專題三角形全等之輔助線講義2024－2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

專題：三角形全等之輔助線【課前快練】1.如圖，，，，，則等于（）A．B．C．D．2．如圖，在Rt△ABC中，，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△，連接，下列結(jié)論：①△≌△；②△∽△；③；④其中正確的是（）A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．3．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A．4 B．3 C．2 D．4．如圖，點(diǎn)在的平分線上，若使，則需添加的一個(gè)條件是（只寫(xiě)一個(gè)即可，不添加輔助線）：ＣＥＤＣＥＤＦＨＡ圖1圖2圖1圖2DCEA第6題圖（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：．7.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE第7題圖第7題圖8.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC．【回顧舊知】知識(shí)點(diǎn)1、全等三角形的定義和表示方法（1）定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形的形狀和大小完全相同，只是位置不同，其中一個(gè)經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換后必定與另一個(gè)重合。重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角（3）“全等”用“≌”表示，讀作“全等于”，記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。（4）尋找對(duì)應(yīng)元素的方法：①根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。②根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；③通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。平移如圖（1），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。旋轉(zhuǎn)如圖（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到的；翻折如圖（3），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直線AO翻折180得到的；圖1圖2圖3知識(shí)點(diǎn)2、全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)：全等三角形中，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（對(duì)邊、對(duì)角的區(qū)別）（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)邊上的高，對(duì)應(yīng)角的平分線）相等。（3）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等。知識(shí)點(diǎn)3、全等三角形的判定（1）“邊邊邊”（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（2）“邊角邊”（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）“角邊角”（ASA）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）“角角邊”（AAS）：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）“斜邊，直角邊”（HL）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是:①三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；②有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。知識(shí)點(diǎn)4、全等三角形的證明思路知識(shí)點(diǎn)5、全等三角形的綜合應(yīng)用利用全等三角形可以測(cè)出不能（或不易）直接測(cè)量長(zhǎng)度的線段長(zhǎng)，例如，河寬，或利用全等測(cè)量小口瓶的內(nèi)徑等。知識(shí)點(diǎn)6、證明方法（1）綜合法（執(zhí)因索果）、分析法（執(zhí)果索因）（2）證面積關(guān)系：將面積表示出來(lái)（3）證線段相等、角相等常通過(guò)證三角形全等（其余有關(guān)線段和角相等的定理）（4）證線段倍分關(guān)系：加倍法、折半法（5）證線段和差關(guān)系：截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法知識(shí)點(diǎn)7、角平分線的作法、性質(zhì)和判定（1）角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。（2）角平分線的判定：到一個(gè)叫兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。知識(shí)點(diǎn)8、常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．（2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（4）遇到垂直平分線，可作線段兩端的連線，利用垂直平分線的性質(zhì)解題。（5）三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線，利用中位線的性質(zhì)解題。（6）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”（7）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．（8）特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．三角形輔助線做法圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。【重、難、考點(diǎn)】重、難點(diǎn)：全等三角形角與邊的查找；考點(diǎn)一：角平分線軸對(duì)稱【典型例題】1、已知在ΔABC中，E為BC的中點(diǎn)，AD平分，于D．AB＝9，AC＝13．求DE的長(zhǎng)．2、已知在ΔABC中，，AB＝AC，BD平分．求證：BC＝BD＋AD．【變式訓(xùn)練】1、已知在ΔABC中，，，AF平分，過(guò)F作FD∥BC，交AB于D．求證：AC＝AD．2、如圖，在ΔABC中，，ADD平分．求證：AC＝AB＋BD．3、如圖，ΔABC中，E是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，交的平分線AD于D，過(guò)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．求證：BM＝CN．考點(diǎn)二：平移【典型例題】1、如圖，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝15．求梯形ABCD的中位線長(zhǎng)．2、已知在ΔABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BD＝CE．求證：DM＝EM．考點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)1、如圖，已知在正方形ABCD中，E在BC上，F(xiàn)在DC上，BE＋DF＝EF．求證：．2、如圖，在ΔABC中，∠ABC=900，AB＝BC，D為AC中點(diǎn)．AB的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)E．FD⊥ED交BC延長(zhǎng)線于F．求證：DE＝DF．【變式訓(xùn)練】1、如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EA⊥AF．求證：DE＝BF．2、已知：等腰△ABC,AB=AC，∠ADB=∠ADC，求證：∠DBC=∠DCB考點(diǎn)四：中點(diǎn)的聯(lián)想【典型例題】(一)倍長(zhǎng)中線法1、已知，AD為ΔABC的中線．求證：AB＋AC>2AD．2、如圖，AD為ΔABC的角平分線且BD＝CD．求證：AB＝AC．(二)中位線1、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E和F分別為BD與AC的中點(diǎn)．求證：(三)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1、在ΔABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G．求證：(1)CG＝EG．(2)．2、已知：在等腰梯形A