案：B解析：由題意得：,,∴,∵,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∵,∴,解得：(海里),故選：B.6．如圖，一斜坡的坡度，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，則小明上升的高度為()A.米 B.20米 C.米 D.米答案：A解析：設(shè)米，因?yàn)樾逼碌钠露?，則米，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，所以，，解得，，故選：A.7．如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹（垂直于水平地面），當(dāng)太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上樹影的長為30米，則大樹的高為()A.15米 B.米 C.米 D.米答案：C解析：如圖，過點(diǎn)T作，交的延長線于A，，則，米，米，米，在中，，米，米，故選：C.8．某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，和表示兩條互相垂直的公路.甲偵測員在處測得點(diǎn)位于北偏東，乙勘測員在處測得點(diǎn)位于南偏西，測得，，請求出點(diǎn)到的距離().（參考數(shù)據(jù)，，）A.140 B.340 C.360 D.480答案：D解析：作于，于，則四邊形為矩形，，，設(shè)，則，，在中，，，則，在中，，由題意得，，解得，，即點(diǎn)到的距離約為480，故選：D.二、填空題（每小題4分，共20分）9．一漁船在海上A處測得燈塔C在它北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．答案：解析：10．如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬是米，壩高為米，斜坡的坡度為，斜坡的坡度為，則壩底寬的長為______米.答案：解析：由題意得：，，∵，∴，∵，∴，∴（米），故答案為：.11．為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動(dòng).如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為_________________米.答案：4解析：相鄰兩樹間的水平距離是米，坡比.，即解得（米）.故答案為：4.12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得，，則竹竿AB與AD的長度之比為__________.答案：解析：在中，，，即，.在中，，，即，，.故答案為：.13．科技改變生活，導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，B，C兩地的距離是________________km答案：解析：如圖所示，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，在中，，，則，，從B地沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，，且，，即是等腰直角三角形，，B，C兩地的距離是，故答案為：.三、解答題（每小題8分，共48分）14．如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達(dá)B處，測得橋頭C在南偏東方向上，橋頭D在南偏東方向上，求大橋的長度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）答案：米解析：如圖所示，分別過點(diǎn)C，D作的垂線，垂足分別為F，E，四邊形是矩形，，，依題意，，，，，；在中，，；在中，，.答：大橋CD的長度約為米.15．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖,天橋的高是10米,坡面的傾斜角為.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為,若新坡角下需留3米的人行道,問離原坡面點(diǎn)A處10米的建筑物是否需要拆除？(參考數(shù)據(jù)：,)答案：離原坡角10米的建筑物需要拆除解析：根據(jù)題意得：,米.∴米.∵,即：,∴米,∴(米),∵.答：離原坡角10米的建筑物需要拆除.16．圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點(diǎn)A處,手柄長,與墻壁的夾角,噴出的水流與形成的夾角,現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在E處淋浴時(shí),水流正好噴灑在人體的C處,且使,問：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位置？(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,,,).答案：安裝師傅應(yīng)將支架周定在離地面處解析：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G,延長、交于點(diǎn)F,由題意得：∴∵,,∴,,∴,,∴,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面的位置,答：安裝師傅應(yīng)將支架周定在離地面處.17．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時(shí)發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點(diǎn)B處，然后沿南偏東航行海里到達(dá)C處，此時(shí)C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的