2025屆江蘇省常州第一中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

2025屆江蘇省常州第一中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知與函數(shù)和都相切，則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為（）A． B． C． D．2．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．4．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．15．設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是()A．任意，使方程無(wú)實(shí)根B．任意，使方程有實(shí)根C．存在，使方程無(wú)實(shí)根D．存在，使方程有實(shí)根6．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．7．一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項(xiàng)為2，某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．68．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．9．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回點(diǎn)．那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．10．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．24011．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則=____，=___.14．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，，若線段EF上存在一點(diǎn)M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）15．設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；②若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，則；③對(duì)，，函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號(hào)是_______．16．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù)，的最大值為．求實(shí)數(shù)b的值；當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，令，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?？若存在，求?shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時(shí)長(zhǎng)/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).（1）試估計(jì)的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商；②若，則，，.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).22．（10分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且OM+ON=t

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn)，斜率為，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得②.由①②對(duì)比系數(shù)得，化簡(jiǎn)得③.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.2、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.4、A【解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以，即當(dāng)時(shí)，取最大值故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.5、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無(wú)實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實(shí)根”的否定是“任意，使方程無(wú)實(shí)根”.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，此類問(wèn)題要注意在兩個(gè)方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.6、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知首項(xiàng)為2，設(shè)第二項(xiàng)為，則第三項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且，則，因?yàn)?，?dāng)?shù)闹悼梢詾?；即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對(duì)題意理解要準(zhǔn)確，屬于中檔題.8、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.10、A【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門課程全排列，減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有（種），則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題．11、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.12、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時(shí)，，之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時(shí)，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下，而函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項(xiàng)公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，為，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，解得，所以，從而有.15、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，即，與的交點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點(diǎn)不超過(guò)個(gè)，則，故②正確；對(duì)，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.16、2【解析】

首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出的值，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數(shù)列，，聯(lián)立，解得或，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以只有符合題意，則，結(jié)合可得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.18、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，①，②所以，即，又因?yàn)?，故，所以，所以是首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.19、(1);(2)時(shí)，在單調(diào)增；時(shí),在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí),同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：(1)由題意得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定義域?yàn)?①即,則，故在單調(diào)增②若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．③若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由（1）知，所以，令，則對(duì)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，則，設(shè)，，則對(duì)恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.20、（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個(gè)小時(shí)），即可得到的估計(jì)值；（2）①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解；②先根據(jù)條件計(jì)算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對(duì)稱性，求解出在滿足取值范圍下對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】（1）平均時(shí)間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴